in

Bài tập cấp số cộng, trắc nghiệm toán 11

Bài tập cấp số cộng, trắc nghiệm toán 11

ĐỊNH NGHĨA.

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$.

Số không đổi  được gọi là công sai của cấp số cộng.

Đặc biệt, khi  thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

  • Nếu x\[\left( {{u}_{n}} \right)\] là một cấp số cộng với công sai $d$, ta có công thức truy hồi

${{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+d,\ n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$ $\left( 1 \right)$

            2) Cấp số cộng \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai $d>0$.

            3) Cấp số cộng \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai $d<0$.

Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số cộng

Câu 1

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

[A]. $-3,\,1,\,5,\,9,\,14$.

[B]. $5,2,-1,-4,-7$.

[C]. $\dfrac{5}{3},1,\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{3},-3$.

[D]. $-\dfrac{7}{2},-\dfrac{5}{2},-2,-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}$.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.

– Phương án A: $1-\left( -3 \right)=5-1=9-5=4\ne 14-9=5$.

– Phương án B: $2-5=-1-2=-4-\left( -1 \right)=-7-\left( -4 \right)=-3$.

Vậy dãy số ở phương án B là cấp số cộng.

[Ẩn HD]

Câu 2

Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?

[A]. Dãy số $\left( {{a}_{n}} \right)$ với ${{a}_{n}}=3n-5$.

[B]. Dãy số$\left( {{b}_{n}} \right)$ với ${{b}_{n}}=\sqrt{3}-\sqrt{5}n$.

[C]. Dãy số $\left( {{c}_{n}} \right)$ với ${{c}_{n}}={{n}^{2}}-n$.

[D]. Dãy số $\left( {{d}_{n}} \right)$ với ${{d}_{n}}=2017\cot \dfrac{\left( 4n-1 \right)\pi }{2}+2018$.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.

– Phương án A: Ta có ${{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=3,\,\forall n\ge 1$ nên $\left( {{a}_{n}} \right)$ là cấp số cộng.

– Phương án B: Ta có ${{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}=-\sqrt{5},\,\forall n\ge 1$ nên $\left( {{b}_{n}} \right)$ là cấp số cộng.

– Phương án C: Ta có ${{c}_{n+1}}-{{c}_{n}}=2n,\,\forall n\ge 1$ nên $\left( {{c}_{n}} \right)$ không là cấp số cộng.

– Phương án D: Ta có ${{d}_{n}}=2018,\,\forall n\ge 1$(do $\cot \dfrac{\left( 4n-1 \right)\pi }{2}=0$) nên $\left( {{d}_{n}} \right)$ là cấp số cộng.

[Ẩn HD]

Câu 3

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: Ba số $\dfrac{1}{x+y},\dfrac{1}{y+z},\dfrac{1}{z+x}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

[A]. Ba số ${{x}^{2}},{{y}^{2}},{{z}^{2}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

[B]. Ba số ${{y}^{2}},{{z}^{2}},{{x}^{2}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

[C]. Ba số ${{y}^{2}},{{x}^{2}},{{z}^{2}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

[D]. Ba số ${{z}^{2}},{{y}^{2}},{{x}^{2}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Theo giả thiết, ta có: $\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{z+x}=\dfrac{2}{y+z}\Rightarrow \left( y+z \right)\left( 2x+y+z \right)=2\left( x+y \right)\left( x+z \right)\Leftrightarrow {{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2{{x}^{2}}$.

Suy ra ${{y}^{2}},{{x}^{2}},{{z}^{2}}$ hoặc ${{z}^{2}},{{x}^{2}},{{y}^{2}}$ lập thành một cấp số cộng. Do đó phương án đúng là C.

[Ẩn HD]

Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công sai của cấp số cộng.

Câu 4

Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi \[{{u}_{3}}=-2;\,\,\,{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+3,\,\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\]. Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

[A]. ${{u}_{n}}=3n-11$.

[B]. ${{u}_{n}}=3n-8$.

[C]. ${{u}_{n}}=2n-8$.

[D]. ${{u}_{n}}=n-5$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta có $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng có công sai $d=3$ nên số hạng đầu là ${{u}_{1}}={{u}_{3}}-2d=-8$

Suy ra số hạng tổng quát là ${{u}_{n}}=3n-11$.

