Tính bị chặn của dãy số, trắc nghiệm toán 11
Câu 1
Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\], với \[{{u}_{n}}=\dfrac{3n-1}{3n+7}\]. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
[A]. Dãy \[\left( {{u}_{n}} \right)\] bị chặn trên và không bị chặn dưới.
[B]. Dãy \[\left( {{u}_{n}} \right)\] bị chặn dưới và không bị chặn trên.
[C]. Dãy \[\left( {{u}_{n}} \right)\] bị chặn trên và bị chặn dưới.
[D]. Dãy \[\left( {{u}_{n}} \right)\] không bị chặn.
Đáp án C.
Ta có \[{{u}_{n}}=1-\dfrac{8}{3n+7}<1-\dfrac{8}{3n+10}={{u}_{n+1}},\forall n\ge 1\] nên \[({{u}_{n}})\]là một dãy số tăng. Suy ra nó bị chặn dưới bởi \[{{u}_{1}}=\dfrac{1}{5}\]. Lại do \[{{u}_{n}}=1-\dfrac{8}{3n+7}<1,\forall n\ge 1\]nên dãy số \[{{u}_{n}}\] bị chặn trên bởi 1.
Câu 2
Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy bị chặn ?
[A]. Dãy \[\left( {{a}_{n}} \right)\], với \[{{a}_{n}}=\sqrt{{{n}^{2}}+16},\forall n\in \mathbb{N}*\].
[B]. Dãy \[\left( {{b}_{n}} \right)\], với \[{{b}_{n}}=n+\dfrac{1}{2n},\forall n\in \mathbb{N}*\].
[C]. Dãy \[\left( {{c}_{n}} \right)\], với \[{{c}_{n}}={{2}^{n}}+3,\forall n\in \mathbb{N}*\].
[D]. Dãy \[\left( {{d}_{n}} \right)\], với \[{{d}_{n}}=\dfrac{n}{{{n}^{2}}+4},\forall n\in \mathbb{N}*\].
Đáp án D.
- Dãy số \[({{a}_{n}})\]là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì \[{{a}_{n}}=\sqrt{{{n}^{2}}+16}\ge \sqrt{17},\forall n\ge 1.\]
- Dãy số \[({{b}_{n}})\]là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì \[{{b}_{n}}=n+\dfrac{1}{2n}>2\sqrt{n.\dfrac{1}{2n}}=\sqrt{2},\forall n\ge 1.\]
- Dãy số \[({{c}_{n}})\]là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì \[{{c}_{n}}={{2}^{n}}+3\ge 5,\forall n\ge 1.\]
- Dãy số \[({{d}_{n}})\]là dãy số bị chặn vì \[0<{{d}_{n}}\le \dfrac{1}{4},\forall n\ge 1.\] \[\left( do0<\dfrac{n}{{{n}^{2}}+4}\le \dfrac{n}{4n}=\dfrac{1}{4} \right).\]
Câu 3
Trong các dãy số dưới đây dãy số nào bị chặn trên ?
[A]. Dãy \[\left( {{a}_{n}} \right)\], với \[{{a}_{n}}=3n+1\].
[B]. Dãy \[\left( {{b}_{n}} \right)\], với \[{{b}_{n}}=\dfrac{1}{n\left( 2n+1 \right)}\].
[C]. Dãy \[\left( {{c}_{n}} \right)\], với \[{{c}_{n}}={{3.2}^{n+1}}\].
[D]. Dãy \[\left( {{d}_{n}} \right)\], với \[{{d}_{n}}={{\left( -2 \right)}^{n}}\].
Đáp án B.
- Dãy số \[({{a}_{n}})\]là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì \[{{u}_{1}}=4.\]
- Dãy số \[({{b}_{n}})\]có $0<{{b}_{n}}<1,\forall n\ge 1$ nên dãy số \[({{b}_{n}})\]là dãy số bị chặn.
- Dãy số \[({{c}_{n}})\]là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới bởi \[{{c}_{1}}=12.\]
- Dãy số \[({{d}_{n}})\]là dãy đan dấu và \[{{d}_{2n}}={{(-2)}^{2n}}={{4}^{n}}\] lớn tùy ý khi \[n\] đủ lớn, còn \[{{d}_{2n+1}}={{(-2)}^{2n+1}}=-{{2.4}^{n}}\] nhỏ tùy ý khi \[n\] đủ lớn.
Câu 4
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới ?
[A]. Dãy \[\left( {{x}_{n}} \right)\], với \[{{x}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}.\left( {{n}^{2}}+2n+3 \right)\].
[B]. Dãy \[\left( {{y}_{n}} \right)\], với \[{{y}_{n}}=-\left( {{n}^{2}}+6n \right)\].
[C]. Dãy \[\left( {{z}_{n}} \right)\], với \[{{z}_{n}}=\dfrac{{{2018}^{n}}}{{{2017}^{n+1}}}\].
[D]. Dãy \[\left( {{w}_{n}} \right)\], với \[{{w}_{n}}={{\left( -2017 \right)}^{n}}\].
Đáp án C.
- Dãy số \[({{x}_{n}})\]là dãy đan dấu và \[{{x}_{2n}}\] lớn tùy ý khi \[n\] đủ lớn, \[{{x}_{2n+1}}\] nhỏ tùy ý khi \[n\] đủ lớn.
- Dãy số \[({{y}_{n}})\]là dãy số giảm và \[{{y}_{n}}\]nhỏ tùy ý khi \[n\] đủ lớn.
- Dãy số \[({{z}_{n}})\]là dãy số tăng nên nó bị chặn dưới bởi\[{{z}_{1}}=\dfrac{2018}{{{2017}^{2}}}.\]
- Dãy số \[({{\text{w}}_{n}})\]là dãy đan dấu và \[{{\text{w}}_{2n}}\] lớn tùy ý khi \[n\] đủ lớn, \[{{\text{w}}_{2n+1}}\] nhỏ tùy ý khi \[n\] đủ lớn.