Bài tập lực hấp dẫn, trọng lực, gia tốc rơi tự do

Bài tập lực hấp dẫn, trọng lực, gia tốc rơi tự do

Dạng bài tính lực hấp dẫn cơ bản:

\[{{F}_{hd}}=G\dfrac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}^{2}}}=G\dfrac{mM}{{{r}^{2}}}\] → các đại lượng cần tính

Dạng bài tập liên quan đến gia tốc rơi tự do phụ thuộc độ cao, trọng lực:

$g=\dfrac{GM}{{{(R+h)}^{2}}}$ → \[\dfrac{g_o}{g}=\dfrac{{{(R+h)}^{2}}}{{{R}^{2}}}=\dfrac{P_o}{P}\]

Trong đó

  • go: gia tốc rơi tự do tại mặt đất (m/s2)
  • g: gia tốc rơi tự do tại độ cao h so với mặt đất (m/s2)
  • G = 6,67.10-11: Hằng số hấp dẫn
  • m1; m2: khối lượng của vật 1, vật 2 (kg)
  • r: khoảng cách giữa 2 vật
  • m; M: ký hiệu khác của khối lượng 2 vật (kg)
  • R: Bán kính Trái Đất (m)
  • M: khối lượng Trái Đất (kg)

Bài tập lực hấp dẫn, trọng lực, gia tốc rơi tự do

Câu 1: Cho hai xà lan trên biển có khối lượng lần lượt là 80 tấn và 100 tấn cách nhau 1km. Tính lực hấp đãn của hai xà lan hỏi hai xà lan có tiến lại gần nhau được không nếu chúng không chuyển động

Hướng dẫn

\[F=G.\dfrac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}^{2}}}=6,{{67.10}^{-11}}\dfrac{{{80.10}^{3}}{{.100.10}^{3}}}{{{1000}^{2}}}=5,336.10^{-7}N\]

Hai xà lan không thể tiến lại gần nhau vì lực hút rất nhỏ so với trong lượng của hai xà lan

[Ẩn HD]

Câu 2: Cho biết khối lượng Trái dất là M = 6.1024 kg, khối lượng của một hòn đá là m = 2,3kg, gia tốc rơi tự do là g = 9,81m/s2. Hỏi hòn đá hút Trái Đất với một lực bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn

\[F=P=mg=2,3.9,81=22,56N\]

[Ẩn HD]

Câu 3: Nếu khối lượng của 2 vật đều tăng gấp đôi để lực hấp dẫn giữa chúng không đổi thì khoảng cách giữa chúng phải là bao nhiêu?

Hướng dẫn

${{F}_{1}}=G.\dfrac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}_{1}}^{2}}$

${{F}_{2}}=G.\dfrac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}_{2}}^{2}}=G.\dfrac{4{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}_{1}}^{2}}$

Mà ${{F}_{1}}={{F}_{2}}\Rightarrow G\dfrac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{r_{1}^{2}}=G\dfrac{4{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{r_{2}^{2}}\Rightarrow {{r}_{2}}=2.{{r}_{1}}$

[Ẩn HD]

Câu 4: Tính lực hấp dẫn giữa Trái Đất và Mặt Trời biết khối lượng của trái đất là \[{{6.10}^{24}}kg\]. Khối lượng mặt trời là \[{{2.10}^{30}}kg\]. Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời là \[1,{{5.10}^{11}}m\]

Hướng dẫn

\[F=G\dfrac{Mn}{{{R}^{2}}}=6,{{67.10}^{-11}}\dfrac{{{2.10}^{30}}{{.6.10}^{24}}}{{{\left( 1,{{5.10}^{11}} \right)}^{2}}}=3,{{557.10}^{22}}N\]

[Ẩn HD]

Bài tập 5. Bán kính Trái Đất là 6400 km, gia tốc trọng trường ở sát mặt đất là 9,83 m/s2.

a/ Ở độ cao nào so với mặt đất trọng lượng của vật bằng 0,4 lần trọng lượng của vật ở trên mặt đất

b/ Tính độ cao mà tại đó gia tốc trọng trường là 9,65 m/s2

Hướng dẫn

R = 6400km; go = 9,83m/s2; P1 = 0,4Po => g1=0,4go; g2=9,65 m/s2

a/ g1=\[{\left( \dfrac{R}{R + h_{1}} \right)^2}\]go= 0,4go => h1 = 3712 km.






b/ g2=\[{\left( \dfrac{R}{R + h_{2}} \right)^2}\]go => h2 = 64,5 km.

