Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn, trắc nghiệm toán 10

Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn, trắc nghiệm toán 10

Câu 1.

Tìm $a$ để hệ phương trình \[\left\{ \begin{matrix} ax+y={{a}^{2}} \\ x+ay=1 \\ \end{matrix} \right. \] vô nghiệm:

[A]. \[a=1. \]
[B]. $a=1$ hoặc $a=-1. $
[C]. $a=-1. $
[D]. Không có $a. $

Hướng dẫn

$D=\left| \begin{array}{l} a\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \\ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,a \end{array} \right|={{a}^{2}}-1;$ ${{D}_{x}}=\left| \begin{array}{l} {{a}^{2}}\,\,\,\,\,\,1 \\ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,a \end{array} \right|={{a}^{3}}-1;$ ${{D}_{y}}=\left| \begin{array}{l} a\,\,\,\,\,\,\,{{a}^{2}} \\ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \end{array} \right|=a-{{a}^{2}}. $ Hệ vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} D=0 \\ \left[ \begin{array}{l} {{D}_{x}}\ne 0 \\ {{D}_{y}}\ne 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{a}^{2}}-1=0 \\ \left[ \begin{array}{l} {{a}^{3}}-1\ne 0 \\ a-{{a}^{2}}\ne 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow a=-1. $ Chọn đáp án C.

[Ẩn HD]

Câu 2.

Nghiệm của hệ phương trình\[\left\{ \begin{matrix} (\sqrt{2}+1)x+y=\sqrt{2}-1 \\ 2x-(\sqrt{2}-1)y=2\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right. \] là:

[A]. \[\left( 1;-\dfrac{1}{2} \right). \]
[B]. \[\left( -1;\dfrac{1}{2} \right). \]
[C]. \[\left( 1;2 \right). \]
[D]. \[\left( 1;-2 \right). \]

Hướng dẫn

Sử dụng máy tính. Chọn đáp án D.

[Ẩn HD]

Câu 3.

Nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt 2 x + y = 1\\ 3x + \sqrt 2 y = 2 \end{array} \right.$ là:

[A]. $\left( \sqrt{2}-2;2\sqrt{2}-3 \right). $
[B]. $\left( \sqrt{2}+2;2\sqrt{2}-3 \right). $
[C]. $\left( 2-\sqrt{2};3-2\sqrt{2} \right). $
[D]. $\left( 2-\sqrt{2};2\sqrt{2}-3 \right). $

Hướng dẫn

Sử dụng máy tính. Chọn đáp án C.

[Ẩn HD]

Câu 4.

Tập hợp các nghiệm $\left( x,y \right)$ của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} 2x-3y=4 \\ -6x+9y=-12 \end{array} \right. $ là tập hợp nào sau đây.

[A]. Một đường thẳng.
[B]. Toàn bộ mặt phẳng Oxy.
[C]. Nửa mặt phẳng.
[D]. \[\varnothing . \]

Hướng dẫn

$\left\{ \begin{array}{l} 2x-3y=4 \\ -6x+9y=-12 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x-3y=4 \\ 2x-3y=4 \end{array} \right. \Leftrightarrow 2x-3y=4. $ Chọn đáp án A.

[Ẩn HD]

Câu 5.

Một đoàn xe tải chở $290$ tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện. Đoàn xe có $57$ chiếc gồm ba loại, xe chở $3$ tấn, xe chở $5$ tấn và xe chở $7,5$ tấn. Nếu dùng tất cả xe $7,5$ tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe $5$ tấn chở ba chuyến và xe $3$ tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại ?

[A]. $18$ xe chở $3$ tấn, $19$ xe chở $5$ tấn và $20$ xe chở $7,5$ tấn.
[B]. $20$ xe chở $3$ tấn, $19$ xe chở $5$ tấn và $18$ xe chở $7,5$ tấn.
[C]. $19$ xe chở $3$ tấn, $20$ xe chở $5$ tấn và $18$ xe chở $7,5$ tấn.
[D]. $20$ xe chở $3$ tấn, $18$ xe chở $5$ tấn và $19$ xe chở $7,5$ tấn.

