Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức, trắc nghiệm toán 10
Câu 1.
Nếu $a>b$ và $c>d. $ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
[A]. $ac>bd. $
[B]. $a-c>b-d. $
[C]. $a-d>b-c. $
[D]. $-ac>-bd. $
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
a>b \\
c>d
\end{array} \right. \Rightarrow a+c>b+d\Leftrightarrow a-d>b-c. $ Chọn đáp án C.
Câu 2.
Nếu $m>0$, $n<0$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
[A]. $m>-n. $
[B]. \[n+m<0. \]
[C]. \[m>n. \]
[D]. \[m-n<0. \]
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
m>0 \\
0>n
\end{array} \right. \Rightarrow m>n\Leftrightarrow n-m<0. $ Chọn đáp án C.
Câu 3.
Nếu $a,b$ và $c$ là các số bất kì và $a>b$ thì bất đẳng nào sau đây đúng?
[A]. $ac>bc. $
[B]. ${{a}^{2}}<{{b}^{2}}. $
[C]. $a+c>b+c. $
[D]. $c-a>c-b. $
$a>b\Leftrightarrow a+c>b+c,\forall c. $ Chọn đáp án C.
Câu 4.
Nếu $a>b$ và $c>d$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
[A]. $\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{d}. $
[B]. $a-c>b-d. $
[C]. $ac>bd. $
[D]. $a+c>b+d. $
$\left\{ \begin{array}{l}
a>b \\
c>d
\end{array} \right. \Rightarrow a+c>b+d. $ Chọn đáp án D.
Câu 5.
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a?
[A]. $6a>3a. $
[B]. $3a>6a. $
[C]. $6-3a>3-6a. $
[D]. $6+a>3+a. $
Ta có: \[6>3\Rightarrow 6+a>3+a,\forall a. \] Chọn đáp án D.
Câu 6.
Nếu $a,b,c$ là các số bất kì và $a<b$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
[A]. $3a+2c<3b+2c. $
[B]. ${{a}^{2}}<{{b}^{2}}. $
[C]. $ac>bc. $
[D]. $ac<bc. $
$a<b\Leftrightarrow 3a<3b\Leftrightarrow 3a+2c<3b+2c. $ Chọn đáp án A.
Câu 7.
Nếu $a>b>0$, $c>d>0$ thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng?
[A]. $ac>bc. $
[B]. $a-c>b-d. $
[C]. ${{a}^{2}}>{{b}^{2}}. $
[D]. $ac>bd. $
Chọn: $\left\{ \begin{array}{l}
a=10 \\
b=8 \\
c=6 \\
d=1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a-c=4 \\
b-d=7
\end{array} \right. \Rightarrow a-c<b-d. $ Chọn đáp án B.
Câu 8.
Nếu $a>b>0$, $c>d>0. $ thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng?
[A]. $a+c>b+d. $
[B]. $ac>bd. $
[C]. $\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{d}. $
[D]. $\dfrac{a}{b}>\dfrac{d}{c}. $
$\left\{ \begin{array}{l}
a=10 \\
b=8 \\
c=6 \\
d=1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{a}{c}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3} \\
\dfrac{b}{d}=8
\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{a}{c}<\dfrac{b}{d}. $
Câu 9.
Nếu $a+2c>b+2c$ thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
[A]. $-3a>-3b. $
[B]. ${{a}^{2}}>{{b}^{2}}. $
[C]. $2a>2b. $
[D]. $\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}. $
$a+2c>b+2c\Leftrightarrow a>b\Leftrightarrow 2a>2b. $ Chọn đáp án C.
Câu 10.
Nếu $2a>2b$ và $-3b<-3c$ thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
[A]. $a<c$
[B]. $a>c$
[C]. $-3a>-3c$
[D]. ${{a}^{2}}>{{c}^{2}}$
$\left\{ \begin{array}{l}
2a>2b \\
-3b<-3c
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a>b \\
b>c
\end{array} \right. \Rightarrow a>c. $ Chọn đáp án B.
Câu 11.
