Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11

Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên miền $D\subset R$ .

Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số

$y=f\left( x \right)$ trên D nếu $\left\{ \begin{align}
& f\left( x \right)\le M,\forall x\in D \\
& \exists {{x}_{0}}\in D,f\left( {{x}_{0}} \right)=M \\
\end{align} \right.$
Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$trên D nếu $\left\{ \begin{align}
& f\left( x \right)>m,\forall x\in D \\
& \exists {{x}_{0}}\in D,f\left( {{x}_{0}} \right)=m \\
\end{align} \right.$

Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này:

  1. Tính bị chặn của hàm số lượng giác .
  2. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa $\sin $ và $\cos $ .
  3. Bảng biến thiên của hàm số lượng giác.
  4. Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay.

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT  CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 1

Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \[y=4\cos \sqrt{x}\] là:

[A]. 0 và 4.

[B]. \[-\]4 và 4.

[C]. 0 và 1.

[D]. \[-\]1 và 1.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Tập xác định $D=\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;+\infty )$.Ta có $-1\le \cos \sqrt{x}\le 1$ $\Leftrightarrow -4\le y\le 4$ . Vậy






$\underset{D}{\mathop{\min y}}\,=-4\Leftrightarrow \cos \sqrt{x}=-1$; $\underset{D}{\mathop{\max y}}\,=4\Leftrightarrow \cos \sqrt{x}=1$

[Ẩn HD]

Câu 2

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \[y=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}x}-2\] là:

[A]. \[0\] và \[\sqrt{2}-1\].

[B]. \[-1\] và \[\sqrt{2}-1\].

[C]. \[-2\] và \[-1\]

[D]. \[-1\] và \[1\]

Hướng dẫn

Đáp án C .

Ta có $y=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}x}-2=\sqrt{{{\sin }^{2}}x}-2=|\sin x|-2$

$0\le |\sin x|\le 1\Leftrightarrow -2\le y\le -1$

[Ẩn HD]

Câu 3

Cho hàm số \[y=\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right).\] Giá trị lớn nhất của hàm số là:

[A]. \[-1\].

[B]. \[0\].

[C]. \[1\].

[D]. \[\dfrac{\pi }{4}\] .

Hướng dẫn

Đáp án C.

$-1\le \sin (x+\dfrac{\pi }{4})\le -1$

[Ẩn HD]

Câu 4

Giá trị lớn nhất của hàm số \[y={{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x\] là:

[A]. \[\dfrac{\sqrt{2}}{2}\].

[B]. \[1\].

[C]. \[\sqrt{2}\].

[D]. \[2\] .

Hướng dẫn

Đáp án B.

${{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x=1-\dfrac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x=\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}-\dfrac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x$

$=\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}(1-2{{\sin }^{2}}2x)=\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}\cos 4x$

$\cos 4x\le 1\Leftrightarrow \dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}\cos 4x\le 1$ Dấu bằng xảy ra khi cos4x =1

[Ẩn HD]

Câu 5

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y=\dfrac{\sin x+1}{\cos x+2}\] là:

[A]. \[\dfrac{1}{2}\].

[B]. \[\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\].

[C]. \[\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\].

[D]. \[0\] .

Hướng dẫn

Đáp án D.

Ta có $\left\{ \begin{align}
& \sin x+1\ge 0 \\
& \cos x+2\ge 0 \\
\end{align} \right.\Rightarrow y\ge 0\Rightarrow \min y=0$ khi sin x = -1

[Ẩn HD]

Câu 6

Giá trị lớn nhất của hàm số là:\[y=\dfrac{\cos x+2\sin x+3}{2\operatorname{cosx}-sinx+4}\]

[A]. \[0\].

[B]. \[3-2\sqrt{3}.\].

[C]. \[2-2\sqrt{2}.\].

[D]. \[-1.\] .

Hướng dẫn

Đáp án C.

$2\cos x-\sin x+4\ge 0;$

$y=\dfrac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}$

$\begin{align}
& \Leftrightarrow 2y\cos x-y\sin x+4y=\cos x+2\sin x+3 \\
& \Leftrightarrow (2y-1)\cos x-(y+2)\sin x+4y-3=0 \\
\end{align}$

${{(2y-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}\ge {{(4y-3)}^{2}}\Leftrightarrow 5{{y}^{2}}+5\ge 16{{y}^{2}}-24y+9$

$\Leftrightarrow 11{{y}^{2}}-24y+4\le 0\Leftrightarrow \dfrac{2}{11}\le y<2$

Vậy GTLN của hàm số đã cho là 2.

[Ẩn HD]

Câu 7

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)=3-\dfrac{1}{5}{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x$ là

[A]. $\dfrac{59}{20}$

[B]. $\dfrac{14}{5}$

[C]. $3$

[D]. $\dfrac{29}{10}$

Hướng dẫn

Đáp án A.

$\begin{align}
& f(x)=3-\dfrac{1}{5}{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x=3-\dfrac{1}{20}{{(2\sin x\cos x)}^{2}} \\
& =3-\dfrac{1}{20}{{\sin }^{2}}x\le 3-\dfrac{1}{20}=\dfrac{59}{20} \\
\end{align}$

Vậy GTNN của hàm số là $\dfrac{59}{20}$

[Ẩn HD]

Câu 8

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=4\sin x+2\cos x$ là

[A]. $2\sqrt{5}$

[B]. $-2\sqrt{5}$

[C]. $0$

[D]. $20$

Hướng dẫn

Đáp án B.

