Bài tập tìm vị trí, thời điểm gặp nhau, khoảng cách của chuyển động thẳng đều

Phương trình chuyển động của hai vật:

x1 = xo1 + v1(t – to1)

x2 = xo2 + v2(t – to2)

Hai vật gặp nhau → giải phương trình x1 = x2

→ thời gian hai xe gặp nhau = t

→ thời điểm hai xe gặp nhau = t + tgốc

→ vị trí hai xe gặp nhau: thay t vào x1 hoặc x2

Khoảng cách giữa hai vật

\[\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=b\Rightarrow \left| \begin{matrix}
& {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=b \\
& {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=b \\
\end{matrix} \right.
\]

Dạng bài tập viết phương trình chuyển động thẳng đều, tìm vị trí, thời điểm gặp nhau, khoảng cách

Câu 1: Ta có A cách B 72km. Lúc 7h30 sáng, Xe ô tô một khởi hành từ A chuyển động thẳng đều về B với\[36km/h\]. Nửa giờ sau, xe ô tô hai chuyển động thẳng đều từ B đến A và gặp nhau lúc 8 giờ 30 phút.

a/ Tìm vận tốc của xe ô tô thứ hai.

b/ Lúc hai ô tô cách nhau 18km là mấy giờ.

Hướng dẫn






a/ Chọn chiều dương là từ A đến B ,gốc toạ độ tại A, gốc thời gian lúc xe ô tô một khởi hành.

Phương trình chuyển động \[x={{x}_{0}}+v\left( t-{{t}_{0}} \right)\]

Xe ô tô một: \[{{x}_{01}}=0km,{{v}_{1}}=36km/h\Rightarrow {{x}_{1}}=36t\]

Xe ô tô hai : \[{{x}_{02}}=72km,{{v}_{2}}=?\Rightarrow {{x}_{2}}=72-{{v}_{2}}(t-0,5)\]

Khi hai xe gặp nhau t = 1h nên x1 = x2

$\Leftrightarrow $36t = 72 – v2 ( t – 0,5 ) $\Rightarrow $v2 = 72km/h

b/ Khi hai xe cách nhau 13,5km

TH1 : x2 – x1 = 54 $\Rightarrow 72-72(t-0,5)-36t=54\Rightarrow t=0,5h$tức là lúc 8h

TH2 : x1 – x2 = 54$\Rightarrow 36t-72+72(t-0,5)=54\Rightarrow t=1,5h$tức là lúc 9h

[Ẩn HD]

Câu 2: Cho hai địa điểm A và B cách nhau 144km, Cho hai ô tô chuyển động cùng chiều, cùng lúc từ A đến B, xe một xuất phát từ A, xe hai xuất phát từ B. Vật từ A có v1, vật từ B có \[{{v}_{2}}=\dfrac{{{v}_{1}}}{2}\] . Biết rằng sau 90 phút thì 2 vật gặp nhau. Tính vận tốc mỗi vật.

Hướng dẫn

Chọn chiều dương từ A đến B, gốc tọa độ tại A, gốc thời gian là lúc hai xe xuất phát.

Phương trình chuyển động \[x={{x}_{0}}+vt\]






Với xe xuất phát từ A: \[{{x}_{01}}=0;{{v}_{1}}=?\Rightarrow {{x}_{1}}={{v}_{1}}t\]

Với xe xuất phát từ B: \[{{x}_{01}}=72km;{{v}_{2}}=\dfrac{{{v}_{1}}}{2}=?\Rightarrow {{x}_{2}}=144+{{v}_{2}}t=144+\dfrac{{{v}_{1}}}{2}t\]

Khi hai vật gặp nhau: x1 = x2 $\Rightarrow {{v}_{1}}t=72+\dfrac{{{v}_{1}}}{2}t$

Sau 90 phút thì hai xe gặp nhau tức là t=1,5h

\[{{v}_{1}}.1,5=144+\dfrac{{{v}_{1}}}{2}.1,5\Rightarrow {{v}_{1}}=64km/h\Rightarrow {{v}_{2}}=32km/h\]

[Ẩn HD]

Câu 3: Lúc 7h15 phút giờ sáng, một người đi xe máy khởi hành từ A chuyển động với vận tốc không đổi 36km/h để đuổi theo một người đi xe đạp chuyển động với v = 5m/s đã đi được 36km kể từ A. Hai người gặp nhau lúc mấy giờ.

