in

Bài tập cấp số nhân, trắc nghiệm toán 11

Bài tập cấp số nhân, trắc nghiệm toán 11

ĐỊNH NGHĨA.

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nhân với một số không đổi q.

Số không đổi q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Đặc biệt:

  • Khi thì cấp số nhân là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
  • Khi thì cấp số nhân có dạng  
  • Khi thì với mọi  cấp số nhân có dạng  

Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

Nếu \[\left( {{u}_{n}} \right)\]là một cấp số nhân với công bội $q$, ta có công thức truy hồi $$  (1)

Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân.

Câu 1

Dãy số nào dưới đây không là cấp số nhân?

[A]. $-1,-\dfrac{1}{5},-\dfrac{1}{25},-\dfrac{1}{125}.$

[B]. $-\dfrac{1}{8};-\dfrac{1}{4};-\dfrac{1}{2};1.$

[C]. $\sqrt[4]{2};2\sqrt[4]{2};4\sqrt[4]{2};8\sqrt[4]{2}.$

[D]. $1;\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{9};\dfrac{1}{27}.$

Hướng dẫn

Đáp án B

Các dãy số trong các phương án $A,C$ và D đảm bảo về dấu còn dãy số trong phương án B thì 3 số hạng đầu âm còn số hạng thứ tư là dương nên dãy số trong phương án B không phải là cấp số nhân.

[Ẩn HD]

Câu 2

Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?

[A]. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right),$ với ${{u}_{n}}=7-3n.$

[B]. Dãy số $\left( {{v}_{n}} \right),$ với ${{v}_{n}}=7-{{3}^{n}}.$

[C]. Dãy số $\left( {{w}_{n}} \right),$ với ${{w}_{n}}={{7.3}^{n}}.$

[D]. Dãy số $\left( {{t}_{n}} \right),$ với ${{t}_{n}}=\dfrac{7}{3n}.$

Hướng dẫn

Đáp án C

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.






+ Phương án $A:$ Ba số hạng đầu của dãy số là $4,1,-2$ không lập thành cấp số nhân nên dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.

+ Phương án $B:$ Ba số hạng đầu của dãy số là $4;-2;-20$ không lập thành cấp số nhân nên dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.

+ Phương án $C:$ Ta có ${{w}_{n+1}}={{7.3}^{n+1}}=3{{w}_{n}},\forall n\ge 1$ nên dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân.

+ Phương án $D:$ Ba số hạng đầu của dãy số là $\dfrac{7}{3},\dfrac{7}{6},\dfrac{7}{9}$ không lập thành cấp số nhân nên dãy số $\left( {{t}_{n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.

[Ẩn HD]

Câu 3

Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân.

[A]. $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=2 \\
& {{u}_{n+1}}=u_{n}^{2} \\
\end{align} \right..$
[B]. $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=-1 \\
& {{u}_{n+1}}=3{{u}_{n}} \\
\end{align} \right..$
[C]. $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=-3 \\
& {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+1 \\
\end{align} \right..$
[D]. $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=3 \\
& {{u}_{n+1}}={{2}^{n}}.{{u}_{n}} \\
\end{align} \right..$

Hướng dẫn

Đáp án B

Cách kiểm tra như câu 2.

[Ẩn HD]

Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân.

Câu 4

Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi ${{u}_{1}}=3$ và ${{u}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}}{4},\forall n\ge 1.$ Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

[A]. ${{u}_{n}}={{3.4}^{-n}}.$

[B]. ${{u}_{n}}={{3.4}^{1-n}}.$

[C]. ${{u}_{n}}={{3.4}^{n-1}}.$

[D]. ${{u}_{n}}={{3.4}^{-n-1}}.$

Hướng dẫn

Đáp án B

Ta có: ${{u}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}}{4}=\dfrac{1}{4}.{{u}_{n}}$ nên $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q=\dfrac{1}{4}.$ Suy ra số hạng tổng quát là ${{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}=3.{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{n-1}}={{3.4}^{1-n}}.$

Vậy phương án đúng là B

[Ẩn HD]

Câu 5

Cho cấp số nhân $\left( {{x}_{n}} \right)$ có ${{x}_{2}}=-3$ và ${{x}_{4}}=-27.$ Tính số hạng đầu ${{x}_{1}}$ và công bội $q$ của cấp số nhân.

