in

Hai đường thẳng vuông góc, Góc giữa hai đường thẳng, trắc nghiệm toán 11

Góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông góc, trắc nghiệm toán 11

  1. Định nghĩa:

Hai đường thẳng vuông góc, Góc giữa hai đường thẳng, trắc nghiệm toán 11

Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau \[a\] và \[b\] là góc nhỏ nhất trong bốn góc mà \[a\] và \[b\] cắt nhau tạo nên.

Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau \[a\] và \[b\] trong không gian là góc giữa hai đường thẳng \[{a}’\] và \[{b}’\] cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với \[a\] và\[b\].

Chú ý: góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn ( hoặc vuông ).

  1. Phương pháp

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.

Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu \[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{v}\] lần lượt là hai vecto chỉ phương ( hoặc vecto pháp tuyến ) của hai đường thẳng \[a\] và\[b\] thì góc \[\varphi \] của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức

\[\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{v} \right|}.\]

Câu 1

Cho hình lập phương\[ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’\]. Gọi \[M,N,P\] lần lượt là trung điểm các cạnh\[AB\], \[BC\],\[{C}'{D}’\]. Xác định góc giữa hai đường thẳng \[MN\] và\[AP\].

[A]. \[{{45}^{0}}\].

[B]. \[{{30}^{0}}\].

[C]. \[{{60}^{0}}\].

[D]. \[{{90}^{0}}\]

Hướng dẫn

Đáp án [A].

Hai đường thẳng vuông góc, Góc giữa hai đường thẳng, trắc nghiệm toán 11

Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh bằng \[a\] và \[MN\text{//}AC\] nên: $\left( \widehat{MN,AP} \right)=\left( \widehat{AC,AP} \right)$. Ta tính góc $\widehat{PAC}$.

Vì \[\Delta {A}'{D}’P\] vuông tại \[{D}’\] nên ${A}’P=\sqrt{{A}'{{{{D}’}}^{2}}+{D}'{{P}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.

\[\Delta A{A}’P\] vuông tại \[{A}’\] nên $AP=\sqrt{{A}'{{A}^{2}}+{A}'{{P}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{3a}{2}$.

\[\Delta C{C}’P\] vuông tại \[{C}’\] nên $CP=\sqrt{C{{{{C}’}}^{2}}+{C}'{{P}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$

Ta có \[AC\] là đường chéo của hình vuông \[ABCD\] nên \[AC=\] $a\sqrt{2}$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác \[ACP\] ta có:

\[\begin{align}
& C{{P}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{P}^{2}}-2A[C].AP.cos\widehat{CAP} \\
& \Rightarrow cos\widehat{CAP}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
& \Rightarrow cos\widehat{CAP}=45{}^\circ <90{}^\circ  \\
\end{align}\]

Nên $\left( \widehat{AC;AP} \right)=\widehat{CAP}=45{}^\circ $ hay \[\left( \widehat{MN;AP} \right)=45{}^\circ \]. Chọn [A].






Phương pháp 2: Ta có $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AP}=\left| \overrightarrow{MN} \right|.\left| \overrightarrow{AP} \right|.\cos \left( \overrightarrow{MN},\overrightarrow{AP} \right)$$\Rightarrow \cos \left( \overrightarrow{MN},\overrightarrow{AP} \right)=\dfrac{\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AP}}{\left| \overrightarrow{MN} \right|.\left| \overrightarrow{AP} \right|}\,\,\left( * \right)$

Ta có: $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AP}=\left( \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN} \right)\left( \overrightarrow{A{A}’}+\overrightarrow{{A}'{D}’}+\overrightarrow{{D}’P} \right)$

$=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{A{A}’}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{{A}'{D}’}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{{D}’P}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{A{A}’}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{{A}'{D}’}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{{D}’P}$

$=0+0+\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}+0+\dfrac{a}{2}.a+0=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}\left( 1 \right)$

$\left| \overrightarrow{MN} \right|.\left| \overrightarrow{AP} \right|=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{3a}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{2}}}{4}\left( 2 \right)$

Thay $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ vào $\left( * \right)$ ta được: $\cos \left( \overrightarrow{MN},\overrightarrow{AP} \right)=\dfrac{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}{\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{\left( MN,AP \right)}={{45}^{0}}.$

[Ẩn HD]

Câu 2

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=2a.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $BC,AD$. Biết rằng $MN=a\sqrt{3}.$ Tính góc của $AB$ và $CD$.

[A]. ${{45}^{0}}.$

[B]. ${{30}^{0}}$.

[C]. ${{60}^{0}}$.

[D]. ${{90}^{0}}$.