Hướng dẫn

Chọn chiều dương là chiều chuyển động của ha ixe, gốc toạ độ tại vị trí A, gốc thời gian lúc xe máy chuyển động.

Phương trình chuyển động : \[x={{x}_{0}}+vt\]

Xe máy có: \[{{x}_{0}}=0;{{v}_{m}}=36km/h\Rightarrow {{x}_{m}}=36t\]

Xe đạp có :\[{{x}_{0d}}=36km;{{v}_{d}}=5m/s=18km/h\Rightarrow {{x}_{d}}=36+18t\]

Khi hai xe đuổi kịp nhau: xm = xĐ

$\Rightarrow 36t=36+18t\Rightarrow t=2h$$\Rightarrow $ Hai xe gặp nhau lúc 9h15phút

[Ẩn HD]

Câu 4: Lúc 7h15 phút sáng, một người đi xe máy khởi hành từ A chuyển động với v = 10m/s đi về B. Cùng lúc một người đi xe đạp chuyển động với v xuất phát từ B đến A. Khoảng cách AB = 108km. Hai xe gặp nhau lúc 9h45 phút. Tìm vận tốc của xe đạp.

Hướng dẫn

Chọn chiều dương là chiều từ A đến B, gốc tọa độ tại A, gốc thời gian là lúc hai xe xuất phát

Hai xe xuất phát từ lúc 7h15 phút và gặp nhau lúc 9h15 phút $\Rightarrow $t = 2h

Phương trình chuyển động của xe máy : \[{{x}_{m}}=36t=72\]

Phương trình chuyển động của xe đạp: \[{{x}_{0}}=108km;{{v}_{d}}\Rightarrow {{x}_{d}}=108-2{{v}_{d}}\]

Khi hai xe gặp nhau: xm = xĐ $\Rightarrow 72=108-2{{v}_{d}}\Rightarrow {{v}_{d}}=18km/h=5m/s$

[Ẩn HD]

Câu 5: Một người đi xe đạp và một người đi xe máy chuyển động thẳng đều từ Hà Nội lên Hà Nam cách nhau 60km. xe đạp có vận tốc 15km/h và đi liên tục không nghỉ. Xe máy khởi hành sớm hơn một giờ nhưng dọc đường nghỉ 3 giờ. Tìm vận tốc xe máy để hai xe đến cùng một lúc.

Hướng dẫn

Chọn chiều dương là chiều từ Hà Nội lên Hà Nam, gốc tọa độ tại Hà Nội, gốc thời gian là lúc hai xe xuất phát

Đối với xe đạp: \[{{x}_{01}}=0;{{v}_{d}}=15km/h\Rightarrow {{x}_{d}}=15t\]\[\Rightarrow 60=15t\Rightarrow t=4h\]

Đối với xe máy: \[{{x}_{02}}=0;{{v}_{m}}=?\]

Khởi hành sớm hơn 1h nhưng trong quá trình nghỉ 3h \[{{x}_{m}}={{v}_{m}}(t+1-3)\]

Cùng đến B một lúc

\[\Rightarrow {{x}_{d}}={{x}_{m}}\Rightarrow 15t={{v}_{m}}(t-2)\Rightarrow 15.4={{v}_{m}}(4-2)\Rightarrow {{v}_{m}}=30km/h\]

Vậy xe máy chuyển động với vận tóc 30km/h thì xe máy và xe đạp chuyển động đến B cùng một lúc.

