Nhị thức Newton, trắc nghiệm toán 11

Công thức nhị thức Newton

Khai triển \[\left( a+b \right)^n\] được cho bởi công thức sau:

Với a, b là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có

${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+…+C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}+…+C_{n}^{n}{{b}^{n}}.\left( 1 \right)$

Quy ước ${{a}^{0}}={{b}^{0}}=1$

Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton).

Hệ quả

Với $a=b=1,$ thì ta có ${{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+…+C_{n}^{n}$.

Với $a=1;\,\,b=-1$, ta có $0=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+…+{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n}^{k}+…+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}$

Các dạng khai triển cơ bản nhị thức Newton

${{\left( x+1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}+C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{2}{{x}^{n-2}}+…+C_{n}^{k}{{x}^{n-k}}+…+C_{n}^{n-1}x+C_{n}^{n}$

\[{{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{n}^{k}{{x}^{k}}+…+C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{x}^{n}}\]

${{\left( x-1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}-…+{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n}^{k}{{x}^{k}}+…+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}{{x}^{n}}$

$C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$

$C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1},\,\,\left( n\ge 1 \right)$

$k.C_{n}^{k}=\dfrac{k.n!}{\left( n-k \right)!k!}=\dfrac{n\left( n-1 \right)!}{\left( n-k \right)!\left( k-1 \right)!}=nC_{n-1}^{k-1}$

$\dfrac{1}{k+1}C_{n}^{k}=\dfrac{k.n!}{\left( k+1 \right)\left( n-k \right)!k!}=\dfrac{n\left( n-1 \right)!}{\left( n+1 \right)\left( n-k \right)!\left( k+1 \right)!}=\dfrac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$

Bài tập trắc nghiệm toán 11, chuyên đề Nhị thức Newton

Câu 1.

Trong khai triển nhị thức Newton${{\left( \sqrt[3]{\dfrac{a}{\sqrt{b}}}+\sqrt{\dfrac{b}{\sqrt[3]{a}}} \right)}^{21}}$, số hạng có số mũ $a$và $b$ bằng nhau là

[A]. $C_{21}^{12}$.

[B]. $C_{21}^{12}{{a}^{\dfrac{5}{2}}}{{b}^{\dfrac{5}{2}}}$.

[C]. $C_{21}^{9}{{a}^{\dfrac{5}{2}}}{{b}^{\dfrac{5}{2}}}$.

[D]. $C_{21}^{9}$.

Hướng dẫn

Đáp án B.

${{\left( \sqrt[3]{\dfrac{a}{\sqrt{b}}}+\sqrt{\dfrac{b}{\sqrt[3]{a}}} \right)}^{21}}={{\left( {{a}^{\dfrac{1}{3}}}{{b}^{-\dfrac{1}{6}}}+{{b}^{\dfrac{1}{2}}}{{a}^{-\dfrac{1}{6}}} \right)}^{21}}=\sum\limits_{k=0}^{21}{C_{21}^{k}}{{\left( {{a}^{\dfrac{1}{3}}}{{b}^{-\dfrac{1}{6}}} \right)}^{k}}{{\left( {{b}^{\dfrac{1}{2}}}{{a}^{-\dfrac{1}{6}}} \right)}^{21-k}}=\sum\limits_{k=0}^{21}{C_{21}^{k}}{{a}^{\dfrac{k}{3}-\dfrac{21-k}{6}}}{{b}^{-\dfrac{k}{6}+\dfrac{21-k}{2}}}$

Hệ số của số hạng có số mũ $a$và $b$ bằng nhau ứng với: $\dfrac{k}{3}-\dfrac{21-k}{6}=-\dfrac{k}{6}+\dfrac{21-k}{2}\Leftrightarrow k=12$

Vậy số hạng cần tìm là $C_{21}^{12}{{a}^{\dfrac{5}{2}}}{{b}^{\dfrac{5}{2}}}$.

[Ẩn HD]

Câu 2.

Khi khai triển nhị thức Newton$G\left( x \right)={{\left( ax+1 \right)}^{n}}$ thì ta thấy trong đó xuất hiện hai số hạng $24x$ và $252{{x}^{2}}$. Lúc này giá trị của $a$ và $n$ là

[A]. $a=3;n=8$.

[B]. $a=4;n=6$.

[C]. $a=2;n=12$.

[D]. $a=3;n=7$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta có $G\left( x \right)={{\left( ax+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( ax \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}}{{x}^{k}}$

Từ giả thiết ta có:

\[\left\{ \begin{align}
& C_{n}^{1}ax=24x \\
& C_{n}^{2}{{a}^{2}}{{x}^{2}}=252{{x}^{2}} \\
\end{align} \right.\]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& na=24 \\
& \dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}{{a}^{2}}=252 \\
\end{align} \right.\]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{n}^{2}}{{a}^{2}}=576 \\
& \dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}{{a}^{2}}=252 \\
\end{align} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& na=24 \\
& \dfrac{2{{n}^{2}}}{n\left( n-1 \right)}=\dfrac{16}{7} \\
\end{align} \right.\]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& na=24 \\
& 14n=16\left( n-1 \right) \\
\end{align} \right.\]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& n=8 \\
& a=3 \\
\end{align} \right.\]

Vậy $a=3;n=8$ là các số cần tìm.

[Ẩn HD]

Câu 3.

Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{5}}$ trong khai triển ${{\left( x+1 \right)}^{10}}$là

[A]. $C_{10}^{5}{{x}^{5}}$.

[B]. $C_{10}^{6}{{x}^{5}}$.

[C]. $252$.

[D]. $210$.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Số hạng tổng quát sau khi khai triển ${{T}_{k+1}}=C_{10}^{k}{{x}^{k}}$

Số hạng chứa${{x}^{5}}$ trong khai triển là $C_{10}^{5}{{x}^{5}}$. Đề bài hỏi hệ số nên ta chọn C.

[Ẩn HD]

Câu 4.

Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{9}}$ trong khai triển ${{\left( \dfrac{4}{x}-3{{x}^{3}} \right)}^{15}}$là

[A]. ${{3}^{6}}C_{15}^{9}{{x}^{9}}$.

[B]. ${{3}^{6}}{{2}^{18}}C_{15}^{9}{{x}^{9}}$.

[C]. ${{3}^{6}}C_{15}^{9}$.

[D]. ${{3}^{6}}{{2}^{18}}C_{15}^{9}$.