[Ẩn HD]

Câu 6: Một vật có m = 10kg khi đặt ở mặt đáy có trọng lượng là 100N. Khi đặt ở nơi cách mặt đất 3R thì nó có trọng lượng là bao nhiêu?

Hướng dẫn

Ở mặt đất: ${{P}_{0}}=G.\dfrac{Mm}{{{R}^{2}}}$

Ở độ cao h: $P=G.\dfrac{Mm}{{{(R+3\text{R})}^{2}}}=\dfrac{{{P}_{0}}}{16}=6,25N$

[Ẩn HD]

Câu 7. Bán kính Trái Đất là 6400 km, gia tốc trọng trường ở mặt đất là 9,80 m/s2. Tính gia tốc trọng trường ở độ cao 5 km và ở độ cao bằng nửa bán kính Trái Đất.

Hướng dẫn

R=6400km; go=9,8m/s2; h1=5km; h2=R/2

g1=\[\left( \dfrac{R}{R + h_{1}} \right)^2\]go=9,78 m/s2.

g2=\[\left( \dfrac{R}{R + h_{2}} \right)^2\]go=4,35 m/s2.

[Ẩn HD]

Câu 8: Gia tốc rơi tự do trên bề mặt của mặt trăng là 1,6m/s2 và RMT = 1740km. Hỏi ở độ cao nào so với mặt trăng thì g = 1/9 gMT.

Hướng dẫn

Gia tốc ở mặt trăng: ${{g}_{T}}=\dfrac{G{{M}_{T}}}{R_{T}^{2}}$

Gia tốc ở độ cao h: ${{g}_{h}}=\dfrac{G{{M}_{T}}}{{{({{R}_{T}}+h)}^{2}}}$

$\Rightarrow \dfrac{{{g}_{T}}}{{{g}_{h}}}=\dfrac{{{({{R}_{T}}+h)}^{2}}}{R_{T}^{2}}=9\Rightarrow h=3480km$

[Ẩn HD]

Câu 9: Một vật có m = 20kg. Tính trọng lượng của vật ở 4R so với mặt đất. Biết gia tốc trọng trường trên bề mặt đất là 10m/s2.

Hướng dẫn

$P={{P}_{o}}\dfrac{{{R}^{2}}}{{{(R+4\text{R})}^{2}}}=\dfrac{mg}{25}=8N$

[Ẩn HD]

Câu 10. Bán kính Trái Đất là 6370 km, gia tốc trọng trường ở chân núi là 9,810 m/s2, gia tốc trọng trường ở đỉnh núi là 9,809 m/s2. Tìm độ cao của đỉnh núi.

Hướng dẫn

R = 6370 km; go = 9,809 m/s2;  $g_{h}$ =  9,810 m/s2

$g_{h}={\left( {\dfrac{R}{{R + h}}} \right)^2}g_o$ => h=0,32 km

[Ẩn HD]

Câu 11. Cho gia tốc trọng trường trên mặt đất là 9,8 m/s2, tính gia tốc trọng trường trên sao Hỏa. Biết khối lượng Sao Hỏa bằng 10% khối lượng Trái Đất và bán kính Sao Hỏa bằng 0,53 bán kính Trái Đất

Hướng dẫn

MH = 0,1MĐ ; RH = 0,53RĐ; g=9,8m/s2

$g_{H} =\dfrac{G.M_{H}}{R_{H}^{2}}=\dfrac{0,1}{{0,53}^2}g$ = 3,5m/s2

[Ẩn HD]

Câu 12: Cho hai vật  Đặt tại hai điểm AB cách nhau 36 cm, xác định vị trí đặt  ở đâu để lực hấp dẫn giữa chúng cân bằng