Hướng dẫn

Đáp án [C].

Hai đường thẳng vuông góc, Góc giữa hai đường thẳng, trắc nghiệm toán 11

Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. Ta có $IM=IN=a$.

Áp dụng định lý cosin cho $\Delta IMN$ ta có:

$\cos \widehat{MIN}=\dfrac{I{{M}^{2}}+I{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2.IM.IN}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}{2.a.a}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{MIN}={{120}^{0}}$.

Vì $IM//AB,IN//CD\Rightarrow \widehat{\left( AB,CD \right)}=\widehat{\left( IM,IN \right)}={{180}^{0}}-{{120}^{0}}={{60}^{0}}$.

[Ẩn HD]

Câu 3

Cho lăng trụ $ABC{A}'{B}'{C}’$ có độ dài cạnh bên bằng $2a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A\,$, $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$ và hình chiếu vuông góc của đỉnh ${A}’$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $A{A}’$, ${B}'{C}’$.

Hướng dẫn

Phương pháp 1:

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, $\varphi $ là góc giữa $A{A}’$ và ${B}'{C}’$.

Ta có $A{A}’//B{B}’$ và ${B}'{C}’//BC$ nên góc giữa $\left( \widehat{A{A}’,{B}'{C}’} \right)=\left( \widehat{B{B}’,BC} \right)$ .

Ta tính góc $\widehat{\,{B}’BH}$

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên ta có: $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=2a$.

$AH=\dfrac{1}{2}BC=a\Rightarrow {A}’H=\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$.

Vì $AH\bot \left( {A}'{B}'{C}’ \right)$ nên $\Delta {A}'{B}’H$ vuông tại ${A}’$

${B}’H=\sqrt{{A}'{{H}^{2}}+{A}'{{{{B}’}}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=2a$.

\[\cos \widehat{{B}’BH}=\dfrac{{B}'{{B}^{2}}+B{{H}^{2}}-{B}'{{H}^{2}}}{2{B}’B.BH}\]

\[=\dfrac{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}{2.2a.a}=\dfrac{1}{4}\] Chọn A

Phương pháp 2:

Ta có

\[\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{A{A}’};\overrightarrow{{B}'{C}’} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{A{A}’}.\overrightarrow{{B}'{C}’} \right|}{\left| \overrightarrow{A{A}’} \right|.\left| \overrightarrow{{B}'{C}’} \right|}=\dfrac{\left| \left( \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{H{A}’} \right).\overrightarrow{BC} \right|}{2a.2a}=\dfrac{\left| \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{H{A}’}.\overrightarrow{BC} \right|}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{\left| \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} \right|}{4{{a}^{2}}}\]

$=\dfrac{\left| \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right)\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right) \right|}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{\left| \dfrac{1}{2}\left( A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}} \right) \right|}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{\left| \dfrac{1}{2}\left( 3{{a}^{2}}-{{a}^{2}} \right) \right|}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{4}$.

[Ẩn HD]

Câu 4

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD$. Gọi \[M\] là trung điểm $CD$. Tính cosin góc của $AC$ và $BM$.

[A]. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$  .

[B]. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.

[C]. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

[D]. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Hướng dẫn

Chọn B

Cách 1.  Gọi \[N\] là trung điểm \[AD\] ta có: $MN\text{//}AC$ $\Rightarrow \left( \,\widehat{AC;BM} \right)=\,\left( \,\widehat{MN;BM} \right)$. Ta tính góc$\,\widehat{BMN}$. Ta có: $BM=BN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$  (trung tuyến tam giác đều).

$MN=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a}{2}$.

Áp dụng định lý cosin cho $\Delta BMN$,  ta được:

$\cos \,\widehat{BMN}=\dfrac{B{{M}^{2}}+M{{N}^{2}}-B{{N}^{2}}}{2BM.MN}=\dfrac{MN}{2BM}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}>0$.

Vậy $\cos \left( \,\widehat{AC;BM} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.$

Cách 2. $\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BM} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BM} \right|}{\left| \overrightarrow{AC} \right|.\left| \overrightarrow{BM} \right|}=\dfrac{\left| \overrightarrow{AC}.\left( \overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CB} \right) \right|}{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$

$=\dfrac{\left| \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} \right|}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\left| a.\dfrac{a}{2}\cos {{120}^{0}}-a.a.\cos {{120}^{0}} \right|}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\left| -\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2} \right|}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.

[Ẩn HD]

What do you think?

Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published.

Loading…

0

Comments

0 comments

Véc tơ trong không gian, trắc nghiệm toán 11

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, trắc nghiệm toán 11