[Ẩn HD]

Câu 5

Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{2}}=2017;{{u}_{5}}=1945$. Tính ${{u}_{2018}}$.

[A]. ${{u}_{2018}}=-46367$.

[B]. ${{u}_{2018}}=50449$.

[C]. ${{u}_{2018}}=-46391$.

[D]. ${{u}_{2018}}=50473$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có:

$\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}+d=2017 \\
& {{u}_{1}}+4d=1945 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=2041 \\
& d=-24 \\
\end{align} \right.$

Suy ra ${{u}_{2018}}={{u}_{1}}+2017d=-46\,367$.

[Ẩn HD]

Câu 6

Cho cấp số cộng $\left( {{x}_{n}} \right)$ có ${{S}_{n}}=3{{n}^{2}}-2n$. Tìm số hạng đầu ${{u}_{1}}$ và công sai $d$ của cấp số cộng đó.

[A]. ${{u}_{1}}=2;d=7$.

[B]. ${{u}_{1}}=1;d=6$.

[C]. ${{u}_{1}}=1;d=-6$.

[D]. ${{u}_{1}}=2;d=6$.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Ta có ${{u}_{1}}={{S}_{1}}=1$ và ${{u}_{1}}+{{u}_{2}}={{S}_{2}}=8$. Suy ra ${{u}_{2}}=7$

Vậy $d={{u}_{2}}-{{u}_{1}}=6$.

[Ẩn HD]

Câu 7

Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{S}_{n}}=7n-2{{n}^{2}}$. Tính giá trị của biểu thức $P=u_{3}^{2}+u_{5}^{2}+u_{7}^{2}$.

[A]. $P=491$.

[B]. $P=419$.

[C]. $P=1089$.

[D]. $P=803$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta có ${{u}_{n}}={{S}_{n}}-{{S}_{n-1}}=9-4n$.

Suy ra ${{u}_{3}}=-3,\,{{u}_{5}}=-11,\,{{u}_{7}}=-19$. Do đó $P=491$.

[Ẩn HD]

Câu 8

Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ với

$\left\{ \begin{align}
& {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=5 \\
& {{u}_{3}}.{{u}_{5}}=6 \\
\end{align} \right.$

Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

[A]. ${{u}_{1}}=1$ hoặc ${{u}_{1}}=4$.

[B]. ${{u}_{1}}=1$ hoặc ${{u}_{1}}=-4$.

[C]. ${{u}_{1}}=-1$ hoặc ${{u}_{1}}=4$.

[D]. ${{u}_{1}}=-1$ hoặc ${{u}_{1}}=1$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta có $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=5 \\
& {{u}_{3}}.{{u}_{5}}=6 \\
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{u}_{3}}=2 \\
& {{u}_{5}}=3 \\
\end{align} \right.$
hoặc $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{3}}=3 \\
& {{u}_{5}}=2 \\
\end{align} \right.$.
+ Giải $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{3}}=2 \\
& {{u}_{5}}=3 \\
\end{align} \right.$, ta được ${{u}_{1}}=1$.
+ Giải $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{3}}=3 \\
& {{u}_{5}}=2 \\
\end{align} \right.$, ta được ${{u}_{1}}=4$.

[Ẩn HD]

Câu 9

Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có công sai $d=2$ và $u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Số $2018$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$?

[A]. $1012$.

[B]. $1011$.

[C]. $1014$.

[D]. $1013$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta có $u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}=3u_{1}^{2}+24{{u}_{1}}+56=3{{\left( {{u}_{1}}+4 \right)}^{2}}+8\ge 8$

Dấu bằng xảy ra khi ${{u}_{1}}+4=0\Leftrightarrow {{u}_{1}}=-4$

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là ${{u}_{n}}=2n-6$.

Nếu ${{u}_{n}}=2018$ thì $2n-6=2018\Leftrightarrow n=1012$.

Vậy $2018$ là số hạng thứ $1012$ của cấp số cộng.

[Ẩn HD]

Câu 10

Cho cấp số cộng $6,x,-2,y$. Khẳng định nào sau đây đúng?

