Xác định số hạng của dãy số, trắc nghiệm toán 11

Câu 1

Cho dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] có \[{{x}_{n}}={{\left( \dfrac{n-1}{n+1} \right)}^{2n+3}},\forall n\in \mathbb{N}*\]. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

[A]. \[{{x}_{n+1}}={{\left( \dfrac{n-1}{n+1} \right)}^{2n+5}}\].

[B]. \[{{x}_{n+1}}={{\left( \dfrac{n}{n+2} \right)}^{2n+3}}\].

[C]. \[{{x}_{n+1}}={{\left( \dfrac{n}{n+2} \right)}^{2n+5}}\].

[D]. \[{{x}_{n+1}}={{\left( \dfrac{n-1}{n+1} \right)}^{2n+1}}\].

Hướng dẫn

Đáp án C.





Ta có \[{{x}_{n}}={{\left( \dfrac{n-1}{n+1} \right)}^{2n+3}}\]nên \[{{x}_{n+1}}={{\left( \dfrac{(n+1)-1}{(n+1)+1} \right)}^{2(n+1)+3}}={{\left( \dfrac{n}{n+2} \right)}^{2n+5}}.\]

[Ẩn HD]

Câu 2

Cho dãy số \[\left( {{y}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{y}_{n}}={{\sin }^{2}}\dfrac{n\pi }{4}+\cos \dfrac{2n\pi }{3}\]. Bốn số hạng đầu của dãy số đó là:

[A]. \[0,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2}\].

[B]. \[1,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\].

[C]. \[1,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\].

[D]. \[0,\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\].

Hướng dẫn

Đáp án [A].

Ta có \[{{y}_{1}}={{\sin }^{2}}\dfrac{\pi }{4}+c\text{os}\dfrac{2\pi }{3}=0;{{y}_{2}}={{\sin }^{2}}\dfrac{\pi }{4}+c\text{os}\dfrac{4\pi }{3}=\dfrac{1}{2}.\] (loại phương án B và D) và \[{{y}_{3}}={{\sin }^{2}}\dfrac{3\pi }{4}+c\text{os}2\pi =\dfrac{3}{2}.\] (loại phương án C).

[Ẩn HD]

Câu 3

Cho dãy số \[\left( {{y}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{y}_{1}}={{y}_{2}}=1\] và \[{{y}_{n+2}}={{y}_{n+1}}+{{y}_{n}},\forall n\in \mathbb{N}*\]. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là:

[A]. \[1,1,2,4,7\].

[B]. \[2,3,5,8,11\].

[C]. \[1,2,3,5,8\].

[D]. \[1,1,2,3,5\].

Hướng dẫn

Đáp án D.

Ta có \[{{y}_{3}}=2;{{y}_{4}}=3\]nên loại các phương án còn lại.

[Ẩn HD]

Câu 4

Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{u}_{1}}=-1\] và \[{{u}_{n}}=2.n.{{u}_{n-1}}\] với mọi \[n\ge 2\]. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

[A]. \[{{u}_{11}}={{2}^{10}}.11!\].

[B]. \[{{u}_{11}}=-{{2}^{10}}.11!\].

[C]. \[{{u}_{11}}={{2}^{10}}{{.11}^{10}}\].

[D]. \[{{u}_{11}}=-{{2}^{10}}{{.11}^{10}}\].

Hướng dẫn

Đáp án B.

Ta có \[{{u}_{2}}={{2}^{2}}{{u}_{1}};{{u}_{3}}=6{{u}_{2}}={{2}^{2}}.2.3{{u}_{1}};{{u}_{4}}=8{{u}_{3}}={{2}^{3}}.2.3.4{{u}_{1}}.\]Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng \[{{u}_{n}}={{2}^{n-1}}.n!{{u}_{1}}=-{{2}^{n-1}}.n!\]. Do đó \[{{u}_{11}}=-{{2}^{10}}.11!\].

[Ẩn HD]

Câu 5

Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}\] và \[{{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+2n\] với mọi \[n\ge 2\]. Khi đó \[{{u}_{50}}\] bằng:

[A]. \[1274,5\].

[B]. \[2548,5\].

[C]. \[5096,5\].

[D]. \[2550,5\].

Hướng dẫn

Đáp án [D].

Ta có \[{{u}_{n}}=\dfrac{1}{2}+2(1+2+..+n)=\dfrac{1}{2}+n(n+1)\]. Suy ra \[{{u}_{50}}=\dfrac{1}{2}+50.51=2550,5.\]

[Ẩn HD]

Câu 6

Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có \[{{u}_{n}}=\dfrac{n+1}{2n+1}\]. Số \[\dfrac{8}{15}\] là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] ?

[A]. \[8\].

[B]. \[6\].

[C]. \[5\].

[D]. \[7\].

Hướng dẫn

Đáp án [D].

Giải phương trình \[\dfrac{n+1}{2n+1}=\dfrac{8}{15}\]ta được \[n=7.\]

[Ẩn HD]

Câu 7

Cho dãy số \[\left( {{a}_{n}} \right)\] có \[{{a}_{n}}=-{{n}^{2}}+4n+11,\forall n\in \mathbb{N}*\]. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \[\left( {{a}_{n}} \right)\].