[Ẩn HD]

Câu 6: Cho hai địa điểm AB cách nhau 60 km. Có hai xe chuyển động cùng chiều và xuất phát cùng một lúc, Xe đi từ A với vận tốc 30 km/h, Xe đi từ B với vận tốc 40 km/h. Sau k hi xuất được 1 giờ 30 phút, xe xuát phát từ A đột ngột tăng tốc chạy với vận tốc 50 km/h. Xác định thời gian hai xe gặp nhau kể từ lúc xuất phát?

Hướng dẫn

Sau 1 giờ 30 phút = 1,5h

Quãng đường xe đi từ A trong 1,5h là: \[{{S}_{1}}={{v}_{1}}.t=30.1,5=45km\]

Quãng đường xe đi từ B trong 1,5h là: \[{{S}_{2}}={{v}_{2}}.t=40.1,5=60km\]

Sau 1,5h hai xe cách nhau 60 + 60 – 45 = 75 km

Gọi t là thời gian hai xe gặp nhau kể từ thời điểm xe đi từ A tăng tốc.

\[v_{1}^{/}.t-75={{v}_{2}}.t\Rightarrow 50t-75=40t\Rightarrow t=7,5h\]

Kể từ lúc xuất phát hai xe gặp nhau sau 7,5h + 1,5h = 9h

[Ẩn HD]

Câu 7: Lúc 8h, một ôtô khởi hành từ Trung Tâm A cầu giấy Hà Nội đến Bắc Giang với v1 = 46km/h để là từ thiện. Cùng lúc đó, xe khách đi từ Bắc Kạn đến Hà nội với v2 = 44km/h, biết khoảng cách từ Hà Nội đến Bắc Giang là 180km. Hai xe gặp nhau lúc mấy giờ?

Hướng dẫn

Chọn chiều dương là chiều từ Hà Nội đến Bắc Giang, gốc tọa độ tại Hà Nội, gốc thời gian lúc 8h. Phương trình chuyển động\[x={{x}_{0}}+vt\]

Phương trình chuyển động xe một : \[{{x}_{01}}=0;{{v}_{1}}=46km/h\Rightarrow {{x}_{1}}=46t\]

Phương trình chuyển động xe hai :

\[{{x}_{02}}=180km;{{v}_{2}}=-44km/h\Rightarrow {{x}_{2}}=180-44t\]

Khi hai xe gặp nhau: \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}\Rightarrow 46t=180-44t\Rightarrow t=2h\]

Vậy hai xe gặp nhau lúc 10 giờ

[Ẩn HD]

Câu 8: Cho hai ôtô cùng lúc khởi hành ngược chiều nhau từ 2 điểm A, B cách nhau 120km. Xe chạy từ A với v = 60km/h, xe chạy từ B với v = 40km/h.

a; Lập phương trình chuyển động của 2 xe.
b; Xác định thời điểm và vị trí 2 xe gặp nhau.
c; Tìm khoảng cách giữa 2 xe sau khi khởi hành được 1 giờ.
d; Nếu xe đi từ A khởi hành trễ hơn xe đi từ B nửa giờ, thì sau bao lâu chúng gặp nhau.

Hướng dẫn

Chọn chiều dương là chiều chuyển động từ A đến B, gốc tọa độ tại A, gốc thời gian là lúc xe từ A xuất phát

a; Phương trình chuyển động có dạng \[x={{x}_{0}}+vt\]

Với xe một : \[{{x}_{01}}=0;{{v}_{1}}=60km/h\Rightarrow {{x}_{1}}=60t\]

Với xe hai : \[{{x}_{02}}=120km;{{v}_{2}}=-40km/h\Rightarrow {{x}_{2}}=120-40t\]

b; Vi hai xe gặp nhau: x1 = x2 $\Rightarrow 60t=120-40t\Rightarrow t=1,2h$

Toạ độ khi hai xe gặp nhau: x1 = 60. 1,2 = 72km cách B là 48km

c ; Sau khi hai xe khởi hành được 1 giờ thì t = 1h ta có

Đối với xe môt : \[{{x}_{1}}=60.1=60km\]