${{4}^{2}}+{{2}^{2}}\ge {{y}^{2}}\Leftrightarrow -2\sqrt{5}\le y\le 2\sqrt{5}$

[Ẩn HD]

Câu 9

Hàm số $y=4\sin x-4{{\cos }^{2}}x$ đạt giá trị nhỏ nhất là

[A]. $-1$

[B]. $-4$

[C]. $\dfrac{-5}{4}$

[D]. $-5$

Hướng dẫn

Đáp án D.

$y=4[\sin x-(1-{{\sin }^{2}}x)]=4({{\sin }^{2}}x+\sin x+1)=4\left[ {{\left( \sin x+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{5}{4} \right]\ge 5$

Dấu bằng xảy ra khi $\sin x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \min y=-5$

[Ẩn HD]

Câu 10

Hàm số \[y=4{{\cot }^{2}}2x-\dfrac{\sqrt{3}\left( 1-{{\tan }^{2}}x \right)}{\tan x}\] đạt giá trị nhỏ nhất là

[A]. $0$

[B]. $3-2\sqrt{3}$

[C]. $2-2\sqrt{2}$

[D]. $-1$

Hướng dẫn

Đáp án D.

$\begin{align}
& \cot 2x=\dfrac{1-{{\tan }^{2}}x}{2\tan x}\Rightarrow y=3{{\cot }^{2}}2x-\dfrac{2\sqrt{3}(1-{{\tan }^{2}}x)}{2\tan x}=3{{\cot }^{2}}2x-2\sqrt{3}\cot 2x \\
& ={{(\sqrt{3}{{\cot }^{2}}2x-1)}^{2}}-1\ge -1 \\
\end{align}$

Vậy $\min y=-1\Leftrightarrow \cot 2x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

[Ẩn HD]

Câu 11

Hàm số \[y=2\cos x+\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)\] đạt giá trị lớn nhất là

[A]. $5-2\sqrt{2}$

[B]. $5+2\sqrt{2}$

[C]. $\sqrt{5+2\sqrt{2}}$

[D]. $\sqrt{5-2\sqrt{2}}$

Hướng dẫn

Đáp án C.

$\begin{align}
& y=2\cos x+\sin (x+\dfrac{\pi }{4})\Leftrightarrow 2\cos x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2}\sin (x+\dfrac{\pi }{4}) \\
& \Leftrightarrow 2\cos x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\sin x+\cos x)\Leftrightarrow y=\left( 2+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)\cos x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x \\
\end{align}$

${{y}^{2}}\le {{\left( 2+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}\le 5+2\sqrt{2}$

$-\sqrt{5+2\sqrt{2}}\le y\le \sqrt{5+2\sqrt{2}}$ => Giá trị lớn nhát của hàm số là$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$ .

[Ẩn HD]

Câu 12

Tổng của giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+\sin x\cos x$ là

[A]. $\dfrac{9}{8}$

[B]. $\dfrac{5}{4}$

[C]. $1$

[D]. $\dfrac{4}{3}$

Hướng dẫn

Đáp án A.

$y={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+\sin x\cos x\Leftrightarrow y=1-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x+\sin x\cos x$

$\begin{align}
& \Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x+\dfrac{1}{2}\sin 2x\Leftrightarrow y=1-\dfrac{1}{2}\left[ {{\left( \sin 2x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{1}{4} \right] \\
& \Leftrightarrow y=\dfrac{9}{8}-\dfrac{1}{2}{{(\sin 2x-\dfrac{1}{2})}^{2}}\le \dfrac{9}{8} \\
\end{align}$

Dấu bằng xảy ra khi $\sin 2x=\dfrac{1}{2}$

[Ẩn HD]

Câu 13

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x}$ là

[A]. $0$

[B]. $\sqrt{2}$

[C]. $\sqrt[4]{2}$

[D]. $\sqrt{6}$

Hướng dẫn

Đáp án A.

$\begin{align}
& \sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x}\ge 2\sqrt{\sin x\cos x\sqrt{\sin x\cos x}} \\
& \Leftrightarrow y\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{2}\sin 2x\sqrt{\dfrac{1}{2}\sin 2x}}\ge 0 \\
\end{align}$

Dấu bằng xảy ra $\sin 2x=0$

[Ẩn HD]

Câu 14

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{{{\cos }^{2}}x+7{{\sin }^{2}}x}+\sqrt{{{\sin }^{2}}x+7{{\cos }^{2}}x}$ là

[A]. $1+\sqrt{7}$

[B]. $-1+\sqrt{7}$

[C]. $4$

[D]. $14$

Hướng dẫn

Đáp án C.

$\begin{align}
& {{y}^{2}}\le ({{1}^{2}}+{{1}^{2}})({{\cos }^{2}}x+7{{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x+7{{\cos }^{2}}x) \\
& \Leftrightarrow {{y}^{2}}\le 2(1+7)=16=>y\le 4 \\
\end{align}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4.

[Ẩn HD]

Bài cùng chủ đề: