Xác định số hạng của dãy số, trắc nghiệm toán 11

Xác định số hạng của dãy số, trắc nghiệm toán 11

Câu 1

Cho dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] có \[{{x}_{n}}={{\left( \dfrac{n-1}{n+1} \right)}^{2n+3}},\forall n\in \mathbb{N}*\]. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

[A]. \[{{x}_{n+1}}={{\left( \dfrac{n-1}{n+1} \right)}^{2n+5}}\].

[B]. \[{{x}_{n+1}}={{\left( \dfrac{n}{n+2} \right)}^{2n+3}}\].

[C]. \[{{x}_{n+1}}={{\left( \dfrac{n}{n+2} \right)}^{2n+5}}\].

[D]. \[{{x}_{n+1}}={{\left( \dfrac{n-1}{n+1} \right)}^{2n+1}}\].

Hướng dẫn

Đáp án C.

Ta có \[{{x}_{n}}={{\left( \dfrac{n-1}{n+1} \right)}^{2n+3}}\]nên \[{{x}_{n+1}}={{\left( \dfrac{(n+1)-1}{(n+1)+1} \right)}^{2(n+1)+3}}={{\left( \dfrac{n}{n+2} \right)}^{2n+5}}.\]

[Ẩn HD]

Câu 2

Cho dãy số \[\left( {{y}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{y}_{n}}={{\sin }^{2}}\dfrac{n\pi }{4}+\cos \dfrac{2n\pi }{3}\]. Bốn số hạng đầu của dãy số đó là:

[A]. \[0,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2}\].

[B]. \[1,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\].

[C]. \[1,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\].

[D]. \[0,\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\].

Hướng dẫn

Đáp án [A].

Ta có \[{{y}_{1}}={{\sin }^{2}}\dfrac{\pi }{4}+c\text{os}\dfrac{2\pi }{3}=0;{{y}_{2}}={{\sin }^{2}}\dfrac{\pi }{4}+c\text{os}\dfrac{4\pi }{3}=\dfrac{1}{2}.\] (loại phương án B và D) và \[{{y}_{3}}={{\sin }^{2}}\dfrac{3\pi }{4}+c\text{os}2\pi =\dfrac{3}{2}.\] (loại phương án C).

[Ẩn HD]

Câu 3

Cho dãy số \[\left( {{y}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{y}_{1}}={{y}_{2}}=1\] và \[{{y}_{n+2}}={{y}_{n+1}}+{{y}_{n}},\forall n\in \mathbb{N}*\]. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là:

[A]. \[1,1,2,4,7\].

[B]. \[2,3,5,8,11\].

[C]. \[1,2,3,5,8\].

[D]. \[1,1,2,3,5\].

Hướng dẫn




Đáp án D.

Ta có \[{{y}_{3}}=2;{{y}_{4}}=3\]nên loại các phương án còn lại.

[Ẩn HD]

Câu 4

Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{u}_{1}}=-1\] và \[{{u}_{n}}=2.n.{{u}_{n-1}}\] với mọi \[n\ge 2\]. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

[A]. \[{{u}_{11}}={{2}^{10}}.11!\].

[B]. \[{{u}_{11}}=-{{2}^{10}}.11!\].

[C]. \[{{u}_{11}}={{2}^{10}}{{.11}^{10}}\].

[D]. \[{{u}_{11}}=-{{2}^{10}}{{.11}^{10}}\].

Hướng dẫn

Đáp án B.

Ta có \[{{u}_{2}}={{2}^{2}}{{u}_{1}};{{u}_{3}}=6{{u}_{2}}={{2}^{2}}.2.3{{u}_{1}};{{u}_{4}}=8{{u}_{3}}={{2}^{3}}.2.3.4{{u}_{1}}.\]Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng \[{{u}_{n}}={{2}^{n-1}}.n!{{u}_{1}}=-{{2}^{n-1}}.n!\]. Do đó \[{{u}_{11}}=-{{2}^{10}}.11!\].

[Ẩn HD]

Câu 5

Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}\] và \[{{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+2n\] với mọi \[n\ge 2\]. Khi đó \[{{u}_{50}}\] bằng:

[A]. \[1274,5\].

[B]. \[2548,5\].

[C]. \[5096,5\].

[D]. \[2550,5\].

Hướng dẫn

Đáp án [D].

Ta có \[{{u}_{n}}=\dfrac{1}{2}+2(1+2+..+n)=\dfrac{1}{2}+n(n+1)\]. Suy ra \[{{u}_{50}}=\dfrac{1}{2}+50.51=2550,5.\]

[Ẩn HD]

Câu 6

Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có \[{{u}_{n}}=\dfrac{n+1}{2n+1}\]. Số \[\dfrac{8}{15}\] là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] ?

[A]. \[8\].

[B]. \[6\].

[C]. \[5\].

[D]. \[7\].

Hướng dẫn

Đáp án [D].

