Bài tập tính chất của dãy số, trắc nghiệm toán 11

Câu 1

Cho dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\], xác định bởi: \[{{x}_{n}}={{2.3}^{n}}-{{5.2}^{n}},\forall n\in \mathbb{N}*\]. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

[A]. \[{{x}_{n+2}}=5{{x}_{n+1}}-6{{x}_{n}}\].

[B]. \[{{x}_{n+2}}=6{{x}_{n+1}}-5{{x}_{n}}\].

[C]. \[{{x}_{n+2}}+5{{x}_{n+1}}-6{{x}_{n}}=0\].

[D]. \[{{x}_{n+2}}+6{{x}_{n+1}}-5{{x}_{n}}=0\].

Hướng dẫn

Đáp án A.





Ta có \[{{x}_{n+2}}={{2.3}^{n+2}}-{{5.2}^{n+2}}={{18.3}^{n}}-{{20.2}^{n}};{{x}_{n+1}}={{2.3}^{n+1}}-{{5.2}^{n+1}}={{6.3}^{n}}-{{10.2}^{n}}\].

  • Phương án A: \[{{x}_{n+2}}-5{{x}_{n+1}}+6{{x}_{n}}=0.\]
  • Phương án B: \[{{x}_{n+2}}-6{{x}_{n+1}}+5{{x}_{n}}=-{{8.3}^{n}}+{{15.2}^{n}}\ne 0.\]
  • Phương án C: \[{{x}_{n+2}}+5{{x}_{n+1}}-6{{x}_{n}}={{36.3}^{n}}-{{40.2}^{n}}\ne 0.\]
  • Phương án D: \[{{x}_{n+2}}+6{{x}_{n+1}}-5{{x}_{n}}={{44.3}^{n}}-{{55.2}^{n}}\ne 0.\]

[Ẩn HD]

Câu 2

Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\], với \[{{u}_{n}}={{3}^{n}}\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

[A]. \[\dfrac{{{u}_{1}}+{{u}_{9}}}{2}={{u}_{5}}\].

[B]. \[\dfrac{{{u}_{2}}.{{u}_{4}}}{2}={{u}_{3}}\].

[C]. \[1+{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{100}}=\dfrac{{{u}_{100}}-1}{2}\].

[D]. \[{{u}_{1}}.{{u}_{2}}…{{u}_{100}}={{u}_{5050}}\].

Hướng dẫn

Đáp án D.

  • Phương án A: \[\dfrac{{{u}_{1}}+{{u}_{9}}}{2}=\dfrac{3+{{3}^{9}}}{2}\ne {{3}^{5}}={{u}_{5}}.\]
  • Phương án B: \[\dfrac{{{u}_{2}}.{{u}_{4}}}{2}=\dfrac{{{3}^{6}}}{2}\ne {{3}^{3}}={{u}_{3}}.\]
  • Phương án C: \[1+{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{100}}>{{u}_{100}}>\dfrac{{{u}_{100}}-1}{2}.\]
  • Phương án D: \[{{u}_{1}}.{{u}_{2}}…{{u}_{100}}={{3}^{1+2+…+100}}={{3}^{5050}}={{u}_{5050}}.\]

[Ẩn HD]

Câu 3

Cho dãy số \[\left( {{a}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{a}_{n}}=2017\cos \dfrac{\left( 3n+1 \right)\pi }{6}\]. Mệnh đề nào dưới đây là sai ?

[A]. \[{{a}_{n+12}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1\].

[B]. \[{{a}_{n+8}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1\].

[C]. \[{{a}_{n+9}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1\].

[D]. \[{{a}_{n+4}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1\].

Hướng dẫn

Đáp án C.

  • Phương án A:

\[{{a}_{n+12}}=2017\cos \dfrac{\left[ 3(n+12)+1 \right]\pi }{6}=2017\cos \left( \dfrac{(3n+1)\pi }{6}+6\pi  \right)=2017\cos \dfrac{(3n+1)\pi }{6}={{a}_{n}}.\forall n\ge 1.\]