[A]. ${{x}_{1}}=-1,q=-3$hoặc ${{x}_{1}}=1,q=3.$

[B]. ${{x}_{1}}=-1,q=3$ hoặc ${{x}_{1}}=1,q=-3.$

[C]. ${{x}_{1}}=3,q=-1$ hoặc ${{x}_{1}}=-3,q=1.$

[D]. ${{x}_{1}}=3,q=1$ hoặc ${{x}_{1}}=-3,q=-1.$

Hướng dẫn

Đáp án B

Ta có $\left\{ \begin{align}
& {{x}_{2}}=-3 \\
& {{x}_{4}}=-27 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{x}_{1}}q=-3 \\
& {{x}_{1}}{{q}^{3}}=-27 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{x}_{1}}=-1 \\
& q=3 \\
\end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}
& {{x}_{1}}=1 \\
& q=-3 \\
\end{align} \right..$

Do đó B là phương án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 6

Cho cấp số nhân $\left( {{a}_{n}} \right)$ có ${{a}_{3}}=8$ và ${{a}_{5}}=32.$ Tìm số hạng thứ mười của cấp số nhân đó.

[A]. ${{a}_{10}}=\pm 1024.$

[B]. ${{a}_{10}}=\pm 512.$

[C]. ${{a}_{10}}=1024.$

[D]. ${{a}_{10}}=-1024.$

Hướng dẫn

Đáp án A

Ta có: $\left\{ \begin{align}
& {{a}_{3}}=8 \\
& {{a}_{5}}=32 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}{{q}^{2}}=8 \\
& {{a}_{1}}{{q}^{4}}=32 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}=2 \\
& q=2 \\
\end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}=2 \\
& q=-2 \\
\end{align} \right..$

Với ${{a}_{1}}=2,q=2$ thì ${{a}_{10}}={{a}_{1}}{{q}^{9}}=1024.$

Với ${{a}_{1}}=2,q=-2$ thì ${{a}_{10}}={{a}_{1}}{{q}^{9}}=-1024.$

Vậy ${{a}_{10}}=\pm 1024.$ Suy ra A là phương án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 7

Cho cấp số nhân $x,12,y,192.$ Tìm $x$ và $y.$

[A]. $x=3,y=48$ hoặc $x=4,y=36.$

[B]. $x=-3,y=-48$ hoặc $x=2,y=72.$

[C]. $x=3,y=48$ hoặc $x=-3,y=-48.$

[D]. $x=3,y=-48$ hoặc $x=-3,y=48.$

Hướng dẫn

Đáp án C

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:

${{y}^{2}}=12.192=2304$ $\Rightarrow y=\pm 48.$

Cũng theo tính chất của cấp số nhân, ta có:

$xy={{12}^{2}}=144.$

Với $y=48$ thì $x=3;$ với $y=-48$ thì $x=-3.$

Vậy phương án đúng là C

[Ẩn HD]

Câu 8

Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=5,q=3$ và ${{S}_{n}}=200,$ tìm $n$ và ${{u}_{n}}.$

[A]. $n=5$ và ${{u}_{n}}=405.$

[B]. $n=6$ và ${{u}_{n}}=1215.$

[C]. $n=7$ và ${{u}_{n}}=3645.$

[D]. $n=4$ và ${{u}_{n}}=135.$

Hướng dẫn

Đáp án D

Ta có: ${{S}_{n}}={{u}_{1}}.\dfrac{1-{{q}^{n}}}{1-q}$ nên theo giả thiế, ta có:

$5.\dfrac{1-{{3}^{n}}}{1-3}=200$ $\Leftrightarrow {{3}^{n}}=81\Leftrightarrow n=4.$

Suy ra ${{u}_{4}}={{u}_{1}}.{{q}^{3}}=135.$ Vậy đáp án là D

[Ẩn HD]

Câu 9

Cho cấp số nhân $\left( {{a}_{n}} \right)$ có ${{a}_{1}}=2$ và biểu thức $20{{\text{a}}_{1}}-10{{\text{a}}_{2}}+{{a}_{3}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ bảy của cấp số nhân đó.