[A]. $x=2;y=5$.

[B]. $x=4;y=6$.

[C]. $x=2;y=-6$.

[D]. $x=4;y=-6$.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Theo tính chất của cấp số cộng, ta có $\left\{ \begin{align}
& 2x=6+\left( -2 \right) \\
& 2.\left( -2 \right)=x+y \\
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x=2 \\
& y=-6 \\
\end{align} \right.$.

[Ẩn HD]

Câu 11

Viết sáu số xen giữa $3$ và $24$ để được một cấp số cộng có tám số hạng. Sáu số hạng cần viết thêm là

[A]. $6,9,12,15,18,21$.

[B]. $21,18,15,12,9,6$.

[C]. $\dfrac{13}{2},10,\dfrac{27}{2},17,\dfrac{41}{2},24$.

[D]. $\dfrac{16}{3},\dfrac{23}{3},\dfrac{37}{3},\dfrac{44}{3},\dfrac{58}{3},\dfrac{65}{3}$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Theo giả thiết, ta có ${{u}_{1}}=3,\,{{u}_{8}}=24$

Suy ra $3+7d=24\Leftrightarrow d=3$.

Vậy $6$ số cần viết thêm là $6,\,9,\,12,\,15,\,18,\,21$.

[Ẩn HD]

Câu 12

Cho hai cấp số cộng $\left( {{x}_{n}} \right):4,7,10,…$ và $\left( {{y}_{n}} \right):1,6,11,…$ Hỏi trong $2017$ số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng chung?

[A]. $404$.

[B]. $403$.

[C]. $672$.

[D]. $673$.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Ta có ${{x}_{n}}=4+\left( n-1 \right).3=3n+1,\,1\le n\le 2017$

${{y}_{n}}=1+\left( m-1 \right).5=5m-4,\,1\le m\le 2017$

Để một số là số hạng chung của cả hai cấp số cộng thì ta phải có $3n+1=5m-4\Leftrightarrow 3n=5\left( m-1 \right)$.

Suy ra $n\vdots 5$, tức là $n=5t$ và $m=3t+1\,\,\left( t\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$.

Lại do $1\le n\le 2017$ nên $1\le t\le 403$.

ứng với $403$ giá trị của $t$, ta tìm được $403$ số hạng chung.

[Ẩn HD]

Câu 13

Cho cấp số cộng $1,7,13,…,x$ thỏa mãn điều kiện $1+7+13+…+x=280$. Tính giá trị của $x$.

[A]. $x=53$.

[B]. $x=55$.

[C]. $x=57$.

[D]. $x=59$.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Cấp số cộng $1,7,13,\ldots ,x$ có số hạng đầu ${{u}_{1}}=1$ và công sai $d=6$ nên số hạng tổng quát là ${{u}_{n}}=6n-5$

Giả sử $x={{u}_{n}}=6n-5$. Khi đó $1+7+13+\ldots +x=\dfrac{n\left( 6n-4 \right)}{2}=3{{n}^{2}}-2n$

Theo giả thiết, ta có $3{{n}^{2}}-2n=280\Rightarrow n=10\Rightarrow x={{u}_{10}}=55$.

[Ẩn HD]

Câu 14

Biết rằng tồn tại các giá trị của $x\in \left[ 0;2\pi  \right]$ để ba số $1+\sin x,{{\sin }^{2}}x,1+\sin 3x$ lập thành một cấp số cộng, tính tổng $S$ các giá trị đó của $x$.

[A]. $S=5\pi $.

[B]. $S=3\pi $.

[C]. $S=\dfrac{7\pi }{2}$.

[D]. $S=\dfrac{23\pi }{6}$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

$1+\sin x+1+\sin 3x=2{{\sin }^{2}}x$
$ \Leftrightarrow 2+4\sin x-4{{\sin }^{3}}x=2{{\sin }^{2}}x $
$ \Leftrightarrow 2{{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x-2\sin x-1=0 $
$ \Leftrightarrow \left( 2\sin x+1 \right)\left( {{\sin }^{2}}x-1 \right)=0 $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& \sin x=-\dfrac{1}{2} \\
& \cos x=0 \\
\end{align} \right. $

+) $\sin x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=-\dfrac{\pi }{6}+k2\pi  \\
& x=\dfrac{7\pi }{6}+k2\pi  \\
\end{align} \right.$.

