in

Tính đơn điệu của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11

Tính đơn điệu của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11

Phương pháp chung:

Ở phần lý thuyết, với các hàm số lượng giác cơ bản, ta đã biết rằng:

  1. Hàm số $y=\sin x:$

* Đồng biến trên các khoảng $\left( -\dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\,\,\dfrac{\pi }{2}+k2\pi  \right),\,k\in \mathbb{Z}.$

* Nghịch biến trên các khoảng $\left( \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\,\,\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi  \right),\,k\in \mathbb{Z}.$

  1. Hàm số $y=\cos x:$

* Đồng biến trên các khoảng $\left( -\pi +k2\pi ;\,\,k2\pi  \right),\,k\in \mathbb{Z}.$

* Nghịch biến trên các khoảng $\left( k2\pi ;\,\,\pi +k2\pi  \right),\,k\in \mathbb{Z}.$

  1. Hàm số $y=\tan x$ đồng biến trên các khoảng $\left( -\dfrac{\pi }{2}+k\pi ;\,\,\dfrac{\pi }{2}+k\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}.$
  2. Hàm số $y=\cot x$ nghịch biến trên các khoảng $\left( k\pi ;\,\,\pi +k\pi \right),\,k\in \mathbb{Z}.$

Với các hàm số lượng giác phức tạp, để xét tính đơn điệu của nó ta sử dụng định nghĩa.

Câu 1.

Trong khoảng \[\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\], hàm số \[y=\sin x-\cos x\]là hàm số:

[A]. Đồng biến.

[B]. Nghịch biến.

[C]. Không đổi.

[D]. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Cách 1 : Ta thấy trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ hàm $f(x)=\sin x$ đồng biến và hàm $g(x)=-\cos x$đồng biến , suy ra trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ hàm số $y=\sin x-\cos x$ đồng biến.

Cách 2 : Sử dụng máy tính . Dùng TABLE ta xác định được hàm số $y=\sin x-\cos x$tăng trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$

[Ẩn HD]

Câu 2.

Hàm số \[y=\sin 2x\]nghịch biến trên các khoảng nào sau đây \[\left( k\in Z \right)\]?

[A]. \[\left( k2\pi ;\pi +k2\pi  \right)\].

[B]. \[\left( \dfrac{\pi }{4}+k\pi ;\dfrac{3\pi }{4}+k\pi  \right)\].

[C]. \[\left( \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi  \right)\].

[D]. \[\left( -\dfrac{\pi }{4}+k\pi ;\dfrac{\pi }{4}+k\pi  \right)\].

Hướng dẫn






Đáp án C .

Ta thấy hàm số $y=\sin 2x$ nghịch biến trên $\left( \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi  \right),k\in \mathbb{Z}$, suy ra hàm số $y=\sin 2x$nghịch biến khi $\dfrac{\pi }{2}+k2\pi <2x<\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{4}+k\pi <x<\dfrac{3\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy hàm số $y=\sin 2x$ nghịch biến trên mỗi khoảng  $\left( \dfrac{\pi }{4}+k\pi ;\dfrac{3\pi }{4}+k\pi  \right),k\in \mathbb{Z}$

[Ẩn HD]

Câu 3.

Hàm số \[y=\cos 2x\] nghịch biến trên khoảng \[\left( k\in Z \right)\]?

[A]. \[\left( k\pi ;\dfrac{\pi }{2}+k\pi  \right)\].

[B]. \[\left( \dfrac{\pi }{2}+k\pi ;\pi +k\pi  \right)\].

[C]. \[\left( -\dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{\pi }{2}+k2\pi  \right)\].

[D]. \[\left( \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi  \right)\].

Hướng dẫn

Đáp án A.

Hàm số  \[y=\cos 2x\]  nghịch biến khi $k2\pi <2x<\pi +k2\pi \Leftrightarrow k\pi <x<\dfrac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

[Ẩn HD]

Câu 4.

Xét các mệnh đề sau:

(I):  \[\forall x\in \left( \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right)\]:Hàm số \[y=\dfrac{1}{\sin x}\] giảm.

(II): \[\forall x\in \left( \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right)\]:Hàm số \[y=\dfrac{1}{\cos x}\] giảm.

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:

[A]. Chỉ (I) đúng .

[B]. Chỉ (II) đúng .

[C]. Cả hai đúng.

[D]. Cả hai sai.

Hướng dẫn

Đáp án B.

$\forall x\in \left( \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right)$ : Hàm $y=\sin x$ giảm và $\sin x<0$, suy ra $y=\dfrac{1}{\sin x}$ tăng:Câu (I) sai

$\forall x\in \left( \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right)$ : Hàm $y=\cos x$ tăng và $\cos x<0$, suy ra hàm$y=\dfrac{1}{\cos x}$ giảm. Câu (II) đúng.

[Ẩn HD]

Câu 5.

Cho hàm số \[y=4\sin \left( x+\dfrac{\pi }{6} \right)\cos \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)-\sin 2x\]. Kết luận nào sau đây là đúng về sự biến thiên của   hàm số đã cho?

[A]. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \[\left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)\] và \[\left( \dfrac{3\pi }{4};\pi  \right)\].

[B]. Hàm số đã cho đồng biến trên \[\left( 0;\pi  \right)\].

[C]. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \[\left( 0;\dfrac{3\pi }{4} \right)\] .

[D]. Hàm số đã cho đồng biến trên  khoảng \[\left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)\] và nghịch biến trên khoảng\[\left( \dfrac{\pi }{4};\pi  \right)\].