Hướng dẫn

${{F}_{13}}={{F}_{23}}\to \dfrac{{{m}_{1}}}{r_{1}^{2}}=\dfrac{{{m}_{2}}}{{{(0,36-{{r}_{1}})}^{2}}}\to {{r}_{1}}=0,18m$

[Ẩn HD]

Câu 13. Khối lượng Mặt Trăng nhỏ hơn khối lượng Trái Đất 81 lần, Khoảng cách giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng bằng 60 lần bán kính Trái Đất. Lực hút của Trái Đất và của Mặt Trăng tác dụng vào một vật cân bằng nhau tại điểm nào trên đường thẳng nối tâm của chúng,

Hướng dẫn

\[\dfrac{GMm}{h^2}\]=\[\dfrac{GMm}{(60R-h)^2}\] => h=54R.

[Ẩn HD]

Câu 14. Bán kính Trái Đất là 6400km, gia tốc trọng trường ở sát mặt đất là 10 m/s2 Tính gia tốc trọng trường và trọng lượng của vật 50 kg ở độ cao bằng 7/9 lần bán kính trái đất. Coi vật chuyển động tròn đều xung quanh Trái Đất tính tốc độ, và chu kỳ chuyển động của vật quanh Trái Đất.

Hướng dẫn

m = 50kg; R = 6400km; go = 10m/s2. h = 7R/9

Lực hấp dẫn đóng đóng vai trò lực hướng tâm → r = R + 7/9R = 16R/9

$g_{h} = {\left( {\dfrac{R}{{R + h}}} \right)^2}g_0$ = 3,2 m/s2

$P_{ht}$ = $mg_{h}$  =  160 N.

$P_{ht}$ = mv2/r  = > v = 6034m/s

ω = v.r → T = 2π/ω = 11842 s = 3,3 giờ.

[Ẩn HD]

Câu 15: Trong một quả cầu đặc đồng chất, bán kính R, người ta khoét một lỗ hình cầu có bán kính R/2. Tìm lực tác dụng đặt lên vật nhỏ m nằm trên đường nối hai hình cầu và cách tâm hình cầu lớn một khoảng d. biết khi chưa khoét, quả cầu có khối lượng M.

Hướng dẫn

Bài tập lực hấp dẫn, trọng lực, gia tốc rơi tự do

Gọi F1 là lực hấp dẫn giữa quả cầu đã bị khoét với vật m

F2 là lực hấp dẫn giữa quả cầu có bán kính R/2 với m

F là lực hấp dẫn giữa quả cầu đặc bán kính R với m.

F = F1 + F2 => F1 = F – F2

F1 = \[\dfrac{GMm}{d^{2}}-\dfrac{Gm_{1}m}{(d-R/2)^{2}}\] (1)

vì khối lượng tỉ lệ với thể tích =>

\[\dfrac{m_{1}}{M}=\dfrac{V_{1}}{V}\] = \[\dfrac{\left (\dfrac{R}{2}  \right )^{3}}{R^{3}}=\dfrac{1}{8}\]

=> m1 = M/8 (2)

thay (2) vào (1) => F1

[Ẩn HD]

Câu 16. Trái Đất có khối lượng 6.1024 kg, Mặt Trăng có khối lượng 7,2.1022 kg. Bán kính quỹ đạo của Mặt Trăng là R=3,84.108 m. Tại điểm nào trên đường thẳng nối tâm của chúng vật bị hút về phía Trái Đất và Mặt Trăng với những lực bằng nhau?

Hướng dẫn

m1 = 6.1024kg; m2 = 7,2.1022kg;

M có khối lượng m là một điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài

$F_{1} = Gm_1.m/r_{1}^2$

$F_{2} = Gm_2.m/r_{2}^2$

$F_{1} = F_{2}$ => $m_1/r_{1}^2 = m_2/r_{2}^2$ (1)

$r_{1}+r_{2}$ = R (2)

từ (1) và (2) => $r_{1}$; $r_{2}$ => vị trí của điểm m

[Ẩn HD]