[A]. ${{a}_{7}}=156250.$

[B]. ${{a}_{7}}=31250.$

C.${{a}_{7}}=2000000.$

[D]. ${{a}_{7}}=39062.$

Hướng dẫn

Đáp án B

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân $\left( {{a}_{n}} \right)$.

Ta có $20{{\text{a}}_{1}}-10{{\text{a}}_{2}}+{{a}_{3}}=2\left( {{q}^{2}}-10q+20 \right)$ $=2{{\left( q-5 \right)}^{2}}-10\ge -10,\forall q.$

Dấu bằng xảy ra khi $q=5.$

Suy ra ${{a}_{7}}={{a}_{1}}.{{q}^{6}}={{2.5}^{6}}=31250.$

Vậy phương án đúng là B

[Ẩn HD]

Câu 10

Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất bằng $\dfrac{1}{9}$ số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các góc trong tứ giác đó.

[A]. ${{5}^{0}},{{15}^{0}},{{45}^{0}},{{225}^{0}}.$

[B]. ${{9}^{0}},{{27}^{0}},{{81}^{0}},{{243}^{0}}.$

[C]. ${{7}^{0}},{{21}^{0}},{{63}^{0}},{{269}^{0}}.$

[D]. ${{8}^{0}},{{32}^{0}},{{72}^{0}},{{248}^{0}}.$

Hướng dẫn

Đáp án B

Cách 1: Kiểm tra các dãy số trong mỗi phương án có thỏa mãn yêu cầu của bài toán không.

+ Phương án $A:$ Các góc ${{5}^{0}},{{15}^{0}},{{45}^{0}},{{225}^{0}}$ không lập thành cấp số nhân vì

${{15}^{0}}={{3.5}^{0}};$ ${{45}^{0}}={{3.15}^{0}};$ ${{225}^{0}}\ne {{3.45}^{0}}.$

+ Phương án $B:$ Các góc ${{9}^{0}},{{27}^{0}},{{81}^{0}},{{243}^{0}}$ lập thành cấp số nhân và ${{9}^{0}}+{{27}^{0}}+{{81}^{0}}+{{243}^{0}}={{360}^{0}}.$ Hơn nữa, ${{9}^{0}}=\dfrac{1}{9}{{81}^{0}}$ nên B là phương án đúng.

+ Phương án C và $D:$ Kiểm tra như phương án A

Cách 2: Gọi các góc của tứ giác là $a,aq,a{{q}^{2}},a{{q}^{3}},$ trong đó $q>1.$

Theo giả thiết, ta có $a=\dfrac{1}{9}a{{q}^{2}}$ nên $q=3.$

Suy ra các góc của tứ giác là $a,3\text{a},9\text{a},27\text{a}.$

Vì tổng các góc trong tứ giác bằng ${{360}^{0}}$ nên ta có:

$a+3\text{a}+9\text{a}+27\text{a}={{360}^{0}}$ $\Leftrightarrow \text{a}={{9}^{0}}.$

Do đó, phương án đúng là B (vì trong ba phương án còn lại không có phương án nào có góc ${{9}^{0}}$).

[Ẩn HD]

Câu 11

Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=-540 \\
& {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=180 \\
\end{align} \right..$ Tìm số hạng đầu ${{u}_{1}}$ và công bội $q$ của cấp số nhân.

