Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11

Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên miền $D\subset R$ .

Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số

$y=f\left( x \right)$ trên D nếu $\left\{ \begin{align}
& f\left( x \right)\le M,\forall x\in D \\
& \exists {{x}_{0}}\in D,f\left( {{x}_{0}} \right)=M \\
\end{align} \right.$
Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$trên D nếu $\left\{ \begin{align}
& f\left( x \right)>m,\forall x\in D \\
& \exists {{x}_{0}}\in D,f\left( {{x}_{0}} \right)=m \\
\end{align} \right.$

Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này:

  1. Tính bị chặn của hàm số lượng giác .
  2. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa $\sin $ và $\cos $ .
  3. Bảng biến thiên của hàm số lượng giác.
  4. Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay.

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT  CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 1

Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \[y=4\cos \sqrt{x}\] là:

[A]. 0 và 4.

[B]. \[-\]4 và 4.

[C]. 0 và 1.

[D]. \[-\]1 và 1.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Tập xác định $D=\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;+\infty )$.Ta có $-1\le \cos \sqrt{x}\le 1$ $\Leftrightarrow -4\le y\le 4$ . Vậy

$\underset{D}{\mathop{\min y}}\,=-4\Leftrightarrow \cos \sqrt{x}=-1$; $\underset{D}{\mathop{\max y}}\,=4\Leftrightarrow \cos \sqrt{x}=1$

[Ẩn HD]

Câu 2

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \[y=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}x}-2\] là:

[A]. \[0\] và \[\sqrt{2}-1\].

[B]. \[-1\] và \[\sqrt{2}-1\].

[C]. \[-2\] và \[-1\]

[D]. \[-1\] và \[1\]

Hướng dẫn

Đáp án C .

Ta có $y=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}x}-2=\sqrt{{{\sin }^{2}}x}-2=|\sin x|-2$






$0\le |\sin x|\le 1\Leftrightarrow -2\le y\le -1$

[Ẩn HD]

Câu 3

Cho hàm số \[y=\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right).\] Giá trị lớn nhất của hàm số là:

[A]. \[-1\].

[B]. \[0\].

[C]. \[1\].

[D]. \[\dfrac{\pi }{4}\] .

Hướng dẫn

Đáp án C.

$-1\le \sin (x+\dfrac{\pi }{4})\le -1$

[Ẩn HD]

Câu 4

Giá trị lớn nhất của hàm số \[y={{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x\] là:

[A]. \[\dfrac{\sqrt{2}}{2}\].

[B]. \[1\].

[C]. \[\sqrt{2}\].

[D]. \[2\] .

Hướng dẫn

Đáp án B.

${{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x=1-\dfrac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x=\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}-\dfrac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x$

$=\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}(1-2{{\sin }^{2}}2x)=\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}\cos 4x$

$\cos 4x\le 1\Leftrightarrow \dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}\cos 4x\le 1$ Dấu bằng xảy ra khi cos4x =1

[Ẩn HD]

Câu 5

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y=\dfrac{\sin x+1}{\cos x+2}\] là:

[A]. \[\dfrac{1}{2}\].

[B]. \[\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\].

[C]. \[\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\].

[D]. \[0\] .

Hướng dẫn

Đáp án D.

Ta có $\left\{ \begin{align}
& \sin x+1\ge 0 \\
& \cos x+2\ge 0 \\
\end{align} \right.\Rightarrow y\ge 0\Rightarrow \min y=0$ khi sin x = -1

[Ẩn HD]

Câu 6

Giá trị lớn nhất của hàm số là:\[y=\dfrac{\cos x+2\sin x+3}{2\operatorname{cosx}-sinx+4}\]

[A]. \[0\].

[B]. \[3-2\sqrt{3}.\].

[C]. \[2-2\sqrt{2}.\].

[D]. \[-1.\] .

Hướng dẫn

Đáp án C.

$2\cos x-\sin x+4\ge 0;$

$y=\dfrac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}$

$\begin{align}
& \Leftrightarrow 2y\cos x-y\sin x+4y=\cos x+2\sin x+3 \\
& \Leftrightarrow (2y-1)\cos x-(y+2)\sin x+4y-3=0 \\
\end{align}$

${{(2y-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}\ge {{(4y-3)}^{2}}\Leftrightarrow 5{{y}^{2}}+5\ge 16{{y}^{2}}-24y+9$

$\Leftrightarrow 11{{y}^{2}}-24y+4\le 0\Leftrightarrow \dfrac{2}{11}\le y<2$

Vậy GTLN của hàm số đã cho là 2.

[Ẩn HD]

Câu 7

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)=3-\dfrac{1}{5}{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x$ là

[A]. $\dfrac{59}{20}$

[B]. $\dfrac{14}{5}$

[C]. $3$

[D]. $\dfrac{29}{10}$

Hướng dẫn

Đáp án A.

$\begin{align}
& f(x)=3-\dfrac{1}{5}{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x=3-\dfrac{1}{20}{{(2\sin x\cos x)}^{2}} \\
& =3-\dfrac{1}{20}{{\sin }^{2}}x\le 3-\dfrac{1}{20}=\dfrac{59}{20} \\
\end{align}$

Vậy GTNN của hàm số là $\dfrac{59}{20}$

[Ẩn HD]

Câu 8

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=4\sin x+2\cos x$ là

[A]. $2\sqrt{5}$

[B]. $-2\sqrt{5}$

[C]. $0$

[D]. $20$

Hướng dẫn

Đáp án B.

