Bài tập chuyển động rơi tự do: bài toán thả rơi

Phân tích bài toán

h = 180m, g = 10m/²; v_o = 0

gọi t là thời gian từ lúc thả rơi đến lúc vật chạm đất

Giải

a/ h = 0,5gt² = > t = 6s

s₆ = 0,5.g.6² – 0,5.g.5² = 55m

b/ v = g(6-2) = 40m/s

v_o = 0; $s_{t}$ = 63,7m; g = 9,8m/s²

Gọi t là thời gian vật rơi đến khi chạm đất = > quãng đường vật rơi được trong giây cuối = quãng đường vật rơi chạm đất “trừ đi” quãng đường vật rơi trước đó 1 giây (t-1)

$s_{t}$ = 0,5gt² – 0,5g(t-1)² = 63,7 = > t = 7s

h = 0,5gt² = 240,1m

v = gt = 68,6m

Gọi t là thời gian vật 1 thả rơi tự do chạm đất = > \[t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}\] = 4(s)

thời gian vật 2 chạm đất là t₂ = t-1 = 3s

= > h = v_ot₂ + 0,5gt₂²

= > v_o = 35/3 (m/s)

Phân tích bài toán

Chọn gốc tọa độ tại vị trí thả vật, chiều dương hướng xuống dưới

a/ v_o = 0; g = 9,8m/s²; h = 300m

b/ v_o = -4,9m/s; g = 9,8m/s²; h = 300m

c/ v_o = 4,9m/s; g = 9,8m/s²; h = 300m

Giải

a/ h = 0,5gt² = > t = 7,8s

b/ h = v_ot + 0,5gt² = > t = 8,3 (s)

c/ h = v_ot + 0,5gt² = > t = 7,3 (s)

Phân tích bài toán

Gọi t là thời gian vật rơi chạm đất

v$_{o1}$ = v$_{o2}$ = 0; h – $s_{t-0,1}$ = 0,95; g = 10m/s²

rơi tự do các vật rơi như nhau nên bài toán có thể được giải theo hướng: thả một vật rơi tự do ở độ cao h, quãng đường vật rơi được trong 0,1 giây cuối là 0,95m. Tính độ cao thả vật.

Giải

h – $s_{t-0,1}$ = 0,95 = > 0,5gt² – 0,5g(t-0,1)² = 0,95 = > t = 1 (s)

= > h = 0,5gt² = 5m

gốc tọa độ, thời gian tại vị trí thả, chiều dương hướng xuống

vật rơi y₁ = $\dfrac{1}{2}$gt²

vật ném: y₂ = 180 – 80t + ½gt²

a/ gặp nhau = > y₁ = y₂ = > t = 2,25s

= > độ cao gặp nhau: h = 180 – ½g × 2,25² = 154,6875m

b/ v₁ = gt = v₂ = 80 – gt = > t = 4s

v_o = 0; thời gian vật rơi chạm đáy: [tex]t_{1} = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}[/tex]

thời gian âm thanh truyền từ đáy về miệng hang: [tex]t_{2} = \dfrac{h}{330}[/tex] (chuyển động của âm thanh là chuyển động thẳng đều với vận tốc v = s/t)

t₁ + t₂ = 4s = > $\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ + $\dfrac{h}{330}$ = 4 = > h = 70m

Thời gian giọt 1 rơi chạm đất: h = 0,5gt² = > t = 3(s)

Khoảng thời gian giữa 5 giọt liên tiếp: t₁ = t₂ = t₃ = t₄ = t/4 = 0,75(s)

Khoảng cách từ giọt thứ 5 đến giọt thứ 4: $s_{54}$ = 0,5gt₁² = 2,8125 (m)

Khoảng cách từ giọt thứ 4 đến giọt thứ 3:

$s_{43}$ = 0,5g(t₁ + t₂)² – $s_{54}$ = 8,4375(m)

Khoảng cách từ giọt thứ 3 đến giọt thứ 2: $s_{32}$ = 0,5g(t₁ + t₂+ t₃)² – $s_{43}$ – $s_{54}$ = 14.0625(m)

Khoảng cách từ giọt thứ 2 đến giọt thứ 1: $s_{21}$ = h – $s_{32}$ – $s_{43}$ – $s_{54 }$ = 19,6875 (m)

gọi t₁ là thời gian vật 1 đạt đến độ cao cực đại (v₁ = 0) kể từ khi ném

v₁ = v_o – gt₁ = 0 = > t₁ = 1 (s)

độ cao cực đại mà vật 1 đạt được so với vị trí ném

s₁ = 0,5gt₁² = 5m

Chọn gốc thời gian là lúc vật 1 đạt độ cao cực đại, gốc tọa độ tại vị trí ném, chiều dương hướng lên.

Phương trình chuyển động của 2 vật

x₁ = 5 – 0,5gt² (1)

lưu ý vật 2 ném sau vật 1 là 0,5 giây = > khi vật 1 đạt độ cao cực đại thì vật 2 cách vị trí ném một khoảng là:

x$_{o2}$ = 0,5gt₂² = 0,5.10.(0,5)² = 1,25m

vận tốc của vật 2 sau 0,5giây là: v₂ = gt₂ = 5(m/s) = >

x₂ = 1,25 + 5t – 0,5gt² (2)

hai vật gặp nhau = > x₁ = x₂ = > t = 0,85(s)

= > sau 1,85 giây kể từ khi ném thì hai vật gặp nhau cách vị trí ném một khoảng là

x = 5 – 0,5g(0,85)² = 1,3875 (m)

a/ Gọi độ cao vật rơi tự do là h, t là thời gian vật chạm đất

Vận tốc của vật khi chạm đất: v = gt

vận tốc của vật trước đó 0,25s: v_o = g(t-0,25)

ta có v² – v_o² = 2gs = > t = \[\dfrac{33}{8}\] = 4,125 (s) = > v = g.t = 41,25 (m/s)

b/ h = 0,5gt² = 85 (m)

c/ Để vật khác rơi chậm hơn thì ném lên, rơi nhanh hơn thì ném xuống

Trường hợp ném lên với vận tốc v_o để vật rơi chậm hơn 1s

Thời gian vật lên đến độ cao cực đại

v = v_o – gt’₁ = 0 = > t’₁ = v_o/g.

v² – v_o² = -2g.s = > s = v_o²/2g

thời gian vật từ độ cao cực đại rơi xuống

h_max = 0,5gt’₂² = > h + s = 0,5gt’₂² = > t’₂ = \[\sqrt{2.\dfrac{s+h}{g}}\]

vật chạm đất chậm hơn 1 giây = > t’₁ + t’₂ = t + 1 = 5,125

giải phương trình trên = > v$_{o }$ = 8,36 (m/s)

Trường hợp vật ném xuống với vận tốc v_o để rơi nhanh hơn 1s

h = v_o(t-1) + 0,5g(t-1)² = > v_o = 11,575 (m/s)

Gọi t là thời gian vật rơi chạm đất ta có h = 0,5gt$^{2 }$(1)

a/ Quãng đường vật đi được trong 1 giây cuối

s = 0,5g[t² – (t-1)²] = \[\dfrac{3}{4}\]h (2)

từ (1) và (2) = > t = 2 = > h = 20m = > v = 20m/s

b/ Quãng đường vật đi được trong 2 giây cuối

s = 0,5g[t² – (t-2)²] = \[\dfrac{3}{4}\]h (3)

từ (1) và (3) = > t = 4 = > h = 80m = > v = 40m/s

ℓ = 1m

Thời gian điểm B (đầu dưới của thước đi qua mép bàn): h = 0,5gt² (1)

Thời gian điểm A (đầu trên của thước đi qua mép bàn): h + ℓ = 0,5g(t + 0,2)² (2)

Từ (1) và (2) = > t = 0,4 (s) = > h = 0,8m

s = 1,4m; v₁ vận tốc mép trên cửa sổ, v₂: vận tốc mép dưới cửa sổ

v₂ = v₁ + gt = > v₁ + 1 = v₁ + gt = > t = 0,1s

v₂² – v₁² = 2g.s = > (v₁ + 1)² – v₁² = 2gs = > v₁ = 13,5 (m/s) = > v₂ = 14,5 (m/s)

Chiều cao của mái nhà so với mép dưới cửa sổ (nơi giọt nước bắt đầu rơi v_o = 0)

v₂² – v_o² = 2gh = > h = 10,5m

Gọi t là thời gian vật rơi chạm đất = > h = 0,5gt²

Quãng đường rơi trong 0,5 giây cuối: s₁ = 0,5g[t² – (t-0,5)²]

Quãng đường rơi trong 0,5 giây trước đó: s₂ = 0,5g[(t-0,5)² – (t-0,5-0,5)²]

s₁ = 2s₂ = > t = 1,25s = > h = 0,5gt² = 7,8125m

Chọn gốc thời gian là lúc bắt đầu thả bi, gốc tọa độ tại O chiều + hướng xuống

bi: x₁ = $\dfrac{1}{2}$gt²

điểm A: x₂ = 3,75 + $\dfrac{1}{2}$g(t – t_o)²

điểm B: x₃ = 3,75 + ℓ + $\dfrac{1}{2}$g(t – t_o)²

bi đuổi kịp = > x₁ = x₂ = > $\dfrac{1}{2}$gt₁² = 3,75 + $\dfrac{1}{2}$g(t₁ – t_o)²(1)

v₁ = v₂ + 5 = > gt₁ = g(t₁– t_o) + 5 (2)

từ (1) và (2) = > t₁; t$_{o }$ = > quãng đường s = $\dfrac{1}{2}$gt₁²

bắt đầu vượt qua = > x₁ = x₃ = > $\dfrac{1}{2}$g(t₁ + 0,2) = x₂ = 3,75 + ℓ + $\dfrac{1}{2}$g(t₁+ 0,2 – t_o)$^{2 }$ = > ℓ

độ cao tối thiểu h = 3,75 + ℓ + $\dfrac{1}{2}$g(t₁ + 0,2 – t_o)²

h = 74,8m.

thời gian rơi chạm đất: h = $\dfrac{1}{2}$gt² = > t

quãng đường rơi trong giây đầu: $s_{1đ}$ = $\dfrac{1}{2}$g × 1²

quãng đường rơi trong giây cuối: $s_{1c}$ = ½g{t² – (t-1)²}

thời gian đi 20m đầu: $s_{đ}$ = $\dfrac{1}{2}$gt₁² = 20 = > t₁

thời gian đi (74,8 – 20) m: s = $\dfrac{1}{2}$gt₂² = 54,8 = > t₂

thời gian đi 20m cuối: t$_{c}$ = t – t₂

a/ Chọn gốc tọa độ, thời gian tại vị trí vật 1 rơi, chiều dương hướng xuống = > phương trình chuyển động:

vật 1: y₁ = $\dfrac{1}{2}$gt²

vật 2: y₂ = 40 + $\dfrac{1}{2}$g(t – 1)²

hai vật chạm đất cùng lúc tương đương với gặp nhau tại mặt đất

= > y₁ = y₂ = > $\dfrac{1}{2}$gt$^{2 }$ = 40 + $\dfrac{1}{2}$g(t – 1)$^{2 }$ = > t = 4,5 (s)

b/ h = $\dfrac{1}{2}$gt² = 101,25m

c/ v = gt = 45m/s