  • Phương án B: \[{{a}_{n+8}}=2017\cos \dfrac{\left[ 3(n+8)+1 \right]\pi }{6}=2017\cos \left( \dfrac{(3n+1)\pi }{6}+4\pi \right)=2017\cos \dfrac{(3n+1)\pi }{6}={{a}_{n}}.\forall n\ge 1.\]
  • Phương án C: \[{{a}_{n+9}}=2017\cos \dfrac{\left[ 3(n+9)+1 \right]\pi }{6}=2017\cos \left( \dfrac{(3n+4)\pi }{6}+4\pi \right)=2017\cos \dfrac{(3n+4)\pi }{6}\ne {{a}_{n}}.\forall n\ge 1.\]
  • Phương án D:

\[{{a}_{n+4}}=2017\cos \dfrac{\left[ 3(n+4)+1 \right]\pi }{6}=2017\cos \left( \dfrac{(3n+1)\pi }{6}+2\pi  \right)=2017\cos \dfrac{(3n+1)\pi }{6}={{a}_{n}}.\forall n\ge 1.\]

Lưu ý: Quan sát vào các chỉ số dưới của số hạng tổng quát, ta thấy ở C có sự khác biệt so với ba phương án trên nên ta có thể kiểm tra ngay phương án C trước.

[Ẩn HD]

Câu 4

Cho dãy số \[\left( {{a}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{a}_{1}}=1\] và \[{{a}_{n+1}}=-\dfrac{3}{2}{{a}_{n}}^{2}+\dfrac{5}{2}{{a}_{n}}+1,\forall n\in \mathbb{N}*\]. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

[A]. \[{{a}_{2018}}={{a}_{2}}\].

[B]. \[{{a}_{2018}}={{a}_{1}}\].

[C]. \[{{a}_{2018}}={{a}_{3}}\].

[D]. \[{{a}_{2018}}={{a}_{4}}\].

Hướng dẫn

Đáp án A.

Sáu số hạng đầu tiên của dãy là 1;2;0;1;2;0.

Từ đây ta dự đoán \[{{a}_{n+3}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1.\]Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được rằng \[{{a}_{n+3}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1.\]

Mặt khác \[2018=3.672+2\] nên \[{{a}_{2018}}={{a}_{2}}.\]

[Ẩn HD]

Câu 5

Cho dãy số \[\left( {{a}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{a}_{1}}=1,{{a}_{2}}=2\] và \[{{a}_{n+2}}=\sqrt{3}.{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}},\forall n\ge 1\]. Tìm số nguyên dương \[p\] nhỏ nhất sao cho \[{{a}_{n+p}}={{a}_{n}},\forall n\in \mathbb{N}*\].

[A]. \[p=9\].

[B]. \[p=12\].

[C]. \[p=24\].

[D]. \[p=18\].

Hướng dẫn

Đáp án B.

Trước hết ta kiểm tra phương án với \[p\]nhỏ nhất. Viết 10 số hạng đầu tiên của \[({{a}_{n}}):\]

\[\begin{align}
& {{a}_{1}}=1;{{a}_{1}}=2;{{a}_{3}}=2\sqrt{3}-1;{{a}_{4}}=4-\sqrt{3};{{a}_{5}}=2\sqrt{3}-2;{{a}_{6}}=2-\sqrt{3};{{a}_{7}}=-1; \\
& {{a}_{8}}=-2;{{a}_{9}}=1-2\sqrt{3};{{a}_{10}}=\sqrt{3}-4. \\
\end{align}\]

Dễ dàng thấy \[{{a}_{10}}=\sqrt{3}-4\ne 1={{a}_{1}}\] nên phương án A là sai.

Cách 1: Ta viết thêm 4 số hạng nữa của dãy \[({{a}_{n}}):\] ta được

\[\begin{align}
& ({{a}_{n}}):{{a}_{1}}=1;{{a}_{1}}=2;{{a}_{3}}=2\sqrt{3}-1;{{a}_{4}}=4-\sqrt{3};{{a}_{5}}=2\sqrt{3}-2;{{a}_{6}}=2-\sqrt{3};{{a}_{7}}=-1; \\
& {{a}_{8}}=-2;{{a}_{9}}=1-2\sqrt{3};{{a}_{10}}=\sqrt{3}-4;{{a}_{11}}=2-2\sqrt{3};{{a}_{12}}=\sqrt{3}-2;{{a}_{13}}=1;{{a}_{14}}=2. \\
\end{align}\]

Từ đây ta dự đoán được \[{{a}_{n+12}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1.\]

Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được \[{{a}_{n+12}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1.\] Vậy số nguyên dương cần tìm là \[p=12.\]

Cách 2: Sau khi viết 10 số hạng của dãy ta có thể đoán được \[{{a}_{n+6}}=-{{a}_{n}},\forall n\ge 1.\]

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng \[{{a}_{n+6}}=-{{a}_{n}},\forall n\ge 1.\]Như vậy 6 là số nguyên dương nhỏ nhất để \[{{a}_{n+6}}=-{{a}_{n}},\forall n\ge 1.\] Do đó \[{{a}_{n+12}}={{a}_{\left( n+6 \right)+6}}=-{{a}_{n+6}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1.\]

Suy ra số cần tìm là \[p=12.\]

[Ẩn HD]

Câu 6

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào SAI ?