[A]. ${{u}_{1}}=2,q=-3.$

[B]. ${{u}_{1}}=2,q=3.$

[C]. ${{u}_{1}}=-2,q=3.$

[D]. ${{u}_{1}}=-2,q=-3.$

Hướng dẫn

Đáp án A

Ta có ${{u}_{4}}+{{u}_{6}}=-540$ $\Leftrightarrow \left( {{u}_{3}}+{{u}_{5}} \right)q=-540.$

Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được $q=-3.$

Lại có ${{u}_{3}}+{{u}_{5}}=180$ $\Leftrightarrow {{u}_{1}}\left( {{q}^{2}}+{{q}^{4}} \right)=180.$

Vì $q=-3$ nên ${{u}_{1}}=2.$

Vậy phương án đúng là A

[Ẩn HD]

Câu 12

Cho cấp số nhân $\left( {{a}_{n}} \right)$ có ${{a}_{1}}=7,$ ${{a}_{6}}=224$ và ${{S}_{k}}=3577.$ Tính giá trị của biểu thức $T=\left( k+1 \right){{a}_{k}}.$

[A]. $T=17920.$

[B]. $T=8064.$

[C]. $T=39424.$

[D]. $T=86016.$

Hướng dẫn

Đáp án A

Ta có ${{a}_{6}}=224$ $\Leftrightarrow {{a}_{1}}{{q}^{5}}=224$ $\Rightarrow q=2$ (do ${{a}_{1}}=7$).

Do ${{S}_{k}}=\dfrac{{{a}_{1}}\left( 1-{{q}^{k}} \right)}{1-q}=7\left( {{2}^{k}}-1 \right)$ nên ${{S}_{k}}=3577$ $\Leftrightarrow 7\left( {{2}^{k}}-1 \right)=3577$ $\Leftrightarrow {{2}^{k}}={{2}^{9}}$ $\Leftrightarrow k=9.$

Suy ra $T=10{{\text{a}}_{9}}=10{{\text{a}}_{1}}{{q}^{8}}=17920.$

Vậy phương án đúng là A

[Ẩn HD]

Dạng 3: Bài tập về tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Câu 13

Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{S}_{2}}=4$ và ${{S}_{3}}=13.$ Tìm ${{S}_{5}}.$

[A]. ${{S}_{5}}=121$ hoặc ${{S}_{5}}=\dfrac{181}{16}.$

[B]. ${{S}_{5}}=121$ hoặc ${{S}_{5}}=\dfrac{35}{16}.$

[C]. ${{S}_{5}}=114$ hoặc ${{S}_{5}}=\dfrac{185}{16}.$

[D]. ${{S}_{5}}=141$ hoặc ${{S}_{5}}=\dfrac{183}{16}.$

Hướng dẫn

Đáp án A

Ta có ${{u}_{3}}={{S}_{3}}-{{S}_{2}}=9$ $\Rightarrow {{u}_{1}}{{q}^{2}}=9\Rightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{9}{{{q}^{2}}}$

Vì ${{S}_{2}}=4$ nên ${{u}_{1}}+{{u}_{1}}q=4.$ Do đó $\dfrac{9}{{{q}^{2}}}+\dfrac{9}{q}=4$

$\Leftrightarrow 4{{q}^{2}}-9q-9=0$ $\Leftrightarrow q=3$ hoặc $q=-\dfrac{3}{4}.$

+ Với $q=3$ thì ${{u}_{1}}=1,$ ${{u}_{6}}={{u}_{1}}{{q}^{5}}=243.$

Suy ra ${{S}_{5}}=\dfrac{{{u}_{1}}-{{u}_{6}}}{1-q}=\dfrac{1-243}{1-3}=121.$

+ Với $q=-\dfrac{3}{4}$ thì ${{u}_{1}}=16,$ ${{u}_{6}}=-\dfrac{243}{64}.$

Suy ra ${{S}_{5}}=\dfrac{{{u}_{1}}-{{u}_{6}}}{1-q}=\dfrac{181}{16}.$

Vậy phương án đúng là A

[Ẩn HD]