Hướng dẫn

Đáp án D.

Ta có ${{\left( \dfrac{4}{x}-3{{x}^{3}} \right)}^{15}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}{{\left( ax \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}{{\left( \dfrac{4}{x} \right)}^{k}}}{{\left( -3{{x}^{3}} \right)}^{15-k}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{{{\left( -3 \right)}^{15-k}}{{4}^{k}}C_{15}^{k}{{x}^{45-4k}}}$

Số hạng chứa${{x}^{9}}$ tương ứng với $45-4k=9\Leftrightarrow k=9$ nên hệ số của${{x}^{9}}$ trong khai triển trên là ${{\left( -3 \right)}^{6}}{{4}^{9}}C_{15}^{9}={{3}^{6}}{{4}^{9}}C_{15}^{9}.$

[Ẩn HD]

Câu 5.

Số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${{\left( 2\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{20}}$là

[A]. ${{2}^{6}}C_{20}^{6}$.

[B]. ${{2}^{8}}$.

[C]. ${{2}^{8}}C_{20}^{8}$.

[D]. ${{2}^{6}}$.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Ta có ${{\left( 2\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{20}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{\left( 2\sqrt{x} \right)}^{k}}}{{\left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{20-k}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{{{2}^{k}}C_{20}^{k}{{\left( {{x}^{\dfrac{1}{2}}} \right)}^{k}}{{\left( {{x}^{-\dfrac{1}{3}}} \right)}^{20-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{{{2}^{k}}C_{20}^{k}{{x}^{\dfrac{5k-40}{6}}}}$

Số hạng không chứa$x$ tương ứng với $\dfrac{5k-40}{6}=0\Leftrightarrow k=8$. Do vậy số hạng đó là${{2}^{8}}C_{20}^{8}$.

[Ẩn HD]

Câu 6.

Số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${{\left( {{x}^{2}}+\dfrac{1}{x}-1 \right)}^{10}}$là

[A]. $1951$.

[B]. $1950$.

[C]. $3150$.

[D]. $-360$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Từ lý thuyết ta có công thức tổng quát như sau: Với $0\le q\le p\le n$ thì số hạng tổng quát khi khai triển tam thức ${{\left( {{x}^{2}}+\dfrac{1}{x}-1 \right)}^{10}}$là ${{T}_{p}}=C_{10}^{p}C_{p}^{q}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{10-p}}{{\left( \dfrac{1}{x} \right)}^{p-q}}{{\left( -1 \right)}^{q}}=C_{10}^{p}C_{p}^{q}{{\left( -1 \right)}^{q}}{{x}^{20+q-3p}}$

Số hạng không chứa$x$ trong khai triển ứng với $20+q-3p=0\Leftrightarrow 3p-q=20$. Mà $0\le q\le p\le n$ và$q,p,n\in \mathbb{N}$ nên $\left( p;q \right)\in \left\{ \left( 7;1 \right),\left( 8;4 \right)\left( 9;7 \right),\left( 10;10 \right) \right\}$. Lúc này số hạng không chứa$x$ trong khai triển là ${{\left( -1 \right)}^{1}}C_{10}^{7}C_{7}^{1}+{{\left( -1 \right)}^{4}}C_{10}^{8}C_{8}^{4}+{{\left( -1 \right)}^{10}}C_{10}^{10}C_{10}^{10}+{{\left( -1 \right)}^{7}}C_{10}^{9}C_{9}^{7}=1951$

[Ẩn HD]

Câu 7.

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển ${{\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-1 \right)}^{8}}$là

[A]. $168{{x}^{8}}$.

[B]. $168$.

[C]. $238{{x}^{8}}$.

[D]. $238$.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Từ lý thuyết ta có công thức tổng quát như sau: Với $0\le q\le p\le n$ thì số hạng tổng quát khi khai triển tam thức ${{\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-1 \right)}^{8}}$là ${{T}_{p}}=C_{8}^{p}C_{p}^{q}{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{8-p}}{{\left( -{{x}^{2}} \right)}^{p-q}}{{\left( -1 \right)}^{q}}=C_{8}^{p}C_{p}^{q}{{x}^{24-3p}}{{x}^{2p-2q}}{{\left( -1 \right)}^{p}}$

Ta có: $24-3p+2p-2q=8\Leftrightarrow 24-p-2q=8\Leftrightarrow p+2q=16$. Suy ra $\left( p;q \right)\in \left\{ \left( 8;4 \right)\left( 6;5 \right) \right\}$. Lúc này hệ số của ${{x}^{8}}$ trong khai triển là $C_{8}^{8}C_{8}^{4}{{\left( -1 \right)}^{8}}+C_{10}^{6}C_{6}^{5}{{\left( -1 \right)}^{6}}=238$

[Ẩn HD]

Câu 8.

Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${{\left( {{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{n}}$biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{1}+C_{n}^{3}=13n.$

[A]. $C_{10}^{6}$.

[B]. $C_{10}^{5}$.

[C]. $C_{10}^{10}$.

[D]. $C_{10}^{3}$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Theo giả thiết ta có: $C_{n}^{1}+C_{n}^{3}=13n\Leftrightarrow n+\dfrac{n!}{3!\left( n-3 \right)!}=13n\Leftrightarrow n+\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}=13n\Leftrightarrow n\left( {{n}^{2}}-3n-70 \right)=0\Leftrightarrow n=10$

Khi đó ta có${{\left( {{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{n}}={{\left( {{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{k}}{{\left( \dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{10-k}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{x}^{5k-30}}$

Số hạng không chứa$x$ tương ứng với $5k-30=0\Leftrightarrow k=6$. Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển đã cho là$C_{10}^{6}=210$.

[Ẩn HD]

Câu 9.

Giả sử có khai triển ${{\left( 1-2x \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$. Tìm${{a}_{5}}$ biết${{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}=71.$

[A]. $672{{x}^{5}}$.

[B]. $-672$.

[C]. $-672{{x}^{5}}$.