[A]. Dãy số \[\left( {{a}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{a}_{1}}=1\] và \[{{a}_{n+1}}=\dfrac{2018}{{{a}_{n}}+2017},\forall n\in \mathbb{N}*\] là một dãy số không đổi.

[B]. Dãy số \[\left( {{b}_{n}} \right)\], với \[{{b}_{n}}=\tan \left( 2n+1 \right)\dfrac{\pi }{4}\], có tính chất \[{{b}_{n+2}}={{b}_{n}},\forall n\in \mathbb{N}*\].

[C]. Dãy số \[\left( {{c}_{n}} \right)\], với \[{{c}_{n}}=\tan \left( n\pi  \right)+1\], là một dãy số bị chặn.

[D]. Dãy số \[\left( {{d}_{n}} \right)\], với \[{{d}_{n}}=\cos \left( n\pi  \right)\], là một dãy số giảm.

Hướng dẫn

Đáp án D.

  • Phương án A: Ta có \[{{a}_{1}}=1;{{a}_{2}}=\dfrac{2018}{1+2017}=1;{{a}_{3}}=1\]. Từ đây ta dự đoán \[{{a}_{n}}=1,\forall n\ge 1.\]

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng \[{{a}_{n}}=1,\forall n\ge 1.\]Suy ra \[\left( {{a}_{n}} \right)\] là dãy số không đổi. Do đó phương án A đúng.

  • Phương án B: Ta có \[{{b}_{n+2}}=\tan \left[ 2(n+2)+1 \right]\dfrac{\pi }{4}=\tan \left[ (2n+1)\dfrac{\pi }{4}+\pi \right]=\tan (2n+1)\dfrac{\pi }{4}={{a}_{n}},\forall n\ge 1.\]

Vậy \[{{b}_{n+2}}={{b}_{n}},\forall n\ge 1.\] Do đóphương án B là đúng.

  • Phương án C: Ta có \[{{c}_{n}}=1,\forall n\ge 1.\]nên dãy số \[\left( {{c}_{n}} \right)\]là dãy số không đổi. Suy ra \[\left( {{c}_{n}} \right)\]là dãy số bị chặn. Do đó phương án C là đúng.
  • Phương án D: Ta có \[{{d}_{2n}}=\cos (2n\pi )=1=\cos (4n\pi )={{d}_{4n}}.\] Suy ra khẳng định \[\left( {{d}_{n}} \right)\]là một dãy số giảm là khẳng định sai.

[Ẩn HD]

Câu 7

Cho dãy số \[({{u}_{n}})\]xác định bởi \[{{u}_{1}}=2\] và \[{{u}_{2}}=2{{u}_{n+1}}-1,\forall n\in {{N}^{*}},\]có tính chất

[A]. Là dãy số tăng và bị chặn dưới.

[B]. Là dãy số giảm và bị chặn trên.

[C]. Là dãy số giảm và bị chặn dưới.

[D]. Là dãy số tăng và bị chặn trên.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Ta có \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{1}{2}({{u}_{n}}-{{u}_{n-1}})=…=\dfrac{1}{{{2}^{n-1}}}({{u}_{2}}-{{u}_{1}}).\] Từ đó ta tính được \[{{u}_{n}}=1+\dfrac{1}{{{2}^{n-1}}}.\]

Do \[{{u}_{n+2}}-{{u}_{n}}=\dfrac{1}{{{2}^{n}}}-\dfrac{1}{{{2}^{n-1}}}=-\dfrac{1}{{{2}^{n}}}<0,\forall n\ge 1\] nên \[\left( {{u}_{n}} \right)\]là dãy số giảm

Ta có \[1<{{u}_{n}}=1+\dfrac{1}{{{2}^{n-1}}}\le 2,\forall n\ge 1\] nên \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy số bị chặn. Suy ra phương án đúng là C.