+) $\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi $

Với nghiệm $x=-\dfrac{\pi }{6}+k2\pi $ và $x\in \left[ 0;2\pi  \right]$, ta tìm được $x=\dfrac{11\pi }{6}$. Với nghiệm $x=\dfrac{7\pi }{6}+k2\pi $và $x\in \left[ 0;2\pi  \right]$, ta tìm được $x=\dfrac{7\pi }{6}$. Với nghiệm $x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi $ và $x\in \left[ 0;2\pi  \right]$ ta tìm được nghiệm $x=\dfrac{\pi }{2};x=\dfrac{3\pi }{2}$

Do đó $S+\dfrac{11\pi }{6}+\dfrac{7\pi }{6}+\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{3\pi }{2}=5\pi $.

[Ẩn HD]

Dạng 3: Bài tập về tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Câu 15

Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{4}}=-3$ và tổng của $9$ số hạng đầu tiên là ${{S}_{9}}=45$. Cấp số cộng trên có

[A]. ${{S}_{10}}=92$.

[B]. ${{S}_{20}}=980$.

[C]. ${{S}_{3}}=-56$.

[D]. ${{S}_{16}}=526$.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Ta có ${{u}_{4}}=-3\Leftrightarrow {{u}_{1}}+3d=-3$.

${{S}_{9}}=45\Leftrightarrow \dfrac{9\left[ 2{{u}_{1}}+8d \right]}{2}=45\Leftrightarrow {{u}_{1}}+4d=5$.

Do đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}+3d=-3 \\
& {{u}_{1}}+4d=5 \\
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=-27 \\
& d=8 \\
\end{align} \right.$.

Ta có ${{S}_{10}}=\dfrac{10\left[ 2{{u}_{1}}+9d \right]}{2}=90;{{S}_{20}}=\dfrac{20\left[ 2{{u}_{1}}+19d \right]}{2}=980$

Vậy đáp án đúng là B.

[Ẩn HD]

Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng.

Câu 16

Cho cấp số cộng $\left( {{x}_{n}} \right)$ có ${{x}_{3}}+{{x}_{13}}=80$. Tính tổng ${{S}_{15}}$ của $15$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

[A]. ${{S}_{15}}=600$.

[B]. ${{S}_{15}}=800$.

[C]. ${{S}_{15}}=570$.

[D]. ${{S}_{15}}=630$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta có ${{x}_{3}}+{{x}_{13}}=80\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+2d \right)+\left( {{x}_{15}}-2d \right)=80$

$\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{15}}=80\Rightarrow {{S}_{15}}=\dfrac{15\left( {{x}_{1}}+{{x}_{15}} \right)}{2}=600$.

[Ẩn HD]

Câu 17

Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

[A]. $\left( n-p \right){{u}_{m}}+\left( p-m \right){{u}_{n}}+\left( m-n \right){{u}_{p}}=0$.

[B]. $\left( m-n \right){{u}_{m}}+\left( n-p \right){{u}_{n}}+\left( p-m \right){{u}_{p}}=0$.

[C]. $\left( m-p \right){{u}_{m}}+\left( n-m \right){{u}_{n}}+\left( p-n \right){{u}_{p}}=0$.

[D]. $\left( p-n \right){{u}_{m}}+\left( m-p \right){{u}_{n}}+\left( m-n \right){{u}_{p}}=0$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng.

Ta có: ${{u}_{m}}={{u}_{1}}+\left( m-1 \right)d;\,{{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d;\,{{u}_{p}}={{u}_{1}}+\left( p-1 \right)d$.

– Phương án A: Ta có: $\left( n-p \right){{u}_{m}}+\left( p-m \right){{u}_{n}}+\left( m-n \right){{u}_{p}}$

– $=\left( n-p \right)\left[ {{u}_{1}}+\left( m-1 \right)d \right]+\left( p-m \right)\left[ {{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]+\left( m-n \right)\left[ {{u}_{1}}+\left( p-1 \right)d \right]=0$.

– Vậy đáp án A.

[Ẩn HD]

Câu 18

Cho ba số dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}},\,\dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}},\,\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

[A]. Ba số $a,\,b,\,c$ lập thành một cấp số cộng.

[B]. Ba số $\dfrac{1}{a},\,\dfrac{1}{b},\,\dfrac{1}{c}$ lập thành một cấp số cộng.

[C]. Ba số ${{a}^{2}},\,{{b}^{2}},\,{{c}^{2}}$ lập thành một cấp số cộng.

[D]. Ba số $\sqrt{a},\,\sqrt{b},\,\sqrt{c}$ lập thành một cấp số cộng

Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Theo giả thiết ta có:

$\begin{align}
& \dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} \\
& \Leftrightarrow \left( \sqrt{c}+\sqrt{a} \right)\left( \sqrt{a}+\sqrt{c}+2\sqrt{b} \right)=2\left( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right)\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\Leftrightarrow a+c=2b \\
\end{align}$

Suy ra ba số $a,b,c$ hoặc $c,b,a$ lập thành một cấp số cộng. Do đó đáp án là.   A.

[Ẩn HD]

Câu 19

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+m=0$ có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

[A]. $m=16$.

[B]. $m=9$.

[C]. $m=24$.

[D]. $m=21$.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Áp dụng kết quả ở phần lí thuyế, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là $9{{b}^{2}}=100ac$hay ${{9.10}^{2}}=100.1.m\Leftrightarrow m=9$.

Với $m=9$ thì phương trình đã cho trở thành ${{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+9=0\Leftrightarrow x=\pm 1;x=\pm 3$.

Bốn số $-3;-1;1;3$ lập thành một cấp số cộng nên $m=9$ là giá trị cần tìm.

[Ẩn HD]

Câu 20

Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+2m+1=0$ có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính tổng bình phương của hai giá trị đó.

[A]. $\dfrac{1312}{81}$.

[B]. $\dfrac{1024}{81}$.

[C]. $\dfrac{32}{9}$.

[D]. $\dfrac{1600}{81}$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

ÁP dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là $9{{b}^{2}}=100ac$ hay

$9{{\left( 2m+2 \right)}^{2}}=100.1.\left( 2m+1 \right)\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-32m-16=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& m=4 \\
& m=-\dfrac{4}{9} \\
\end{align} \right.$

Với $m=4$, ta có phương trình ${{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+9=0$. Phương trình nàu có 4 nghiệm là $-3;-1;1;3$ lập thành cấp số cộng.

Với $m=-\dfrac{4}{9}$, ta có phương trình $9{{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+1=0$. Phương trình này có 4 nghiệm $-1;-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};1$ lập thành cấp số cộng.

Vậy $m=4;\,m=-\dfrac{4}{9}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ${{4}^{2}}+{{\left( -\dfrac{4}{9} \right)}^{2}}=\dfrac{1312}{81}$.

[Ẩn HD]

Câu 21

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+{{m}^{2}}-1=0$ có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

[A]. $m=\pm 16$.

[B]. $m=-2$.

[C]. $m=2$.

[D]. $m=\pm 2$.

Hướng dẫn

Đáp án D.

Áp dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là $-\dfrac{b}{3\text{a}}=-\dfrac{-3}{3}=1$ là nghiệm của phương trình.

Suy ra ${{1}^{3}}-{{3.1}^{2}}-1+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=\pm 2$.

Với $m=\pm 2$, ta có phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3=0$.

$\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow x=-1,x=1,x=3$

Ba số $-1,1,3$ lập thành cấp số cộng.

Vậy các giá trị cần tìm là $m=\pm 2$. Do đó D là phương án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 22

Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị ${{m}_{1}},\,{{m}_{2}},\,{{m}_{3}}$ của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+23x+{{m}^{3}}-4{{m}^{2}}+m-9=0$ có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính giá trị của biểu thức $P=m_{1}^{3}+m_{2}^{3}+m_{3}^{3}$.

[A]. $P=34$.

[B]. $P=36$.

[C]. $P=64$.

[D]. $P=-34$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Áp dụng kết quả ở phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là: $-\dfrac{b}{3a}=-\dfrac{-9}{3}=3$ là nghiệm của phương trình.

Suy ra ${{3}^{3}}-{{9.3}^{2}}+23.3+{{m}^{3}}-4{{m}^{2}}+m-9=0$

$\Leftrightarrow $ ${{m}^{3}}-4{{m}^{2}}+m+6=0$$\Leftrightarrow m=-1,m=2,m=3$

Với $m=-1,m=2,m=3$ thì ${{m}^{3}}-4{{m}^{2}}+m+6=0$ nên ${{m}^{3}}-4{{m}^{2}}+m-9=-15$.

Do vậy, với $m=-1,m=2,m=3$ ta có phương trình ${{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+23x-15=0\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-6x+5 \right)=0$ $\Leftrightarrow x=1,x=3,x=5$.

Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng.

Vậy $m=-1,m=2,m=3$ là các giá trị cần tìm.

Do đó ${{\left( -1 \right)}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}=34$

[Ẩn HD]

Câu 23

Mặt sàn tầng của một ngôi nhà cao hơn mặt sân $0,5\,m$. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm $21$ bậc, một bậc cao $18cm$. Kí hiệu ${{h}_{n}}$ là độ cao của bậc thứ $n$ so với mặt sân. Viết công thức để tìm độ cao ${{h}_{n}}$.

[A]. ${{h}_{n}}=0,18n+0,32\,\left( m \right)$.

[B]. ${{h}_{n}}=0,18n+0,5\,\left( m \right)$.

[C]. ${{h}_{n}}=0,5n+0,18\,\left( m \right)$.

[D]. ${{h}_{n}}=0,5n-0,32\,\left( m \right)$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ký hiệu ${{h}_{n}}$ là độ cao của bậc thứ $n$ so với mặt sân.

Khi đó, ta có ${{h}_{n+1}}={{h}_{n}}+0,18$ (mét), trong đó ${{h}_{1}}=0,5$ (mét). Dãy số $\left( {{h}_{n}} \right)$ lập thành một cấp số cộng có ${{h}_{1}}=0,5$ và công sai $d=0,18$. Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là ${{h}_{n}}=0,5+\left( n-1 \right).0,18=0,18.n+0,32$ (mét).

[Ẩn HD]

Câu 24

Người ta trồng $3003$ cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây,… Hỏi trồng được bao nhiêu hàng cây theo cách này?

[A]. $77$ hàng.

[B]. $76$ hàng.

[C]. $78$ hàng.

[D]. $79$ hàng.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Giả sử trồng được $n$ hàng. Khi đó tổng số cây được trồng là $S=1+2+…+n=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}$.

Theo giả thiết ta có $\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}=3003\Leftrightarrow n=77$.

[Ẩn HD]

Câu 25

Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt dẻ nhiều hơn ô đầu tiên là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ hai là 5, … và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta đã phải sử dụng hết $25450$ hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?

[A]. $98$ô.

[B]. $100$ô.

[C]. $102$ ô.

[D]. $104$ ô.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Kí hiệu ${{u}_{n}}$ là số hạt dẻ ở ô thứ $n$.

Khi đó, ta có ${{u}_{1}}=7$ và ${{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+5,n\ge 1$.

Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với ${{u}_{1}}=7$ và công sai $d=5$ nên có ${{S}_{n}}=\dfrac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}=\dfrac{5{{n}^{2}}+9n}{2}$.

Theo giả thiết, ta có $\dfrac{5{{n}^{2}}+9n}{2}=25450$ $\Leftrightarrow n=100$.

Suy ra bàn cờ có 100 ô. Do đó B là đáp án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 26

Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là $13,5$ triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, múc lương sẽ được tăng thêm $500.000$ đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc cho công ty.

[A]. $198$triệu đồng.

[B]. $195$ triệu đồng.

[C]. $228$triệu đồng.

[D]. $114$ triệu đồng.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Kí hiệu ${{u}_{n}}$ là mức lương của quý thứ $n$ làm việc cho công ty. Khi đó ${{u}_{1}}=13,5$ và ${{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+0,5,n\ge 1$.

Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ lập thành cấp số cộng có số hạng đầu ${{u}_{1}}=13,5$ và công sai $d=0,5$.

Một năm có 4 quý nbên 3 năm có tổng 12 quý.

Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$. Vậy, tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của kỹ sư là ${{S}_{12}}=\dfrac{12.\left[ 2.13,5+11.0,5 \right]}{2}=195$ (triệu đồng).

[Ẩn HD]

Câu 27

Trên tia $Ox$ lấy các điểm ${{A}_{1}},\,{{A}_{2}},\,…,\,{{A}_{n}},\,…$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n$, $O{{A}_{n}}=n$. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia $Ox$, vẽ các nửa đường tròn đường kính $O{{A}_{n}}$, $n=1,2,…$ Kí hiệu ${{u}_{1}}$ là diện tích nửa đường tròn đường kính $O{{A}_{1}}$ và với mỗi $n\ge 2$, kí hiệu ${{u}_{n}}$ là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính $O{{A}_{n-1}}$, nửa đường tròn đường kính $O{{A}_{n}}$ và tia $Ox$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

[A]. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ không phải là một cấp số cộng.

[B]. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng có công sai $d=\dfrac{\pi }{4}$.

[C]. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng có công sai $d=\dfrac{\pi }{8}$.

[D]. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ không phải là một cấp số cộng có công sai $d=\dfrac{\pi }{2}$.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Bán kính đường tròn có đường kính $O{{A}_{n}}$ là ${{r}_{n}}=\dfrac{n}{2}$.

Diên tích nửa đường tròn đường kính $O{{A}_{n}}$ là ${{S}_{n}}=\dfrac{1}{2}\pi {{\left( \dfrac{n}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{n}^{2}}\pi }{8}$.

Suy ra ${{u}_{n}}={{s}_{n}}-{{s}_{n-1}}=\dfrac{\pi }{8}\left[ {{n}^{2}}-{{\left( n-1 \right)}^{2}} \right]=\dfrac{\left( 2n-1 \right)\pi }{8},n\ge 2$.

Ta có ${{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}\pi {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{\pi }{8}$.

Do ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{\pi }{4},\forall n\ge 1$ nên $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d=\dfrac{\pi }{4}$.

Suy ra B là phương án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 28

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=3x-2$. Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi ${{A}_{n}}$ là giao điểm của đồ thị $\left( C \right)$ với đường thẳng $d:x-n=0$. Xét dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}$ là tung độ của điểm ${{A}_{n}}$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

[A]. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng có công sai $d=-2$.

[B]. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng có công sai $d=3$.

[C]. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng có công sai $d=1$.

[D]. Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ không phải là một cấp số cộng.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Ta có ${{A}_{n}}\left( n;{{u}_{n}} \right)$ trong đó ${{u}_{n}}=3n-2$.

Do ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=3,\forall n\ge 1$ nên $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai $d=3$.

Suy ra B là phương án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 29

Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{{}}} \right)$ có số hạng đầu ${{u}_{1}}=2$ và công sai $d=-3$. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, lấy các điểm ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n$, điểm ${{A}_{n}}$ có tọa độ $\left( n;{{u}_{n}} \right)$. Biết rằng khi đó tất cả các điểm ${{A}_{1}},\,{{A}_{2}},…,{{A}_{n}},…$ cùng nằm trên một đường thẳng. Hãy viết phương trình của đường thẳng đó.

[A]. $y=-3x+5$.

[B]. $y=-3x+2$.

[C]. $y=2x-3$.

[D]. $y=2x-5$

Hướng dẫn

Đáp án A.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ là ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d=-3n+5$.

Nhận thấy toạ độ của các điểm ${{A}_{n}}$ đều thoả mãn phương trình $y=-3x+5$ nên phương trình đường thẳng đi qua các điểm ${{A}_{1}},\,{{A}_{2}},…,{{A}_{n}},…$là $y=-3x+5$ .

Suy ra A là phương án đúng.

[Ẩn HD]

What do you think?

Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published.

Loading…

0

Comments

0 comments

Học cách buông bỏ

Bài tập cấp số nhân, trắc nghiệm toán 11