Câu 14

Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=8$ và biểu thức $4{{u}_{3}}+2{{u}_{2}}-15{{u}_{1}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính ${{S}_{10}}.$

[A]. ${{S}_{10}}=\dfrac{2\left( {{4}^{11}}+1 \right)}{{{5.4}^{9}}}$

[B]. ${{S}_{10}}=\dfrac{2\left( {{4}^{10}}+1 \right)}{{{5.4}^{8}}}$

[C]. ${{S}_{10}}=\dfrac{{{2}^{10}}-1}{{{3.2}^{6}}}$

[D]. ${{S}_{10}}=\dfrac{{{2}^{11}}-1}{{{3.2}^{7}}}$

Hướng dẫn

Đáp án B

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân. Khi đó

$4{{u}_{3}}+2{{u}_{2}}-15{{u}_{1}}=2{{\left( 4q+1 \right)}^{2}}-122\ge -122,\forall q.$

Dấu bằng xảy ra khi $4q+1=0$ $\Leftrightarrow q=-\dfrac{1}{4}.$

Suy ra: ${{S}_{10}}={{u}_{1}}.\dfrac{1-{{q}^{10}}}{1-q}=8.\dfrac{1-{{\left( -\dfrac{1}{4} \right)}^{10}}}{1-\left( -\dfrac{1}{4} \right)}=\dfrac{2\left( {{4}^{10}}-1 \right)}{{{5.4}^{8}}}$

Vậy phương án đúng là B

[Ẩn HD]

Câu 15

Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=2,$ công bội dương và biểu thức ${{u}_{4}}+\dfrac{1024}{{{u}_{7}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S={{u}_{11}}+{{u}_{12}}+…+{{u}_{20}}.$

[A]. $S=2046.$

[B]. $S=2097150.$

[C]. $S=2095104.$

[D]. $S=1047552.$

Hướng dẫn

Đáp án C

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân, $q>0.$

Ta có ${{u}_{4}}+\dfrac{1024}{{{u}_{7}}}=2{{q}^{3}}+\dfrac{512}{{{q}^{6}}}.$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$2{{q}^{3}}+\dfrac{512}{{{q}^{6}}}={{q}^{3}}+{{q}^{3}}+\dfrac{512}{{{q}^{6}}}\ge 3\sqrt[3]{{{q}^{3}}.{{q}^{3}}.\dfrac{512}{{{q}^{6}}}}=24.$

Suy ra ${{u}_{4}}+\dfrac{1024}{{{u}_{7}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $24$ khi ${{q}^{3}}=\dfrac{512}{{{q}^{6}}}$ $\Leftrightarrow q=2.$

Ta có ${{S}_{10}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{10}} \right)}{1-q}={{2}^{11}}-2;$ ${{S}_{10}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{20}} \right)}{1-q}={{2}^{21}}-2.$

Do đó $S={{S}_{20}}-{{S}_{10}}=2095104.$ Vậy phương án đúng là C

[Ẩn HD]

Câu 16

Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=-540 \\
& {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=180 \\
\end{align} \right.$. Tính ${{S}_{21}}.$

[A]. ${{S}_{21}}=\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{21}}+1 \right)$

[B]. ${{S}_{21}}={{3}^{21}}-1.$

[C]. ${{S}_{21}}=1-{{3}^{21}}.$

[D]. ${{S}_{21}}=-\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{21}}+1 \right).$

Hướng dẫn

Đáp án A

Ta có ${{u}_{4}}+{{u}_{6}}=-540$ $\Leftrightarrow \left( {{u}_{3}}+{{u}_{5}} \right)q=-540.$

Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được $q=-3.$ Lại có ${{u}_{3}}+{{u}_{5}}=180$ $\Leftrightarrow {{u}_{1}}\left( {{q}^{2}}+{{q}^{4}} \right)=180.$

Vì $q=-3$ nên ${{u}_{1}}=2.$ Suy ra ${{S}_{21}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{21}} \right)}{1-q}=\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{21}}+1 \right).$

Vậy phương án đúng là A

[Ẩn HD]

Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân.