Đói với xe hai :\[{{x}_{2}}=120-40.1=80km\]

$\Rightarrow \Delta x=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=20km$ Sau 1h khoảng cách hai xe là 20km

d; Nếu xe A xuất phát trễ hơn nửa giờ: \[{{x}_{1}}=60(t-0,5)\]

Khi hai xe gặp nhau: x1 = x2 $\Rightarrow 60(t-0,5)=120-40t\Rightarrow t=1,5h$t = 1,5h

[Ẩn HD]

Câu 9: Xe máy đi từ A đến B mất 4 giờ, xe thứ 2 đi từ B đến A mất 3 giờ. Nếu 2 xe khởi hành cùng một lúc từ A và B để đến gần nhau thì sau 1,5 giờ 2 xe cách nhau 15km. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu.

Hướng dẫn

Chọn chiều dương là chiều chuyển động của xe máy đi từ A đến B, gốc tọa độ tại A, gốc thời gian là lúc hai xe xuất phát.

Vận tốc của hai xe \[{{v}_{A}}=\dfrac{S}{4};{{V}_{B}}=\dfrac{S}{3}\Rightarrow {{v}_{A}}=\dfrac{3}{4}{{v}_{B}}\]

Phương trình chuyển động của hai xe:

Xe một: \[{{x}_{1}}={{v}_{A}}t=\dfrac{3}{4}{{v}_{B}}.t\]

Xe hai: \[{{x}_{2}}=S-{{v}_{B}}t=3{{v}_{B}}-{{v}_{B}}t\]

Sau 1,5 giờ hai xe cách nhau 15km

$x=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=15\Rightarrow \left| \dfrac{3}{4}{{v}_{B}}.1,5-3{{v}_{B}}-{{v}_{B}}.1,5 \right|=15\Rightarrow {{v}_{B}}=40km/h$

$\Rightarrow $S = 3.vB = 120km.

Vậy quãng đường dài 120km

[Ẩn HD]

Câu 10: Lúc 6h20ph hai bạn chở nhau đi học bằng xe đạp với vận tốc v1 = 12km/h. Sau khi đi được 10 phút, một bạn chợt nhớ mình bỏ quên viết ở nhà nên quay lại và đuổi theo với vận tốc như cũ.Trong lúc đó bạn thứ hai tiếp tục đi bộ đến trường với vận tốc v2 = 6km/h và hai bạn đến trường cùng một lúc.

a/ Hai bạn đến trường lúc mấy giờ ? chậm học hay đúng giờ ? Biết 7h vào học.

b/ Tính quãng đường từ nhà đến trường.

c/ Để đến nơi đúng giờ học, bạn quay về bằng xe đạp phải đi với vận tốc bao nhiêu ?

Hướng dẫn

Sauk hi đi được 10 phút tức là \[{{t}_{1}}=\dfrac{1}{6}h\Rightarrow {{S}_{1}}={{v}_{1}}.{{t}_{1}}=12.\dfrac{1}{6}=2km\]

Chọn chiều dương là chiều chuyển động từ nhà tới trường, gốc tọa độ tại vị trí quay lại gốc thời gian là lúc 6h30 phút.

Phương trình chuyển động của bạn đi bộ\[{{x}_{1}}=6t\]

Phương trình chuyển động của bạn quay lại và đuổi theo, khi đến vị trí quay lại nhà lấy vở thì bạn kia muộn so với gốc thời gian là 20 phút \[{{x}_{2}}=12(t-\dfrac{1}{3})\]

Vì hai người cùng đến trường một lúc nên ta có

\[{{x}_{1}}={{x}_{2}}\Rightarrow 6t=12(t-\dfrac{1}{3})\Rightarrow t=\dfrac{2}{3}h=40phut\]

Vậy hai bạn đến trường lúc 7 giờ 10 phút

Vì vào học lúc 7h nên hai bạn đến trường muộn mất 10 phút.

b; Quãng đường từ vị trí quay về lấy vở đến trường là \[{{x}_{1}}=6.\dfrac{2}{3}=4km\]