[A]. \[14\].

[B]. \[15\].

[C]. \[13\].

[D]. \[12\].

Hướng dẫn

Đáp án [B].

Ta có \[{{a}_{n}}=-{{(n-2)}^{2}}+15\le 15,\forall n\ge 1.\] Dấu bằng xảy ra khi \[n-2=0\Leftrightarrow n=2.\]

Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng 15.

[Ẩn HD]

Câu 8

Cho dãy số \[\left( {{a}_{n}} \right)\] có \[{{a}_{n}}=\dfrac{n}{{{n}^{2}}+100},\forall n\in \mathbb{N}*\]. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \[\left( {{a}_{n}} \right)\].

[A]. \[\dfrac{1}{20}\].

[B]. \[\dfrac{1}{30}\].

[C]. \[\dfrac{1}{25}\].

[D]. \[\dfrac{1}{21}\].

Hướng dẫn

Đáp án [A].

Ta có \[{{a}_{n}}=\dfrac{n}{{{n}^{2}}+100}\le \dfrac{n}{2\sqrt{{{n}^{2}}.100}}=\dfrac{1}{20}.\] Dấu bằng xảy ra khi \[{{n}^{2}}=100\Leftrightarrow n=10.\]

Vậy số hạng lớn nhất của dãy là số hạng bằng \[\dfrac{1}{20}\].

[Ẩn HD]

Câu 9

Cho dãy số \[\left( {{y}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{y}_{1}}=2\] và \[{{y}_{n+1}}=2{{y}_{n}}+{{n}^{2}}-3n,\forall n\in \mathbb{N}*\]. Tổng \[{{S}_{4}}\] của \[4\] số hạng đầu tiên của dãy số là:

[A]. \[{{S}_{4}}=20\].

[B]. \[{{S}_{4}}=10\].

[C]. \[{{S}_{4}}=30\].

[D]. \[{{S}_{4}}=14\].

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta tính được \[{{y}_{2}}=2;{{y}_{3}}=4;{{y}_{4}}=12\Rightarrow {{S}_{4}}=20.\]

[Ẩn HD]

Câu 10

Cho dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{x}_{1}}=5\] và \[{{x}_{n+1}}={{x}_{n}}+n,\forall n\in \mathbb{N}*\]. Số hạng tổng quát của dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] là:

[A]. \[{{x}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}-n+10}{2}\].

[B]. \[{{x}_{n}}=\dfrac{5{{n}^{2}}-5n}{2}\].

[C]. \[{{x}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}+n+10}{2}\].

[D]. \[{{x}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}+3n+12}{2}\].

Hướng dẫn

Đáp án A.

Cách 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Ta có \[{{x}_{n}}={{x}_{1}}+(1+2+…+n-1)\Leftrightarrow {{x}_{n}}=5+\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{{{n}^{2}}-n+10}{2}.\]

Cách 2: Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng.

Phương án A: \[{{x}_{n+1}}=\dfrac{{{(n+1)}^{2}}-(n+1)+10}{2}=\dfrac{{{n}^{2}}+n+10}{2}=\dfrac{{{n}^{2}}-n+10}{2}+n={{x}_{n}}+n.\]

Cách 3: Với \[n=1\Rightarrow {{x}_{1}}=5\] loại các phương án còn lại B, C, D.

[Ẩn HD]

Câu 11

Cho dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{x}_{1}}=\dfrac{2}{3}\] và \[{{x}_{n+1}}=\dfrac{{{x}_{n}}}{2\left( 2n+1 \right){{x}_{n}}+1},\forall n\in \mathbb{N}*\]. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

[A]. \[{{x}_{100}}=\dfrac{2}{39999}\].

[B]. \[{{x}_{100}}=\dfrac{39999}{2}\].

[C]. \[{{x}_{100}}=\dfrac{2}{40001}\].

[D]. \[{{x}_{100}}=\dfrac{2}{40803}\].

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta có \[{{x}_{n}}>0,\forall n\ge 1\] và \[\dfrac{1}{{{x}_{n+1}}}=2(2n+1)+\dfrac{1}{{{x}_{n}}},\forall n\ge 1.\]

Suy ra \[\dfrac{1}{{{x}_{n}}}=\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+4(1+2+…+n-1)+2(n-1)=\dfrac{3}{2}+2n(n-1)+2(n-1)=\dfrac{4{{n}^{2}}-1}{2}.\]

Suy ra \[{{x}_{n}}=\dfrac{2}{4{{n}^{2}}-1}.\] Do đó \[{{x}_{100}}=\dfrac{2}{39999}.\]

[Ẩn HD]
Cảm xúc của bạn
Xác định số hạng của dãy số, trắc nghiệm toán 11
Xác định số hạng của dãy số, trắc nghiệm toán 11
Xác định số hạng của dãy số, trắc nghiệm toán 11
Xác định số hạng của dãy số, trắc nghiệm toán 11
Xác định số hạng của dãy số, trắc nghiệm toán 11
Bạn đã để lại cảm xúc
Thật tuyệt vời♥!Đừng quên chia sẻ bài viết nhé ♥