Câu 17

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: ${{x}^{3}}-\left( 3x+1 \right){{\text{x}}^{2}}+\left( 5m+4 \right)x-8=0.$

[A]. $m=-2.$

[B]. $m=2.$

[C]. $m=4.$

[D]. $m=-4.$

Hướng dẫn

Đáp án B

Cách 1: Ta có $-\dfrac{d}{a}=-\dfrac{-8}{1}=8.$

Điều kiện cần để phương trình đã choc ó ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là $x=\sqrt[3]{8}=2$ là nghiệm của phương trình.

Thay $x=2$ vào phương trình đã cho, ta được

$4-2m=0$ $\Leftrightarrow m=2.$

Với $m=2,$ ta có phương trình ${{x}^{3}}-7{{\text{x}}^{2}}+14\text{x}-8=0$ $\Leftrightarrow x=1;x=2;x=4$

Ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân nên $m=2$ là giá trị cần tìm. Vậy, B là phương án đúng.

Cách 2: Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 18

Biết rằng tồn tại hai giá trị ${{m}_{1}}$ và ${{m}_{2}}$ để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: $2{{\text{x}}^{3}}+2\left( {{m}^{2}}+2m-1 \right){{x}^{2}}-7\left( {{m}^{2}}+2m-2 \right)x-54=0.$ Tính giá trị của biểu thức $P=m_{1}^{3}+m_{2}^{3}.$

[A]. $P=-56$

[B]. $P=8.$

[C]. $P=56$

[D]. $P=-8.$

Hướng dẫn

Đáp án A

Ta có $-\dfrac{d}{a}=-\dfrac{-54}{2}=27.$

Điều kiện cần để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân là $x=\sqrt[3]{27}=3$ phải là nghiệm của phương trình đã cho.

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-8=0$ $\Leftrightarrow m=2;m=-4.$

Vì giả thiết cho biết tồn tại đúng hai giá trị của tham số $m$ nên $m=2$ và $m=-4$ là các giá trị thỏa mãn

Suy ra $P={{2}^{3}}+{{\left( -4 \right)}^{3}}=-56.$

Vậy phương án đúng là A

[Ẩn HD]

Câu 19

Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên $10%.$ Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên $10%.$ Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn tăng giá là bao nhiêu?

[A]. $120.$

[B]. $121.$

[C]. $122.$

[D]. $200.$

Hướng dẫn

Đáp án B

Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng A là:

${{M}_{1}}=100+100.10%=110.$

Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng A là:

${{M}_{2}}=110+110.10%=121.$

Suy ra phương án đúng là B

[Ẩn HD]

Câu 20

Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là $0,7%$ số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền?

[A]. ${{10}^{8}}.{{\left( 0,007 \right)}^{5}}$ (đồng)

[B]. ${{10}^{8}}.{{\left( 1,007 \right)}^{5}}$ (đồng)

[C]. ${{10}^{8}}.{{\left( 0,007 \right)}^{6}}$ (đồng)

[D]. ${{10}^{8}}.{{\left( 1,007 \right)}^{6}}$ (đồng)

Hướng dẫn

Đáp án D.

Số tiền ban đầu là ${{M}_{0}}={{10}^{8}}$ (đồng).

Đặt $r=0,7%=0,007$.

Số tiền sau tháng thứ nhất là ${{M}_{1}}={{M}_{0}}+{{M}_{0}}r={{M}_{0}}\left( 1+r \right)$.

Số tiền sau tháng thứ hai là ${{M}_{2}}={{M}_{1}}+{{M}_{1}}r={{M}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{2}}$.

Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là ${{M}_{6}}={{M}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{6}}$.

Do đó ${{M}_{6}}={{10}^{8}}{{\left( 1,007 \right)}^{6}}$.

[Ẩn HD]

Câu 21

Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là $1,2%.$ Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu?