Giải phương trình \[\dfrac{n+1}{2n+1}=\dfrac{8}{15}\]ta được \[n=7.\]

[Ẩn HD]

Câu 7

Cho dãy số \[\left( {{a}_{n}} \right)\] có \[{{a}_{n}}=-{{n}^{2}}+4n+11,\forall n\in \mathbb{N}*\]. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \[\left( {{a}_{n}} \right)\].

[A]. \[14\].

[B]. \[15\].

[C]. \[13\].

[D]. \[12\].

Hướng dẫn

Đáp án [B].

Ta có \[{{a}_{n}}=-{{(n-2)}^{2}}+15\le 15,\forall n\ge 1.\] Dấu bằng xảy ra khi \[n-2=0\Leftrightarrow n=2.\]

Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng 15.

[Ẩn HD]

Câu 8

Cho dãy số \[\left( {{a}_{n}} \right)\] có \[{{a}_{n}}=\dfrac{n}{{{n}^{2}}+100},\forall n\in \mathbb{N}*\]. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \[\left( {{a}_{n}} \right)\].

[A]. \[\dfrac{1}{20}\].

[B]. \[\dfrac{1}{30}\].

[C]. \[\dfrac{1}{25}\].

[D]. \[\dfrac{1}{21}\].

Hướng dẫn

Đáp án [A].

Ta có \[{{a}_{n}}=\dfrac{n}{{{n}^{2}}+100}\le \dfrac{n}{2\sqrt{{{n}^{2}}.100}}=\dfrac{1}{20}.\] Dấu bằng xảy ra khi \[{{n}^{2}}=100\Leftrightarrow n=10.\]

Vậy số hạng lớn nhất của dãy là số hạng bằng \[\dfrac{1}{20}\].

[Ẩn HD]

Câu 9

Cho dãy số \[\left( {{y}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{y}_{1}}=2\] và \[{{y}_{n+1}}=2{{y}_{n}}+{{n}^{2}}-3n,\forall n\in \mathbb{N}*\]. Tổng \[{{S}_{4}}\] của \[4\] số hạng đầu tiên của dãy số là:

[A]. \[{{S}_{4}}=20\].

[B]. \[{{S}_{4}}=10\].

[C]. \[{{S}_{4}}=30\].

[D]. \[{{S}_{4}}=14\].

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta tính được \[{{y}_{2}}=2;{{y}_{3}}=4;{{y}_{4}}=12\Rightarrow {{S}_{4}}=20.\]

[Ẩn HD]

Câu 10

Cho dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{x}_{1}}=5\] và \[{{x}_{n+1}}={{x}_{n}}+n,\forall n\in \mathbb{N}*\]. Số hạng tổng quát của dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] là:

[A]. \[{{x}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}-n+10}{2}\].

[B]. \[{{x}_{n}}=\dfrac{5{{n}^{2}}-5n}{2}\].

[C]. \[{{x}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}+n+10}{2}\].

[D]. \[{{x}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}+3n+12}{2}\].

Hướng dẫn

Đáp án A.

Cách 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Ta có \[{{x}_{n}}={{x}_{1}}+(1+2+…+n-1)\Leftrightarrow {{x}_{n}}=5+\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{{{n}^{2}}-n+10}{2}.\]

Cách 2: Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng.

Phương án A: \[{{x}_{n+1}}=\dfrac{{{(n+1)}^{2}}-(n+1)+10}{2}=\dfrac{{{n}^{2}}+n+10}{2}=\dfrac{{{n}^{2}}-n+10}{2}+n={{x}_{n}}+n.\]

Cách 3: Với \[n=1\Rightarrow {{x}_{1}}=5\] loại các phương án còn lại B, C, D.

[Ẩn HD]

Câu 11

Cho dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{x}_{1}}=\dfrac{2}{3}\] và \[{{x}_{n+1}}=\dfrac{{{x}_{n}}}{2\left( 2n+1 \right){{x}_{n}}+1},\forall n\in \mathbb{N}*\]. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

[A]. \[{{x}_{100}}=\dfrac{2}{39999}\].

[B]. \[{{x}_{100}}=\dfrac{39999}{2}\].

[C]. \[{{x}_{100}}=\dfrac{2}{40001}\].

[D]. \[{{x}_{100}}=\dfrac{2}{40803}\].

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta có \[{{x}_{n}}>0,\forall n\ge 1\] và \[\dfrac{1}{{{x}_{n+1}}}=2(2n+1)+\dfrac{1}{{{x}_{n}}},\forall n\ge 1.\]

Suy ra \[\dfrac{1}{{{x}_{n}}}=\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+4(1+2+…+n-1)+2(n-1)=\dfrac{3}{2}+2n(n-1)+2(n-1)=\dfrac{4{{n}^{2}}-1}{2}.\]

Suy ra \[{{x}_{n}}=\dfrac{2}{4{{n}^{2}}-1}.\] Do đó \[{{x}_{100}}=\dfrac{2}{39999}.\]

[Ẩn HD]