Một tam giác có độ dài các cạnh là $1,\,\,2,\,\,x$ trong đó $x$ là số nguyên. Khi đó, $x$ bằng
[A]. $0. $
[B]. $1. $
[C]. $2. $
[D]. $4. $
Trong tam giác ta luôn có: Tổng hai cạnh bất kì luôn lớn hơn cạnh thứ $3. $ Hiệu hai cạnh bất kì luôn nhỏ hơn cạnh thứ $3. $
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| 2-1 \right|<x \\
x<2+1
\end{array} \right. \Leftrightarrow 1<x<3. $ Vì $x$ nguyên $\Rightarrow x=2. $ Chọn đáp án C.
Câu 12.
Với số thực $a$ bất kì, biểu thức nào sau đây có thể nhận giá trị âm?
[A]. ${{a}^{2}}+2a+1$
[B]. ${{a}^{2}}+a+1$
[C]. ${{a}^{2}}-2a+1$
[D]. ${{a}^{2}}+2a-1$
Cho $a=-1\Rightarrow {{a}^{2}}+2a-1=-2<0. $ Chọn đáp án D.
Câu 13.
Cho hai số thực $a,b$ sao cho $a>b$. Bất đẳng thức nào sau đây không đúng?
[A]. ${{a}^{4}}>{{b}^{4}}$
[B]. $-2a+1<-2b+1$.
[C]. $b-a<0$
[D]. $a-2>b-2$
Cho $\left\{ \begin{array}{l}
a=1 \\
b=-2
\end{array} \right. \Rightarrow a>b$ nhưng ${{a}^{4}}=1<{{b}^{4}}=16. $ Chọn đáp án A.
Câu 14.
Nếu $0<a<1$ thì bất đẳng thức nào sau đây đúng ?
[A]. $\dfrac{1}{a}>\sqrt{a}$
[B]. $a>\dfrac{1}{a}$
[C]. $a>\sqrt{a}$
[D]. ${{a}^{3}}>{{a}^{2}}$
Cho $a=\dfrac{1}{2}\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{a}=2\Rightarrow $ B sai.
Cho $a=\dfrac{1}{4}\Rightarrow a=\dfrac{1}{4}<\sqrt{a}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow $ C sai.
Cho $a=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{a}^{3}}=\dfrac{1}{8}<{{a}^{2}}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow $ D sai. Chọn đáp án A.
Câu 15.
Cho $a,b,c,d$ là các số thực trong đó$a,c\ne 0$. Nghiệm của phương trình $ax+b=0$ nhỏ hơn nghiệm của phương trình $cx+d=0$ khi và chỉ khi
[A]. $\dfrac{b}{a}<\dfrac{c}{d}$
[B]. $\dfrac{b}{a}>\dfrac{c}{d}$
[C]. $\dfrac{b}{d}>\dfrac{a}{c}$
[D]. $\dfrac{b}{a}>\dfrac{d}{c}$
$ax+b=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{a}. $
$cx+d=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{d}{c}$
$\Rightarrow -\dfrac{b}{a}<-\dfrac{d}{c}\Leftrightarrow \dfrac{b}{a}>\dfrac{d}{c}. $ Chọn đáp án D.
Câu 16.
Cho $a,b>0$ và $ab>a+b$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
[A]. $a+b=4. $
[B]. $a+b>4. $
[C]. $a+b<4. $
[D]. $a+b\le 4. $
Ta có: $a+b\ge 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le {{\left( \dfrac{a+b}{2} \right)}^{2}}$
Mà $ab>a+b\Rightarrow {{\left( \dfrac{a+b}{2} \right)}^{2}}>a+b\Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}>4\left( a+b \right)$ $\Leftrightarrow a+b>4. $ Chọn đáp án B.
Câu 17.
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực $x$?
[A]. $\left| x \right|>x$.
[B]. $\left| x \right|>-x$.
[C]. ${{\left| x \right|}^{2}}>{{x}^{2}}$.
[D]. $\left| x \right|\ge x$.
Chọn đáp án D.
Câu 18.
Hai số $a,b$ thoả bất đẳng thức $\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}\le {{\left( \dfrac{a+b}{2} \right)}^{2}}$ thì
[A]. $a<b$.
[B]. $a>b$.
[C]. $a=b$.
[D]. $a\ne b$.
$\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}\le {{\left( \dfrac{a+b}{2} \right)}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}\le \dfrac{{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}}{4}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}}{4}\le 0\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( a-b \right)}^{2}}}{4}\le 0\Leftrightarrow a=b. $ Chọn đáp án C.
Câu 19.
Cho \[a\] là số thực bất kì, $P=\dfrac{2a}{{{a}^{2}}+1}$. Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi $a?$
[A]. $P>-1. $
[B]. $P>1. $
[C]. $P<-1. $
[D]. $P\le 1. $
Ta có : ${{a}^{2}}+1\ge 2\sqrt{{{a}^{2}}}=2\left| a \right|$ $\Rightarrow P=\dfrac{2a}{{{a}^{2}}+1}\le \dfrac{2a}{2\left| a \right|}\le \dfrac{a}{\left| a \right|}=1. $ Chọn đáp án D.
Câu 20.
Cho $x,y$ là hai số thực bất kỳ thỏa và $xy=2$. Giá trị nhỏ nhất của $A={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$
[A]. $2. $
[B]. $1. $
[C]. $0. $
[D]. $4. $
$A={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy=2. 2=4. $Chọn đáp án D.
Câu 21.
Nếu $a,~b$ là những số thực và $\left| a \right|\le \left| b \right|$ thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
[A]. ${{a}^{2}}\le {{b}^{2}}. $
[B]. $\dfrac{1}{\left| a \right|}\le \dfrac{1}{\left| b \right|}$ với $ab\ne 0. $
[C]. $-b\le a\le b. $
[D]. $a\le b. $
Chọn đáp án A.
Câu 22.
Cho hai số $x,y$ dương thoả
$x+y=12$, bất đẳng thức nào sau đây đúng?
[A]. \[\sqrt{xy}\le 6. \]
[B]. \[xy<{{\left( \dfrac{x+y}{2} \right)}^{2}}=36. \]
[C]. $2xy<{{x}^{2}}+{{y}^{2}}. $
[D]. \[\sqrt{xy}\ge 6. \]
Chọn đáp án C.
Câu 23.
Với hai số $x,y$ dương thoả $xy=36$, bất đẳng thức nào sau đây đúng?
[A]. $x+y\ge 2\sqrt{xy}=12. $
[B]. $x+y\ge 2xy=72. $
[C]. $4xy\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}. $
[D]. $2xy<{{x}^{2}}+{{y}^{2}}. $
Chọn đáp án A.
Câu 24.
Cho $a\ge 1,b\ge 1$. Bất đẳng thức nào sau đây không đúng ?
[A]. $a\ge 2\sqrt{a-1}. $
[B]. $ab\ge 2a\sqrt{b-1}. $
[C]. $ab<2b\sqrt{a-1}. $
[D]. $2\sqrt{b-1}\le b. $
$a=a-1+1\ge 2\sqrt{a-1},\forall a\ge 1. $
$ab=a(b-1)+a\ge 2\sqrt{a(b-1). a}=2a\sqrt{b-1},\forall a,b\ge 1. $
$b=b-1+1\ge 2\sqrt{b-1},\forall b\ge 1. $ Chọn đáp án C.
Câu 25.
Cho các bất đẳng thức:
(I)$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge 2$ (II) $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3$
(III) $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{9}{a+b+c}$ (với a, b, c > 0). Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng?
[A]. chỉ I đúng.
[B]. chỉ II đúng.
[C]. chỉ III đúng.
[D]. I, II, III đều đúng.
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge 2\sqrt{\dfrac{a}{b}. \dfrac{b}{a}}=2$
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}. \dfrac{b}{c}. \dfrac{c}{a}}=3. $
$\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right)\left( a+b+c \right)\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}. \dfrac{1}{b}\dfrac{1}{c}}. 3\sqrt[3]{abc}=9. $Chọn đáp án D.