[Ẩn HD]

Câu 8

Cho dãy số \[({{u}_{n}})\]xác định bởi \[{{u}_{1}}=1\] và \[{{u}_{n+1}}=\sqrt{2+u_{n}^{2}},\forall n\ge 1.\]Tổng \[{{S}_{2018}}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+…+u_{2018}^{2}\] là

[A]. \[{{S}_{2018}}={{2015}^{2}}\].

[B]. \[{{S}_{2018}}={{2018}^{2}}.\]

[C]. \[{{S}_{2018}}={{2017}^{2}}.\]

[D]. \[{{S}_{2018}}={{2016}^{2}}.\]

Hướng dẫn

Đáp án B.

Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có \[{{u}_{n+1}}^{2}=u_{n}^{2}+2,\forall n\ge 1.\] Suy ra \[u_{n}^{2}=u_{1}^{2}+2(n-1)=2n-1.\]

Do đó \[{{S}_{n}}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+…+u_{n}^{2}=2(1+2+…+n)-n=n(n+1)-n={{n}^{2}}.\]

Vậy \[{{S}_{2018}}={{2018}^{2}}.\]

[Ẩn HD]

Câu 9

Cho dãy số \[({{z}_{n}})\]xác định bởi \[{{z}_{n}}=\sin \dfrac{n\pi }{2}+2\cos \dfrac{n\pi }{3}.\]Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các số hạng của dãy số \[({{z}_{n}})\]. Tính giá trị biểu thức \[T={{M}^{2}}+{{m}^{2}}.\]

[A]. \[T=13.\]

[B]. \[T=5.\]

[C]. \[T=18.\]

[D]. \[T=7.\]

Hướng dẫn

Đáp án A.

Dựa vào chu kì của hàm số \[y=\sin x;y=\cos x,\] ta có \[{{z}_{n+12}}={{z}_{n}},\forall n\ge 1.\]

Do đó tập hợp các phần tử của dãy số là \[S=\left\{ {{z}_{1}};{{z}_{2}};…;{{z}_{12}} \right\}=\left\{ -3;-2;-1;0;2 \right\}.\]

Suy ra \[M=2;m=-3.\]Do đó \[T=13.\]

[Ẩn HD]

Câu 10

Cho dãy số \[({{u}_{n}})\]thỏa mãn \[{{u}_{1}}=\dfrac{1}{2};{{u}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}}{2(n+1){{u}_{n}}+1},n\ge 1.{{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}<\dfrac{2017}{2018}\]khi \[n\] có giá trị nguyên dương lớn nhất.

[A]. \[2017.\]

[B]. \[2015.\]

[C]. \[2016.\]

[D]. \[2014.\]

Hướng dẫn

Đáp án C.

Dễ chỉ ra được \[{{u}_{n}}>0,\forall n\ge 1.\]Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có \[\dfrac{1}{{{u}_{n+1}}}=\dfrac{1}{{{u}_{n}}}+2n+2,\forall n\ge 1.\]

Suy ra \[\dfrac{1}{{{u}_{n}}}=\dfrac{1}{{{u}_{1}}}+2(1+2+..+n-1)+2(n-1)\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{u}_{n}}}=2+n(n-1)+2(n-1)={{n}^{2}}+n\Rightarrow {{u}_{n}}=\dfrac{1}{n(n+1)}.\]

Do đó \[{{u}_{n}}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1},\forall n\ge 1.\]

Vậy \[{{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}.\] Vì \[{{S}_{n}}<\dfrac{2017}{2018}\]nên \[\dfrac{n}{n+1}<\dfrac{2017}{2018}\Rightarrow n<2017.\]

Suy ra số nguyên dương lớn nhất để \[{{S}_{n}}<\dfrac{2017}{2018}\]là \[n=2016\]. Vì vậy phương án đúng là C.

[Ẩn HD]
Cảm xúc của bạn
Bài tập tính chất của dãy số, trắc nghiệm toán 11
Bài tập tính chất của dãy số, trắc nghiệm toán 11
Bài tập tính chất của dãy số, trắc nghiệm toán 11
Bài tập tính chất của dãy số, trắc nghiệm toán 11
Bài tập tính chất của dãy số, trắc nghiệm toán 11
Bạn đã để lại cảm xúc
Thật tuyệt vời♥!Đừng quên chia sẻ bài viết nhé ♥