[A]. $10320$ nghìn người.

[B]. $3000$ nghìn người.

[C]. $2227$ nghìn người.

[D]. $2300$ nghìn người.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Đặt ${{P}_{0}}=2000000={{2.10}^{6}}$ và $r=1,2%=0,012$.

Gọi ${{P}_{n}}$ là số dân của tỉnh $M$ sau $n$ năm nữa.

Ta có: ${{P}_{n+1}}={{P}_{n}}+{{P}_{n}}r={{P}_{n}}\left( 1+r \right)$.

Suy ra $\left( {{P}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${{P}_{0}}$ và công bội $q=1+r$.

Do đó số dân của tỉnh $M$ sau $10$ năm nữa là: ${{P}_{9}}={{M}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{9}}={{2.10}^{6}}{{\left( 1,012 \right)}^{10}}\approx 2227000$.

[Ẩn HD]

Câu 22

Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có ${{10}^{12}}$ tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

[A]. ${{1024.10}^{12}}$ tế bào.

[B]. ${{256.10}^{12}}$ tế bào.

[C]. ${{512.10}^{12}}$ tế bào.

[D]. ${{512.10}^{13}}$ tế bào.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Lúc đầu có ${{10}^{22}}$ tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với ${{u}_{1}}={{10}^{22}}$ và công bội $q=2$.

Do cứ $20$ phút phân đôi một lần nên sau $3$ giờ sẽ có $9$lần phân chia tế bào. Ta có ${{u}_{10}}$ là số tế bào nhận được sau $3$ giờ. Vậy, số tế bào nhận được sau $3$ giờ là ${{u}_{10}}={{u}_{1}}{{q}^{9}}={{512.10}^{12}}$.

[Ẩn HD]

Câu 23

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích đế tháp là $12288{{m}^{2}},$ tính diện tích mặt trên cùng.

[A]. $6{{m}^{2}}.$

[B]. $12{{m}^{2}}.$

[C]. $24{{m}^{2}}.$

[D]. $3{{m}^{2}}.$

Hướng dẫn

Đáp án A.

Gọi ${{u}_{0}}$ là diện tích đế tháp và ${{u}_{n}}$ là diện tích bề mặt trên của tầng thứ $n$, với $1\le n\le 11$. Theo giả thiết, ta có ${{u}_{n+1}}=\dfrac{1}{2}{{u}_{n}}0\le n\le 10$.

Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ lập thành cấp số nhân với số hạng đầu ${{u}_{0}}=12288$ và công bội $q=\dfrac{1}{2}$.

Diện tích mặt trên cùng của tháp là ${{u}_{11}}={{u}_{0}}.{{q}^{11}}=12288.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{11}}=6\,{{\text{m}}^{2}}$.

[Ẩn HD]

Câu 24

Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng.

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là sai?

[A]. Dãy số $\left( {{a}_{n}} \right)$, với ${{a}_{1}}=3$ và ${{a}_{n+1}}=\sqrt{{{a}_{n}}+6},$ $\forall n\ge 1,$ vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

[B]. Dãy số $\left( {{b}_{n}} \right)$, với ${{b}_{1}}=1$ và ${{b}_{n+1}}\left( 2b_{n}^{2}+1 \right)=3,$ $\forall n\ge 1,$ vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

[C]. Dãy số $\left( {{c}_{n}} \right)$, với ${{c}_{1}}=2$ và ${{c}_{n+1}}=3c_{n}^{2}-10$ $\forall n\ge 1,$ vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

[D]. Dãy số $\left( {{d}_{n}} \right)$, với ${{d}_{1}}=-3$ và ${{d}_{n+1}}=2\text{d}_{n}^{2}-15,$ $\forall n\ge 1,$ vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

Hướng dẫn

Đáp án D.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.