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta có $y=4\sin (x+\dfrac{\pi }{6})\cos (x-\dfrac{\pi }{6})-\sin 2x=2(\sin 2x+\sin \dfrac{\pi }{3})-\sin 2x=\sin 2x+\sqrt{3}$

. Xét sự biến thiên của hám số $y=\sin 2x+\sqrt{3}$ , ta sử dụng TABLE để xét các mệnh đề .

Ta thấy với [A]. Trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)$  thì giá trị của hàm số luôn tăng.

Tương tự trên $\left( \dfrac{3\pi }{4};\pi  \right)$ thì giá trị của hàm số cũng luôn tăng.

[Ẩn HD]

Câu 6.

Với \[k\in Z\], kết luận nào sau đây về hàm số \[y=\tan 2x\] là sai?

[A]. Hàm số \[y=\tan 2x\]tuần hoàn với chu kỳ \[T=\dfrac{\pi }{2}\].

[B]. Hàm số \[y=\tan 2x\]luôn dống biến trên mỗi khoảng \[\left( -\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{k\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{k\pi }{2} \right)\].

[C]. Hàm số \[y=\tan 2x\]nhận đường thẳng \[x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2}\]là một đường tiệm cận.

[D]. Hàm số \[y=\tan 2x\] là hàm số lẻ.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Ta thấy hàm số $y=\tan x$ luôn đồng biến trên mỗi khoảng \[\left( \dfrac{-\pi }{2}+k\pi ;\dfrac{\pi }{2}+k\pi  \right)\], suy ra hàm số $y=\tan 2x$ luôn đồng biến tren mỗi khoảng \[\dfrac{-\pi }{2}+k\pi <2x<\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow \dfrac{-\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2}<x<\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2}\]. Vậy B là sai.

[Ẩn HD]

Câu 7.

Để hàm số \[y=\sin x+\cos x\] tăng, ta chọn x thuộc khoảng nào?

[A]. \[\left( -\dfrac{3\pi }{4}+k2\pi ;\dfrac{\pi }{4}+k2\pi  \right)\] .

[B]. \[\left( -\dfrac{3\pi }{4}+k\pi ;\dfrac{\pi }{4}+k\pi  \right)\] .

[C]. \[\left( -\dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{\pi }{2}+k2\pi  \right)\] .

[D]. \[\left( \pi +k2\pi ;2\pi +k2\pi  \right)\] .

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta có $y=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)$. Để hàm số $y=\sin x+\cos x$ tăng thì

$\dfrac{-\pi }{2}+k2\pi <x+\dfrac{\pi }{4}<\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{-3\pi }{4}+k2\pi <x<\dfrac{\pi }{4}+k2\pi $

[Ẩn HD]

Câu 8.

Xét hai mệnh đề sau:

(I):  \[\forall x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)\]:Hàm số \[y={{\tan }^{2}}x\] tăng.

(II): \[\forall x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)\]:Hàm số \[y={{\sin }^{2}}x\] tăng.

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:

[A]. Chỉ (I) đúng .

[B]. Chỉ (II) đúng .

[C]. Cả hai đúng.

[D]. Cả hai sai.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Bài toán có hai hàm số mà cùng  xét trên một khoảng  nên ta sẽ sử dụng chức năng TABLE  cho hai hàm Ấn MODE7 : Nhập f(x) là hàm ${{\tan }^{2}}x$  nhập g(x) là hàm ${{\sin }^{2}}x$  thì ta có kết quả .

Ta thấy cả hai hàm số đều không là hàm tăng trên cả khoảng \[\left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)\]. Vì khi x chạy từ $\dfrac{-\pi }{2}$ đến 0 thì giá trị của hai hàm số đều giảm . Khi x chạy từ 0 đến $\dfrac{\pi }{2}$ thì giá trị của hai hàm số đều tăng , vậy cả hai mệnh đề đều sai.

[Ẩn HD]

Câu 9.

Hãy chọn câu sai: Trong khoảng \[\left( \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\pi +k2\pi  \right),k\in Z\]thì:

[A]. Hàm số \[y=\sin x\] là hàm số nghịch biến .

[B]. Hàm số \[y=\cos x\] là hàm số nghịch biến.

[C]. Hàm số \[y=\tan x\] là hàm số đồng biến.

[D]. Hàm số \[y=\cot x\] là hàm số đồng biến .

Hướng dẫn

Đáp án D.

D sai, với $\dfrac{2\pi }{3};\dfrac{3\pi }{4}\in \left( \dfrac{\pi }{2};\pi  \right)$, ta có: $\dfrac{2\pi }{3}<\dfrac{3\pi }{4}=>\cot \dfrac{2\pi }{3}=\dfrac{-\sqrt{3}}{3}>-1=\cot \dfrac{3\pi }{4}$

[Ẩn HD]

Câu 10.

Bảng biến thiên của hàm số \[y=f(x)=\cos 2x\]trên đoạn \[\left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2} \right]\] là:

[A]. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11

[B]. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11

[C]. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11

[D]. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11

Hướng dẫn

Đáp án A.

Ta có thể loại phương án B ;C ;D luôn do tại $f(0)=\cos 0=1$ và $f(\pi )=\cos 2\pi =1$. Các bảng biến thiên B ;C ;D đều không thỏa mãn.

[Ẩn HD]

Câu 11.

Cho hàm số \[y=\cos \dfrac{x}{2}\]. Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn\[\left[ -\pi ;\pi  \right]\]là:

[A]. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11

[B]. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11

[C]. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11

[D]. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11

Hướng dẫn

Đáp án C.

Tương tự như câu 10 thì ta có thể loại A và B do $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\cos \left( \dfrac{-\pi }{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

tiếp theo xét giá trị hàm số tại hai đâu mút thì ta loại được D.

[Ẩn HD]

What do you think?

Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published.

Loading…

0

Comments

0 comments

Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11

Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ, trắc nghiệm toán 10