[D]. $672$.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Ta cần biết công thức tổng quát của ${{a}_{k}}$để thay vào điều kiện ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}=71$, rồi sau đó giải ra để tìm $n$. Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}={{\left( 1-2x \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{\left( -2x \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -2 \right)}^{k}}C_{n}^{k}}{{x}^{k}}.$

Do đó ${{a}_{k}}={{\left( -2 \right)}^{k}}C_{n}^{k},\forall k\in \left\{ 0,1,2,…,n \right\}.$. Khi đó theo giả thiết ta có $71={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}={{\left( -2 \right)}^{0}}C_{n}^{0}+{{\left( -2 \right)}^{1}}C_{n}^{1}+{{\left( -2 \right)}^{2}}C_{n}^{2}=1-2n+2n\left( n-1 \right)\Leftrightarrow {{n}^{2}}-2n-35=0\Leftrightarrow n=7.$ Như vậy${{a}_{5}}={{\left( -2 \right)}^{5}}C_{7}^{5}=-672.$.

[Ẩn HD]

Câu 10.

Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ trong khai triển nhị thức ${{\left( x+2 \right)}^{n}}$ biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn ${{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}-…+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}=2048.$

[A]. $22{{x}^{10}}$.

[B]. $123{{x}^{10}}$.

[C]. $123$.

[D]. $22$.

Hướng dẫn

Đáp án D.

Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: ${{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}-…+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{3}^{n-k}}C_{n}^{k}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{3}^{n-k}}={{\left( -1+3 \right)}^{n}}={{2}^{n}}.$

Do đó ${{2}^{n}}=2048={{2}^{11}}\Leftrightarrow n=11$. Như vậy ta có${{\left( x+2 \right)}^{n}}={{\left( x+2 \right)}^{11}}=\sum\limits_{k=0}^{11}{C_{11}^{k}{{x}^{k}}{{2}^{11-k}}}$, suy ra hệ số của ${{x}^{10}}$ ứng với $k=10$và đó là số $C_{11}^{10}.2=22$

[Ẩn HD]

Câu 11.

Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${{\left( 1+x+\dfrac{1}{x} \right)}^{n}}$biết $n\ge 2$ là số nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{2}-C_{n+1}^{n-2}=14-14n.$

[A]. $73789$.

[B]. $73788$.

[C]. $72864$.

[D]. $56232$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta có $A_{n}^{2}-C_{n+1}^{n-2}=14-14n\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)-\dfrac{\left( n-1 \right)n\left( n+1 \right)}{6}=14-14n$

$\Leftrightarrow \left( n-1 \right)\left[ n-\dfrac{n\left( n+1 \right)}{6}+14 \right]=0\Leftrightarrow \left( n-1 \right)\left( {{n}^{2}}-5n-84 \right)=0\Leftrightarrow n=12$vì $n\ge 2$.

Lúc này ta có${{\left( 1+x+\dfrac{1}{x} \right)}^{n}}={{\left( 1+x+\dfrac{1}{x} \right)}^{12}}$

Từ công thức tổng quát tam thức Newton ta có với $0\le q\le p\le 12$ thì số hạng tổng quát khi khai triển tam thức ${{\left( 1+x+\dfrac{1}{x} \right)}^{12}}$là \[{{T}_{p}}=C_{12}^{p}C_{p}^{q}{{1}^{12-p}}{{\left( x \right)}^{p-q}}{{\left( \dfrac{1}{x} \right)}^{q}}=C_{12}^{p}C_{p}^{q}{{x}^{p-q-q}}=C_{12}^{p}C_{p}^{q}{{x}^{p-2q}}\]

Ta có: $p-2q=0\Leftrightarrow p=2q$. Kết hợp với điều kiện ở trên ta có: $\left( p;q \right)\in \left\{ \left( 0;0 \right),\left( 2;1 \right)\left( 4;2 \right),\left( 6;3 \right),\left( 8;4 \right),\left( 10;5 \right),\left( 12;6 \right) \right\}$. Suy ra số hạng không chứa$x$ là $C_{12}^{0}C_{0}^{0}+C_{12}^{2}C_{2}^{1}+C_{12}^{4}C_{4}^{2}+C_{12}^{6}C_{6}^{3}+C_{12}^{8}C_{8}^{4}+C_{12}^{10}C_{10}^{5}+C_{12}^{12}C_{12}^{6}=73789$

[Ẩn HD]

Câu 12.

Cho khai triển: ${{\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{2n}}{{x}^{2n}},n\ge 2$ với ${{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{2n}}$ là các hệ số. Tính tổng$S={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{2n}}$ biết $\dfrac{{{a}_{3}}}{14}=\dfrac{{{a}_{4}}}{41}$.

[A]. $S={{3}^{10}}$.

[B]. $S={{3}^{12}}$.

[C]. $S={{2}^{10}}$.

[D]. $S={{2}^{12}}$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Theo giả thiết ta có: $P\left( x \right)={{\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{2n}}{{x}^{2n}}$

Thay $x=1$ta được$S={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{2n}}=P\left( 1 \right)={{3}^{n}}$. Như vậy ta chỉ cần xác định được $n$

Với $0\le q\le p\le n$ thì số hạng tổng quát khi khai triển tam thức ${{\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)}^{n}}$là \[{{T}_{p}}=C_{n}^{p}C_{p}^{q}{{1}^{n-p}}{{x}^{p-q}}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{q}}=C_{n}^{p}C_{p}^{q}{{x}^{p+q}}\]

Hệ số của ${{x}^{3}}$ ứng với: $\left\{ \begin{align}
& p+q=3 \\
& 0\le q\le p\le n \\
\end{align} \right.\Rightarrow \left( p;q \right)\in \left\{ \left( 3;0 \right),\left( 2;1 \right) \right\}$.
Suy ra ${{a}_{3}}=C_{n}^{3}C_{3}^{0}+C_{n}^{2}C_{2}^{1}=C_{n}^{3}+2C_{n}^{2}.$
Hệ số của ${{x}^{4}}$ ứng với: $\left\{ \begin{align}
& p+q=4 \\
& 0\le q\le p\le n \\
\end{align} \right.\Rightarrow \left( p;q \right)\in \left\{ \left( 4;0 \right),\left( 3;1 \right),\left( 2;2 \right) \right\}$.

Suy ra \[{{a}_{4}}=C_{n}^{4}C_{4}^{0}+C_{n}^{3}C_{3}^{1}+C_{n}^{2}C_{2}^{2}=C_{n}^{4}+3C_{n}^{3}+C_{n}^{2}.\]

$\dfrac{{{a}_{3}}}{14}=\dfrac{{{a}_{4}}}{41}\Leftrightarrow \dfrac{1}{14}\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n+4 \right)}{6}=\dfrac{1}{41}\left( \dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right)}{24}+\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{2}+\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2} \right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{14}\dfrac{\left( n+4 \right)}{3}=\dfrac{1}{41}\left( \dfrac{{{n}^{2}}-5n+6}{12}+n-1 \right)\Leftrightarrow 7{{n}^{2}}-33n-370=0\Leftrightarrow n=10.$

Vậy $S={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{2n}}={{3}^{10}}$

[Ẩn HD]

Câu 13.