+ Phương án A:Ta có ${{a}_{2}}=3;{{a}_{2}}=3;…$ Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ra chứng minh được rằng ${{a}_{n}}=3,\forall n\ge 1$. Do đó $\left( {{a}_{n}} \right)$ là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng  (công sai bằng $0$) vừa là cấp số nhân  (công bội bằng $1$).

+ Phương án B: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được ${{b}_{n}}=1,\forall n\ge 1$. Do đó $\left( {{b}_{n}} \right)$ là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng  (công sai bằng $0$) vừa là cấp số nhân  (công bội bằng $1$).

+ Phương án C: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được ${{c}_{n}}=2,\forall n\ge 1$. Do đó $\left( {{c}_{n}} \right)$ là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng  (công sai bằng $0$) vừa là cấp số nhân  (công bội bằng $1$).

+ Phương án D: Ta có: ${{d}_{1}}=-3,{{d}_{2}}=3,{{d}_{3}}=3$. Ba số hạng này không lập thành cấp số cộng cũng không lập thành cấp số nhân  nên dãy số $\left( {{d}_{n}} \right)$ không phải là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân .

[Ẩn HD]

Câu 25

Các số $x+6y,$ $5\text{x}+2y,$ $8\text{x}+y$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các số $x+\dfrac{5}{3},$ $y-1,$ $2\text{x}-3y$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm $x$ và $y.$

[A]. $x=-3,y=-1$ hoặc $x=\dfrac{3}{8},y=\dfrac{1}{8}.$

[B]. $x=3,y=1$ hoặc $x=-\dfrac{3}{8},y=-\dfrac{1}{8}.$

[C]. $x=24,y=8$ hoặc $x=-3,y=-1$

[D]. $x=-24,y=-8$ hoặc $x=3,y=1$

Hướng dẫn

Đáp án A.

+ Ba số $x+6y,5x+2y,8x+y$ lập thành cấp số cộng nên $\left( x+6y \right)+\left( 8x+y \right)=2\left( 5x+2y \right)\Leftrightarrow x=3y$.

+ Ba số $x+\dfrac{5}{3},y-1,2x-3y$ lập thành cấp số nhân nên $\left( x+\dfrac{5}{3} \right)\left( 2x-3y \right)={{\left( y-1 \right)}^{2}}$.

Thay $x=3y$ vào ta được $8{{y}^{2}}+7y-1=0\Leftrightarrow y=-1$ hoặc $y=\dfrac{1}{8}$.

Với $y=-1$ thì $x=-3$; với $y=\dfrac{1}{8}$ thì $x=\dfrac{3}{8}$.

[Ẩn HD]

Câu 26

Ba số $x,y,z$ lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số $2;3;9$ vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính $F={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}.$

[A]. $F=389.$hoặc $F=395.$

[B]. $F=395.$ hoặc  $F=179.$

[C]. $F=389.$ hoặc $F=179.$

[D]. $F=441$ hoặc $F=357.$

Hướng dẫn

Đáp án C.

Theo tính chất của cấp số cộng , ta có $x+z=2y$.

Kết hợp với giả thiết $x+y+z=21$, ta suy ra $3y=21\Leftrightarrow y=7$.

Gọi D là công sai của cấp số cộng thì $x=y-d=7-d$ và $z=y+d=7+d$.

Sau khi thêm các số $2;3;9$ vào ba số $x,y,z$ ta được ba số là $x+2,y+3,z+9$ hay $9-d,10,16+d$.

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có $\left( 9-d \right)\left( 16+d \right)={{10}^{2}}\Leftrightarrow {{d}^{2}}+7d-44=0$.

Giải phương trình ta được $d=-11$ hoặc $d=4$.

Với $d=-11$, cấp số cộng $18,7,-4$. Lúc này $F=389$.

Với $d=4$, cấp số cộng $3,7,11$. Lúc này $F=179$.

[Ẩn HD]

What do you think?

Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published.

Loading…

0

Comments

0 comments

Bài tập cấp số cộng, trắc nghiệm toán 11

Giới hạn của dãy số, trắc nghiệm toán 11