Quãng đường từ nhà đến trường là 2+4=6km

c; Để đến trường đúng giờ thì \[t=\dfrac{1}{2}h\]

Vậy quãng đường bạn quay lại phải đi là 4+2+2=8km

\[\Rightarrow {{v}_{2}}=\dfrac{8}{\dfrac{1}{2}}=16(km/h)\]

[Ẩn HD]

Câu 11: Một xe khách chạy với v = 90km/h phía sau một xe tải đang chạy với v = 72km/h. Nếu xe khách cách xe tải 18km thì sau bao lâu nó sẽ bắt kịp xe tải ?. Khi đó xe tải phải chạy một quãng đường bao xa.

Hướng dẫn

Chọn chiều dương là chiều chuyển động của hai xe, gốc toạ độ tại vị trí xe khách chạy, gốc thời gian là lúc xét xe khách cách xe tải 18km. Phương trình chuyển động \[x={{x}_{0}}+vt\]

Phương trình chuyển động xư khách : \[{{x}_{0xk}}=0;{{v}_{xk}}=90km\Rightarrow {{x}_{1}}=90t\]

Phương trình chuyển động xe tải : \[{{x}_{0xt}}=18km;{{v}_{xt}}=72km/h\Rightarrow {{x}_{2}}=18+72t\]

Khi hai xe gặp nhau: x 1 = x2\[\Rightarrow 90t=18+54t\Rightarrow t=0,5h\]

S2 = v2.t = 72.0,5=36km

Vậy sau 0,5h=30 phút ha ixe gặp nhau và xe tải đã chuyển động được 36km.

[Ẩn HD]

Câu 12: Một người đứng ở điểm A cách đường quốc lộ h = 100m nhìn thấy một xe ô tô vừa đến B cách A d = 500m đang chạy trên đường với vận tốc \[{{v}_{1}}=50km/h\] Như hình vẽ. Đúng lúc nhìn thấy xe thì người đó chạy theo hướng ACbieets \[(B\hat{A}C=\alpha )\] với vậ tốc \[{{v}_{2}}\] .

Bài tập tìm vị trí, thời điểm gặp nhau, khoảng cách của chuyển động thẳng đều

a/ Biết \[{{v}_{2}}=\dfrac{20}{\sqrt{3}}(km/h)\]. Tính \[\alpha \]

b/ \[\alpha \]bằng bao nhiêu thì \[{{v}_{2}}\] cực tiểu ? Tính vận tốc cực tiểu ấy.

Hướng dẫn

a/ Gọi thời gian để ngườ và xe cùng đến C là t

ta có :\[AC={{v}_{2}}.t;BC={{v}_{1}}t\]

Xét tam giác ABC \[\Rightarrow \dfrac{AC}{\sin \beta }=\dfrac{BC}{\sin \alpha }\Rightarrow \dfrac{{{v}_{2}}t}{\sin \beta }=\dfrac{{{v}_{1}}t}{\sin \alpha }\]

\[\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}\sin \beta \] (1)

Xét tam giác ABH:

\[\sin \beta =\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{h}{d}\] (2)

Từ (1) và (2) ta có \[\sin \alpha =\dfrac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}.\dfrac{h}{d}=\dfrac{50}{\dfrac{20}{\sqrt{3}}}.\dfrac{100}{500}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\Rightarrow \alpha ={{60}^{0}} ; \alpha ={{120}^{0}} \]

b/ Từ ( 3 ) ta có \[{{v}_{2}}=\dfrac{{{v}_{1}}}{\sin \alpha }.\dfrac{h}{d}\]

vì \[{{v}_{1}};h;d\] không đổi nên dể \[{{v}_{2mim}}\] thì ta có \[\sin \alpha =1\Rightarrow \alpha ={{90}^{0}}\]

\[{{v}_{2mim}}={{v}_{1}}.\dfrac{h}{d}=50.\dfrac{100}{500}=10km/h\]

[Ẩn HD]