Số lớn nhất trong các số $C_{16}^{0};C_{16}^{1};C_{16}^{2};…;C_{16}^{15};C_{16}^{16}$ là

[A]. $C_{16}^{7}$.

[B]. $C_{16}^{6}$.

[C]. $C_{16}^{9}$.

[D]. $C_{16}^{8}$.

Hướng dẫn

Đáp án D.

Vì \[C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}\]nên ta có \[\left\{ C_{16}^{0},C_{16}^{1},…,C_{16}^{8} \right\}=\left\{ C_{16}^{16},C_{16}^{15},…,C_{16}^{8} \right\}\], suy ra ta chỉ cần tìm số lớn nhất trong các số\[C_{16}^{0},C_{16}^{1},…,C_{16}^{7},C_{16}^{8}\]. Bằng tính toán trực tiếp, ta có \[C_{16}^{0}=1,C_{16}^{1}=16,C_{16}^{2}=120,C_{16}^{3}=560,C_{16}^{4}=1820,C_{16}^{5}=4368,C_{16}^{6}=8008,C_{16}^{7}=11440,C_{16}^{8}=12870\]

Như vậy \[C_{16}^{0}<C_{16}^{1}<C_{16}^{2}<…<C_{16}^{7}<C_{16}^{8}\]

Do đó: $C_{16}^{8}=\max \left\{ C_{16}^{0};C_{16}^{1};C_{16}^{2};…;C_{16}^{15};C_{16}^{16} \right\}$

[Ẩn HD]

Câu 14.

Hệ số lớn nhất trong khai triển ${{\left( x+2 \right)}^{10}}$ là

[A]. $C_{10}^{5}$.

[B]. $128$.

[C]. $15360$.

[D]. $C_{10}^{3}$.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Ta có ${{a}_{k}}={{2}^{10-k}}C_{10}^{k}$ với$k=0,1,2,…,10$. Bài toán tương đương với tìm$k\in \left\{ 0,1,2,…,10 \right\}$ sao cho${{a}_{k}}$ lớn nhất. Xét bất phương trình sau:

$\begin{align}
& {{a}_{k}}\le {{a}_{k+1}}\Leftrightarrow {{2}^{10-k}}C_{10}^{k}\le {{2}^{9-k}}C_{10}^{k+1}\Leftrightarrow 2\dfrac{10!}{k!\left( 10-k \right)!}\le \dfrac{10!}{\left( k+1 \right)!\left( 9-k \right)!} \\
& \Leftrightarrow 2\left( k+1 \right)\le 10-k\Leftrightarrow k\le \dfrac{8}{3}\Leftrightarrow k\in \left\{ 0,1,2 \right\} \\
\end{align}$

Từ đây ta có:

$\left\{ \begin{align}
& {{a}_{k}}\le {{a}_{k+1}}\forall k\in \left\{ 0;1;2 \right\} \\
& {{a}_{k}}={{a}_{k+1}}\Leftrightarrow k=\dfrac{8}{3},k\notin N \\
& {{a}_{k}}>{{a}_{k+1}}\forall k\in \left\{ 3;4;….10 \right\} \\
\end{align} \right.$

Do đó: ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}>{{a}_{4}}>{{a}_{5}}>…>{{a}_{10}}$ hay ${{a}_{3}}$ là hệ số lớn nhất cần tìm. ${{a}_{3}}=C_{10}^{3}{{.2}^{7}}=15360.$

[Ẩn HD]

Câu 15.

Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{2}-3C_{n}^{n-1}=11n.$

Xét khai triển $P\left( x \right)={{\left( x+2 \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$. Hệ số lớn nhất của$P\left( x \right)$ là

[A]. $C_{15}^{5}{{.2}^{11}}$.

[B]. $C_{15}^{5}{{.2}^{10}}$.

[C]. $252$.

[D]. $129024$.

Hướng dẫn

Đáp án B.

\[\begin{align}
& A_{n}^{2}-3.C_{n}^{n-1}=11n\Leftrightarrow \dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!}-3n=11n. \\
& \Leftrightarrow n\left( n-1 \right)-3n=11n\Leftrightarrow n=15. \\
& {{\left( x+2 \right)}^{15}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}}{{x}^{k}}{{.2}^{15-k}} \\
\end{align}\]

Xét bất phương trình:\[{{a}_{k}}\le {{a}_{k+1}}\Leftrightarrow C_{15}^{k}{{.2}^{15-k}}\le C_{15}^{k+1}{{.2}^{14-k}}\Leftrightarrow \]

\[2\dfrac{15!}{k!.\left( 15-k \right)!}\le 2\dfrac{15!}{\left( k+1 \right)!.\left( 14-k \right)!}\Leftrightarrow \]\[\dfrac{2}{15-k}\le \dfrac{1}{k+1}\Leftrightarrow k\le \dfrac{13}{3},k\in N\Rightarrow k\in \left\{ 0,1,2,3,4 \right\}\]

Từ đây ta có:

$\left\{ \begin{align}
& {{a}_{k}}\le {{a}_{k+1}}\forall k\in \left\{ 0,1,2,3,4 \right\} \\
& {{a}_{k}}={{a}_{k+1}}\Leftrightarrow k=\dfrac{13}{3},k\notin N \\
& {{a}_{k}}>{{a}_{k+1}}\forall k\in \left\{ 5;6;….15 \right\} \\
\end{align} \right.$

Do đó: ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}<{{a}_{4}}<{{a}_{5}}>{{a}_{6}}>{{a}_{7}}>…>{{a}_{15}}$

Vậy \[{{a}_{5}}=max\left\{ {{a}_{i}}\left| i=\overline{0,15} \right. \right\}=C_{15}^{5}{{.2}^{10}}\]

[Ẩn HD]

Câu 16.

Giả sử $P\left( x \right)={{\left( 2x+1 \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$ thỏa mãn ${{a}_{0}}+\dfrac{{{a}_{1}}}{2}+\dfrac{{{a}_{2}}}{{{2}^{2}}}+…+\dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n}}}={{2}^{12}}$. Hệ số lớn nhất trong các hệ số $\left\{ {{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{n}} \right\}$là

[A]. $126720$.