${{4}^{2}}+{{2}^{2}}\ge {{y}^{2}}\Leftrightarrow -2\sqrt{5}\le y\le 2\sqrt{5}$

[Ẩn HD]

Câu 9

Hàm số $y=4\sin x-4{{\cos }^{2}}x$ đạt giá trị nhỏ nhất là

[A]. $-1$

[B]. $-4$

[C]. $\dfrac{-5}{4}$

[D]. $-5$

Hướng dẫn

Đáp án D.

$y=4[\sin x-(1-{{\sin }^{2}}x)]=4({{\sin }^{2}}x+\sin x+1)=4\left[ {{\left( \sin x+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{5}{4} \right]\ge 5$

Dấu bằng xảy ra khi $\sin x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \min y=-5$

[Ẩn HD]

Câu 10

Hàm số \[y=4{{\cot }^{2}}2x-\dfrac{\sqrt{3}\left( 1-{{\tan }^{2}}x \right)}{\tan x}\] đạt giá trị nhỏ nhất là

[A]. $0$

[B]. $3-2\sqrt{3}$

[C]. $2-2\sqrt{2}$

[D]. $-1$

Hướng dẫn

Đáp án D.

$\begin{align}
& \cot 2x=\dfrac{1-{{\tan }^{2}}x}{2\tan x}\Rightarrow y=3{{\cot }^{2}}2x-\dfrac{2\sqrt{3}(1-{{\tan }^{2}}x)}{2\tan x}=3{{\cot }^{2}}2x-2\sqrt{3}\cot 2x \\
& ={{(\sqrt{3}{{\cot }^{2}}2x-1)}^{2}}-1\ge -1 \\
\end{align}$

Vậy $\min y=-1\Leftrightarrow \cot 2x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

[Ẩn HD]

Câu 11

Hàm số \[y=2\cos x+\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)\] đạt giá trị lớn nhất là

[A]. $5-2\sqrt{2}$

[B]. $5+2\sqrt{2}$

[C]. $\sqrt{5+2\sqrt{2}}$

[D]. $\sqrt{5-2\sqrt{2}}$

Hướng dẫn

Đáp án C.

$\begin{align}
& y=2\cos x+\sin (x+\dfrac{\pi }{4})\Leftrightarrow 2\cos x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2}\sin (x+\dfrac{\pi }{4}) \\
& \Leftrightarrow 2\cos x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\sin x+\cos x)\Leftrightarrow y=\left( 2+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)\cos x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x \\
\end{align}$

${{y}^{2}}\le {{\left( 2+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}\le 5+2\sqrt{2}$

$-\sqrt{5+2\sqrt{2}}\le y\le \sqrt{5+2\sqrt{2}}$ => Giá trị lớn nhát của hàm số là$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$ .

[Ẩn HD]

Câu 12

Tổng của giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+\sin x\cos x$ là

[A]. $\dfrac{9}{8}$

[B]. $\dfrac{5}{4}$

[C]. $1$

[D]. $\dfrac{4}{3}$

Hướng dẫn

Đáp án A.

$y={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+\sin x\cos x\Leftrightarrow y=1-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x+\sin x\cos x$

$\begin{align}
& \Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x+\dfrac{1}{2}\sin 2x\Leftrightarrow y=1-\dfrac{1}{2}\left[ {{\left( \sin 2x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{1}{4} \right] \\
& \Leftrightarrow y=\dfrac{9}{8}-\dfrac{1}{2}{{(\sin 2x-\dfrac{1}{2})}^{2}}\le \dfrac{9}{8} \\
\end{align}$

Dấu bằng xảy ra khi $\sin 2x=\dfrac{1}{2}$

[Ẩn HD]

Câu 13

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x}$ là

[A]. $0$

[B]. $\sqrt{2}$

[C]. $\sqrt[4]{2}$

[D]. $\sqrt{6}$

Hướng dẫn

Đáp án A.

$\begin{align}
& \sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x}\ge 2\sqrt{\sin x\cos x\sqrt{\sin x\cos x}} \\
& \Leftrightarrow y\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{2}\sin 2x\sqrt{\dfrac{1}{2}\sin 2x}}\ge 0 \\
\end{align}$

Dấu bằng xảy ra $\sin 2x=0$

[Ẩn HD]

Câu 14

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{{{\cos }^{2}}x+7{{\sin }^{2}}x}+\sqrt{{{\sin }^{2}}x+7{{\cos }^{2}}x}$ là

[A]. $1+\sqrt{7}$

[B]. $-1+\sqrt{7}$

[C]. $4$

[D]. $14$

Hướng dẫn

Đáp án C.

$\begin{align}
& {{y}^{2}}\le ({{1}^{2}}+{{1}^{2}})({{\cos }^{2}}x+7{{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x+7{{\cos }^{2}}x) \\
& \Leftrightarrow {{y}^{2}}\le 2(1+7)=16=>y\le 4 \\
\end{align}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4.

[Ẩn HD]