[B]. $495$.

[C]. $256$.

[D]. $591360$.

Hướng dẫn

Đáp án A

\[\begin{align}
& {{2}^{12}}={{a}_{0}}+\dfrac{{{a}_{1}}}{2}+\dfrac{{{a}_{2}}}{{{2}^{2}}}+……+\dfrac{{{a}^{n}}}{{{2}^{n}}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}\left( \dfrac{1}{2} \right)+{{a}_{2}}{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{n}} \\
& =P\left( \dfrac{1}{2} \right)={{\left( 1+2.\dfrac{1}{2} \right)}^{n}}={{2}^{n}} \\
\end{align}\]

$\Rightarrow n=12$

\[{{\left( 2x+1 \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}}{{\left( 2x \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{k}}}{{2}^{k}}.\]

\[\Rightarrow {{a}_{k}}=C_{12}^{k}{{.2}^{k}}\forall k\overline{0,12}\Rightarrow {{a}_{k}}\le {{a}_{k+1}}\Leftrightarrow C_{12}^{k}{{.2}^{k}}\le C_{12}^{k+1}{{.2}^{k+1}}\]

\[\begin{align}
& \dfrac{12!}{k!.\left( 12-k \right)!}\le \dfrac{12!}{\left( k+1 \right)!.\left( 11-k \right)!} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{1}{12-k}\le \dfrac{2}{k+1} \\
& \Leftrightarrow k\le \dfrac{23}{3},k\in \mathbb{N}\Rightarrow k\in \left\{ 0,1,2,3,…7 \right\} \\
\end{align}\]

Từ đây ta có:

$\left\{ \begin{align}
& {{a}_{k}}\le {{a}_{k+1}}\forall k\in \left\{ 0,1,2,3,…7 \right\} \\
& {{a}_{k}}={{a}_{k+1}}\Leftrightarrow k=\dfrac{23}{3},k\notin N \\
& {{a}_{k}}>{{a}_{k+1}}\forall k\in \left\{ 8;9;….11 \right\} \\
\end{align} \right.$

Do đó: \[{{a}_{0}}<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}<{{a}_{4}}<{{a}_{5}}<…..<{{a}_{8}}>{{a}_{9}}>….>{{a}_{12}}\]

Vậy \[{{a}_{5}}=max\left\{ {{a}_{i}}\left| i=\overline{0,12} \right. \right\}=C_{12}^{8}{{.2}^{8}}\]

[Ẩn HD]

Câu 17.

Cho khai triển ${{\left( x+2 \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$. Tìm tất cả các giá trị của $n$ để $\max \left\{ {{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{n}} \right\}={{a}_{10}}$.

[A]. $\left\{ 29;30;31;32 \right\}$.

[B]. $12$.

[C]. $\left\{ 12;13;14;15 \right\}$.

[D]. $16$.

Hướng dẫn

Đáp án A

Giả sử  $n$ là số nguyên dương sao cho:

\[max\left\{ {{a}_{0}},{{a}_{1}},…{{a}_{n}} \right\}={{a}_{10}}\]

Theo công thức khai triển newton ta có:

\[P\left( x \right)={{\left( x+2 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{x}^{k}}{{2}^{n-k}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{k}}}{{2}^{k}}.\]

\[\Rightarrow {{a}_{k}}=C_{n}^{k}{{.2}^{n-k}}\forall k\overline{0,n}\]

Ta có:

\[{{a}_{10}}=max\left\{ {{a}_{0}},{{a}_{1}},…{{a}_{n}} \right\}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{a}_{9}}\le {{a}_{10}} \\
& {{a}_{10}}\ge {{a}_{11}} \\
\end{align} \right.\]
\[\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& C_{n}^{9}{{.2}^{n-9}}\le C_{n}^{10}{{.2}^{n-10}} \\
& C_{n}^{10}{{.2}^{n-10}}\ge C_{n}^{11}{{.2}^{n-11}} \\
\end{align} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& \dfrac{2}{n-9}\le \dfrac{1}{10} \\
& \dfrac{1}{11}\le \dfrac{2}{n-10} \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow 29\le n\le 32\]

Các phép biến đổi trên là đương tương nên ta không cần phải thử lại các giá trị trên.

Vậy $n\in \left\{ 29,30,31,32 \right\}$ là tất cả các giá trị thỏa mãn bài toán (thử lại thấy thở mãn).

[Ẩn HD]

Câu 18.

Cho $n$ là số nguyên dương. Gọi ${{a}_{3n-3}}$ là hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ trong khai triển thành đa thức của${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}$. Tìm $n$ sao cho ${{a}_{3n-3}}=26n$.

[A]. $n=10$.

[B]. $n=3$.

[C]. $n=4$.

[D]. $n=5$.

Hướng dẫn

Đáp án D

Theo công thức khai triển Newton ta có:

\[{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}=\left( \sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{x}^{2k}} \right)\left( \sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}}{{x}^{i}}{{2}^{n-i}} \right).\]

Số hạng chứa \[{{3}^{3n-3}}\]tương ứng với cặp \[\left( k,i \right)\] thỏa mãn:

\[\left\{ \begin{align}
& 2k+i=3n-3 \\
& 0\le k;i\le n \\
\end{align} \right.\Rightarrow \left( k;i \right)\in \left\{ \left( n,n-3 \right);\left( n-1,n-1 \right) \right\}\]

Do đó hệ số của \[{{3}^{3n-3}}\]là: \[{{a}_{3n-3}}=C_{n}^{n}{{.2}^{3}}.C_{n}^{n-3}+C_{n}^{n-1}{{.2}^{1}}.C_{n}^{n-1}=8C_{n}^{3}+2{{n}^{2}}=26n\]

\[\Leftrightarrow 8\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}+2{{n}^{2}}=26n\Rightarrow 2{{n}^{2}}-3n-35=0\Rightarrow n=5\]

[Ẩn HD]

Câu 19.

Khi khai triển nhị thức Newton $G\left( x \right)={{\left( ax+1 \right)}^{n}}$ thì ta thấy trong đó xuất hiện hai số hạng $24x$ và $252{{x}^{2}}$. Tìm $a$ và $n$.

[A]. $a=3;n=8$.

[B]. $a=2;n=7$.

[C]. $a=4;n=9$.

[D]. $a=5;n=10$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta có: $G\left( x \right)={{\left( ax+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{a}^{k}}{{x}^{k}}$.

Từ giả thiết ta có:

\[\left\{ \begin{matrix}
C_{n}^{1}ax=24  \\
C_{n}^{2}{{a}^{2}}{{x}^{2}}=252{{x}^{2}}  \\
\end{matrix} \right.\] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
na=24  \\
\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}{{a}^{2}}=252  \\
\end{matrix} \right.\]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{n}^{2}}{{a}^{2}}=576  \\
\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}{{a}^{2}}=252  \\
\end{matrix} \right.\]\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
na=24  \\
\dfrac{2{{n}^{2}}}{n\left( n-1 \right)}=\dfrac{16}{7}  \\
\end{matrix} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
na=24  \\
14n=16\left( n-1 \right)  \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
n=8  \\
a=3  \\
\end{matrix} \right.\]

Vậy $a=3,n=8$ là các số cần tìm.

[Ẩn HD]

Câu 20.

Tìm số nguyên dương$n$thỏa mãn$\dfrac{C_{n}^{1}}{2}-\dfrac{2C_{n}^{2}}{{{2}^{2}}}+\dfrac{3C_{n}^{3}}{{{2}^{3}}}-…+{{\left( -1 \right)}^{n-2}}\dfrac{\left( n-1 \right)C_{n}^{n-1}}{{{2}^{n-1}}}+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\dfrac{nC_{n}^{n}}{{{2}^{n}}}=\dfrac{1}{32}$

[A]. $n=10$.

[B]. $n=9$.

[C]. $n=8$.

[D]. $n=7$.

Hướng dẫn

Đáp án C

Các số hạng của tổng vế trái có dạng:

${{\left( -1 \right)}^{k-1}}\dfrac{kC_{n}^{k}}{{{2}^{k}}}={{\left( -1 \right)}^{k-1}}\dfrac{nC_{n-1}^{k-1}}{{{2}^{k}}}=\dfrac{n}{2}C_{n-1}^{k-1}{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{k-1}}$

Do đó ta có:

$\dfrac{C_{n}^{1}}{2}-\dfrac{2C_{n}^{2}}{{{2}^{2}}}+\dfrac{3C_{n}^{3}}{{{2}^{3}}}-…+{{\left( -1 \right)}^{n-2}}\dfrac{\left( n-1 \right)C_{n}^{n-1}}{{{2}^{n-1}}}+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\dfrac{nC_{n}^{n}}{{{2}^{n}}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k-1}}\dfrac{kC_{n}^{k}}{{{2}^{k}}}}$

$=\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{n}{2}C_{n-1}^{k-1}}{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{k-1}}$$=\dfrac{n}{2}\sum\limits_{k=1}^{n-1}{C_{n-1}^{k}}{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{k}}=\dfrac{n}{2}{{\left( -\dfrac{1}{2}+1 \right)}^{n-1}}=\dfrac{n}{{{2}^{n}}}$.

Như vậy ta cần dùng số nguyên dương $n$ thỏa mãn:$\dfrac{n}{{{2}^{n}}}=\dfrac{1}{32}\Leftrightarrow {{2}^{n-5}}=n\Leftrightarrow n=8$.

[Ẩn HD]

Câu 21.

Cho $S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)$. Kết quả biểu diễn $S$ theo $n$ là

[A]. $S=\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}{4}$.

[B]. $S=\dfrac{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}{3}$.

[C]. $S=\dfrac{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)\left( n+4 \right)}{4}$.

[D]. $S=n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)$.

Hướng dẫn

Đáp án A

Cách 1: Ta có

$C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}$

$C_{n-1}^{k}=C_{n-2}^{k}+C_{n-2}^{k-1}$

$C_{n-2}^{k}=C_{n-3}^{k}+C_{n-3}^{k-1}$

$………………………$

$C_{k+1}^{k}=C_{k}^{k}+C_{k}^{k-1}$

$C_{k}^{k}=C_{k-1}^{k}+C_{k-1}^{k-1}$

Cộng các dẳng thức trên vế theo vế ta được:

$C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-2}^{k-1}+…+C_{k}^{k-1}+C_{k-1}^{k-1}$ $\left( * \right)$

Ta có: $1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}$

$=\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{\left( k+2 \right)!}{\left( k-1 \right)!}}=6\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{\left( k+2 \right)!}{3!\left( k-1 \right)!}}=6\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{k+2}^{3}}$$=6\left( C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+…+C_{n+1}^{3}+C_{n+2}^{3} \right)$.

Áp dụng câu $\left( * \right)$ với $k=4$, thay $n$ bởi $n+3$ ta được:

$C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+…+C_{n+1}^{3}+C_{n+2}^{3}=C_{n+3}^{4}$

Vậy $1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)=$$6C_{n+3}^{4}=\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}{4}$.

Cách 2: Với bài toán này ta có thể dùng máy tính để thử trường hợp riêng.

[Ẩn HD]

Câu 22.

Tính tổng $S=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+…+C_{n}^{n}$ theo$n$ ta được

[A]. $S={{2}^{n-1}}-1$.

[B]. $S={{2}^{n}}-1$.

[C]. $S={{2}^{n-1}}$.

[D]. $S={{2}^{n}}$.

Hướng dẫn

Đáp án D

Xét khai triển:

${{\left( a+b \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{b}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{1}}{{b}^{n-1}}+…+C_{n}^{n-2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}+C_{n}^{n-1}{{a}^{n-1}}{{b}^{1}}+C_{n}^{n}{{a}^{n}}$.

Chọn $a=b=1$ ta được $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+…+C_{n}^{n}={{2}^{n}}$

[Ẩn HD]

Câu 23.

Giá trị của$n$ thỏa mãn $C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+{{2}^{2}}C_{n}^{2}+…+{{2}^{2}}C_{n}^{n}=243.$ là

[A]. $n=7$.

[B]. $n=3$.

[C]. $n=5$.

[D]. $n=4$.

Hướng dẫn

Đáp án C

Xét khai triển: ${{\left( a+b \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{b}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{1}}{{b}^{n-1}}+…+C_{n}^{n-2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}+C_{n}^{n-1}{{a}^{n-1}}{{b}^{1}}+C_{n}^{n}{{a}^{n}}$.

Chọn $a=2,b=1$ ta được:

${{3}^{n}}={{\left( 2+1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+{{2}^{2}}C_{n}^{2}+…+{{2}^{n}}C_{n}^{n}=243$$\Rightarrow n=5$

[Ẩn HD]

Câu 24.

Tính tổng $S=\dfrac{1}{2!2017!}+\dfrac{1}{4!2015!}+\dfrac{1}{6!2013!}+…+\dfrac{1}{2016!3!}+\dfrac{1}{2018!}$ theo$n$ ta được

[A]. $S=\dfrac{{{2}^{2018}}-1}{2017!}$.

[B]. $S=\dfrac{{{2}^{2018}}-1}{2017}$.

[C]. $S=\dfrac{{{2}^{2018}}}{2017!}$.

[D]. $S=\dfrac{{{2}^{2018}}}{2017}$.

Hướng dẫn

Đáp án A

Các số hạng của $S$ có dạng:

$\dfrac{1}{\left( 2k \right)!\left( 2019-2k \right)!}=\dfrac{1}{2019!}\dfrac{2019!}{\left( 2k \right)!\left( 2019-2k \right)!}=\dfrac{1}{2019!}C_{2019}^{2k}$.

Do đó $\Rightarrow 2019!S=C_{2019}^{2}+C_{2019}^{4}+…+C_{2019}^{2016}+C_{2019}^{2018}$.

Nhận thấy $C_{2019}^{2k}$ là hệ số của ${{x}^{2k}}$ trong khai triến ${{\left( x+1 \right)}^{2019}}$.

Vì vậy xét $P\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2019}}$, theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

$P\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2019}}$=$C_{2019}^{0}+C_{2019}^{1}x+C_{2019}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{2019}^{2019}{{x}^{2019}}$

Từ đó ta có:

$P\left( 1 \right)=$$C_{2019}^{0}+C_{2019}^{1}+C_{2019}^{2}+…+C_{2019}^{2019}$.

$P\left( -1 \right)=$$C_{2019}^{0}-C_{2019}^{1}+C_{2019}^{2}-…+C_{2019}^{2018}-C_{2019}^{2019}$

Suy ra: $2019!S+1=C_{2019}^{0}+C_{2019}^{2}+C_{2019}^{4}+…+C_{2019}^{2018}=\dfrac{P\left( 1 \right)+P\left( -1 \right)}{2}={{2}^{2018}}$

$\Leftrightarrow S=\dfrac{{{2}^{2018}}-1}{2019!}$

[Ẩn HD]

Câu 25.

Cho số nguyên $n\ge 3$. Giả sử ta có khai triển ${{\left( x-1 \right)}^{2n}}+x{{\left( x+1 \right)}^{2n-1}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{2n}}{{x}^{2n}}$. Biết$T={{a}_{0}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{2n}}=768.$Tính ${{a}_{5}}$.

[A]. $126{{x}^{5}}$.

[B]. $-126{{x}^{5}}$.

[C]. $126$.

[D]. $-126$.

Hướng dẫn

Đáp án D

Theo giả thiết ta có:

$P\left( x \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{2n}}{{x}^{2n}}$.

Khi đó $P\left( 1 \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{2n}}$và $P\left( -1 \right)={{a}_{0}}-{{a}_{1}}+{{a}_{2}}-…+{{a}_{2n}}$.

Suy ra $T={{a}_{0}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{2n}}=\dfrac{P\left( 1 \right)+P\left( -1 \right)}{2}=\dfrac{{{2}^{2n-1}}+{{2}^{2n}}}{2}={{3.2}^{2n-2}}$

$\Rightarrow 768={{3.2}^{2n-2}}\Leftrightarrow n=5$

Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

$P\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2n}}+x{{\left( x+1 \right)}^{2n-1}}=\sum\limits_{k=1}^{2n}{C_{2n}^{k}{{x}^{k}}{{\left( -1 \right)}^{2n-k}}+x}\sum\limits_{k=1}^{2n-1}{C_{2n-k}^{k}{{x}^{k}}}$

$=\sum\limits_{k=1}^{2n}{C_{2n}^{k}{{x}^{k}}{{\left( -1 \right)}^{2n-k}}+}\sum\limits_{k=1}^{2n}{C_{2n-k}^{k-1}{{x}^{k}}}=1+\sum\limits_{k=1}^{2n}{\left( C_{2n}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}+C_{2n-1}^{k-1} \right)}{{x}^{k}}=1+\sum\limits_{k=1}^{10}{\left( C_{10}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}+C_{9}^{k-1} \right)}{{x}^{k}}$.

Vậy ${{a}_{5}}=C_{10}^{5}{{\left( -1 \right)}^{5}}+C_{9}^{4}=-126.$

[Ẩn HD]

Câu 26.

Tìm $n$ sao cho $C_{2n}^{1}+C_{2n}^{3}+…C_{2n}^{2n-1}=2048.$ là

[A]. $n=8$.

[B]. $n=6$.

[C]. $n=7$.

[D]. $n=9$.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Xét khai triển ${{\left( a+b \right)}^{2n}}=C_{2n}^{0}{{b}^{2n}}+C_{2n}^{1}{{a}^{1}}{{b}^{2n-1}}+…+C_{2n}^{2n-1}{{a}^{2n-2}}{{b}^{1}}+C_{2n}^{2n}{{a}^{2n}}$

Chọn $a=b=1$, ta được:

${{2}^{2n}}=C_{2n}^{0}+C_{2n}^{1}+C_{2n}^{2}+…+C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}$

Chọn $a=1$,$b=-1$, ta được:

$0=C_{2n}^{0}-C_{2n}^{1}+C_{2n}^{2}+…-C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}$

Trừ hai đẳng thức trên vế theo vế ta được:

\[{{2}^{2n}}=2\left( C_{2n}^{1}+C_{2n}^{3}+…+C_{2n}^{2n-1} \right)=2.2048={{2}^{12}}\Leftrightarrow n=6\]

[Ẩn HD]

Câu 27.

Cho khai triển ${{\left( 1+2x \right)}^{2014}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{2014}}{{x}^{2014}}$. Khi đó tổng $S={{a}_{1}}+{{3}^{2}}{{a}_{3}}+…+{{3}^{2010}}{{a}_{2011}}+{{3}^{2012}}{{a}_{2013}}$ có giá trị bằng

[A]. $\dfrac{{{7}^{2014}}-{{5}^{2014}}}{6}$.

[B].  $\dfrac{{{7}^{2014}}-{{5}^{2014}}}{2}$.

[C].  $\dfrac{{{7}^{2014}}}{6}$.

[D].  $\dfrac{{{5}^{2014}}}{2}$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Nhận thấy rằng:

$3S=3{{a}_{1}}+{{3}^{3}}{{a}_{3}}+…+{{3}^{2011}}{{a}_{2011}}+{{3}^{2013}}{{a}_{2013}}$

Lần lượt thay $x=3$,$x=-3$ vào khai triển đã cho ta được:

\[P\left( 3 \right)={{7}^{2014}}={{a}_{0}}+3{{a}_{1}}+{{3}^{2}}{{a}_{2}}+…+{{3}^{2013}}{{a}_{2013}}+{{3}^{2014}}{{a}_{2014}}\]

\[P\left( -3 \right)={{5}^{2014}}={{a}_{0}}-3{{a}_{1}}+{{3}^{2}}{{a}_{2}}-…-{{3}^{2013}}{{a}_{2013}}+{{3}^{2014}}{{a}_{2014}}\]

Trừ hai đẳng thức này vế theo vế, ta được:

\[2\left( 3{{a}_{1}}+{{3}^{3}}{{a}_{3}}…+{{3}^{2011}}{{a}_{2011}}+{{3}^{2013}}{{a}_{2013}} \right)={{7}^{2014}}-{{5}^{2014}}\]

\[\Leftrightarrow 3S=\dfrac{{{7}^{2014}}-{{5}^{2014}}}{2}\Leftrightarrow S=\dfrac{{{7}^{2014}}-{{5}^{2014}}}{6}\]

Vậy $S={{a}_{1}}+{{3}^{2}}{{a}_{3}}+…+{{3}^{2010}}{{a}_{2011}}+{{3}^{2012}}{{a}_{2013}}=\dfrac{{{7}^{2014}}-{{5}^{2014}}}{6}$

[Ẩn HD]

Câu 28.

Tính tổng $S=C_{100}^{0}-5C_{100}^{1}+{{5}^{2}}C_{100}^{2}-…+{{5}^{100}}C_{100}^{100}$

[A]. ${{6}^{100}}$.

[B]. ${{4}^{100}}$.

[C]. ${{2}^{300}}$.

[D]. ${{3}^{200}}$.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Nhận thấy ${{\left( -5 \right)}^{k}}C_{100}^{k}$ là hệ số của ${{x}^{k}}$ trong khai triển ${{\left( 1-5x \right)}^{100}}$

Vì thế xét $P\left( x \right)={{\left( 1-5x \right)}^{100}}$, theo khai triển nhị thức NewTon, ta có:

$P\left( x \right)={{\left( 1-5x \right)}^{100}}=C_{100}^{0}-C_{100}^{1}5x+C_{100}^{2}{{\left( 5x \right)}^{2}}-…+C_{100}^{100}{{\left( 5x \right)}^{100}}$

Thay $x=1$ vào ta được:

$P\left( x \right)={{\left( 4 \right)}^{100}}=C_{100}^{0}-C_{100}^{1}5+C_{100}^{2}{{5}^{2}}-…+C_{100}^{100}{{5}^{100}}$

Chú ý: Ta cũng có thể xét khai triển ${{\left( 1+5x \right)}^{100}}$ rồi sau đó thay $x=-1$ vào.

[Ẩn HD]

Câu 29.

Đẳng thức nào sau đây sai?

[A]. ${{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+…+C_{n}^{n}$.

[B]. $0=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-…+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}$.

[C]. $1=C_{n}^{0}-2C_{n}^{1}+4C_{n}^{2}-…+{{\left( -2 \right)}^{n}}C_{n}^{n}$

[D]. ${{3}^{n}}=C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+4C_{n}^{2}+…+{{2}^{n}}C_{n}^{n}$.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Ta có ${{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{n}^{n}{{x}^{n}}$

Cho $x=1$ thì A đúng.

Cho $x=-1$ thì B đúng.

Cho $x=2$ thì D đúng.

Cho $x=-2$ thì ${{\left( -1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}-2C_{n}^{1}+C_{n}^{2}{{2}^{2}}-…+C_{n}^{n}{{\left( -2 \right)}^{n}}$.

Vậy C sai.

[Ẩn HD]

Câu 30.

Khai triển ${{\left( 2x+y \right)}^{5}}$ta được kết quả là

[A]. $32{{x}^{5}}+16{{x}^{4}}y+8{{x}^{3}}{{y}^{2}}+4{{x}^{2}}{{y}^{3}}+2x{{y}^{4}}+{{y}^{5}}$.

[B]. $32{{x}^{5}}+80{{x}^{4}}y+80{{x}^{3}}{{y}^{2}}+40{{x}^{2}}{{y}^{3}}+10x{{y}^{4}}+{{y}^{5}}$.

[C]. $2{{x}^{5}}+10{{x}^{4}}y+20{{x}^{3}}{{y}^{2}}+20{{x}^{2}}{{y}^{3}}+10x{{y}^{4}}+{{y}^{5}}$.

[D]. $32{{x}^{5}}+10000{{x}^{4}}y+8000{{x}^{3}}{{y}^{2}}+400{{x}^{2}}{{y}^{3}}+10x{{y}^{4}}+{{y}^{5}}$.

Hướng dẫn

Đáp án B.

${{\left( 2x+y \right)}^{5}}={{\left( 2x \right)}^{5}}+5{{\left( 2x \right)}^{4}}y+10{{\left( 2x \right)}^{3}}{{y}^{2}}+10{{\left( 2x \right)}^{2}}{{y}^{3}}+5\left( 2x \right){{y}^{4}}+{{y}^{5}}$

$=32{{x}^{5}}+80{{x}^{4}}y+80{{x}^{3}}{{y}^{2}}+40{{x}^{2}}{{y}^{3}}+10x{{y}^{4}}+{{y}^{5}}$.

[Ẩn HD]
Cảm xúc của bạn
Nhị thức Newton, trắc nghiệm toán 11
Nhị thức Newton, trắc nghiệm toán 11
Nhị thức Newton, trắc nghiệm toán 11
Nhị thức Newton, trắc nghiệm toán 11
Nhị thức Newton, trắc nghiệm toán 11
Bạn đã để lại cảm xúc
Thật tuyệt vời♥!Đừng quên chia sẻ bài viết nhé ♥