Hướng dẫn

Gọi $x$ là số xe tải chở $3$ tấn, $y$ là số xe tải chở $5$ tấn và $z$ là số xe tải chở $7,5$ tấn. Điều kiện: $x,\text{ }y,\text{ }z$ nguyên dương. Theo giả thiết của bài toán ta có $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=57 \\ 3x+5y+7,5z=290 \\ 22,5z=6x+15y \end{array} \right.. $ Giải hệ ta được $x=20,\text{ }y=19,\text{ }z=18. $ Chọn đáp án B.






[Ẩn HD]

Câu 6.

Biết rằng hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l} 2x-y=5 \\ 4x-2y=m-1 \end{array} \right. \] có nghiệm. Ta suy ra :

[A]. $m\ne -1. $
[B]. $m\ne 12. $
[C]. $m=11. $
[D]. $m=-8. $

Hướng dẫn

$D=\left| \begin{array}{l} 2\,\,\,\,\,-1 \\ 4\,\,\,\,\,-2 \end{array} \right|=0$ $\Rightarrow $ Hệ có nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{D}_{x}}=\left| \begin{array}{l} 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-1 \\ m-1\,\,\,\,\,-2 \end{array} \right|=-10+m-1=m-11=0 \\ {{D}_{y}}=\left| \begin{array}{l} 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5 \\ 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m-1 \end{array} \right|=2m-2-20=2m-22=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m=11. $ Chọn đáp án C.

[Ẩn HD]

Câu 7.

Cho phương trình 2 ẩn $x,y: ax+by=c$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0. $ Với điều kiện nào của $a,b,c$ thì tập hợp các nghiệm $\left( x,y \right)$ của phương trình trên là đường thẳng song song với $Oy?$

[A]. $a=0,c\ne 0. $
[B]. $b=0,c\ne 0. $
[C]. $a=0. $
[D]. $b=0. $

Hướng dẫn

Trục $Oy$ có phương trình: $x=0. $ Đường thẳng song song với trục $Oy$ có dạng: $x=m. $ Chọn đáp án D.

[Ẩn HD]

Câu 8.

Tìm tham số $m$ để hệ phương trình sau vô nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l} mx+y+m=0 \\ x+my+m=0 \end{array} \right. $

[A]. $m=-1. $
[B]. $m=1. $
[C]. $m=0. $
[D]. $m\ne 1. $

Hướng dẫn

$\left\{ \begin{array}{l} mx+y+m=0 \\ x+my+m=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} mx+y=-m \\ x+my=-m \end{array} \right. $ $D=\left| \begin{array}{l} m\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \\ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m \end{array} \right|={{m}^{2}}-1;$ ${{D}_{x}}=\left| \begin{array}{l} -m\,\,\,\,\,\,\,1 \\ m\,\,\,\,\,\,\,\,\,-m \end{array} \right|={{m}^{2}}-m;$ ${{D}_{y}}=\left| \begin{array}{l} m\,\,\,\,\,\,\,\,-m \\ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-m \end{array} \right|=-{{m}^{2}}+m$ Hệ vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} D=0 \\ \left[ \begin{array}{l} {{D}_{x}}\ne 0 \\ {{D}_{y}}\ne 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{m}^{2}}-1=0 \\ \left[ \begin{array}{l} {{m}^{2}}-m\ne 0 \\ -{{m}^{2}}+m\ne 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow m=-1. $ Chọn đáp án A.

[Ẩn HD]

Câu 9.

Cặp số $\left( 2;1 \right)$ là nghiệm của phương trình:

[A]. \[3x+2y=7. \]
[B]. \[2x+3y=7. \]
[C]. \[3x+2y=4. \]
[D]. \[2x+3y=4. \]

Hướng dẫn

Chọn đáp án B

[Ẩn HD]

Câu 10.

Hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} mx+y=m-3 \\ 4x+my=-2 \end{array} \right. $có vô số nghiệm khi:

[A]. $m=2$ hoặc $m=-2. $
[B]. $m=-2. $
[C]. $m=2. $
[D]. $m\ne 2$ hoặc $m\ne -2. $

Hướng dẫn

$D=\left| \begin{array}{l} m\,\,\,\,\,\,\,1 \\ 4\,\,\,\,\,\,\,\,m \end{array} \right|={{m}^{2}}-4$ ${{D}_{x}}=\left| \begin{array}{l} m-3\,\,\,\,\,\,\,\,1 \\ -2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m \end{array} \right|={{m}^{2}}-3m+2$ ${{D}_{y}}=\left| \begin{array}{l} m\,\,\,\,\,\,\,m-3 \\ 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-2 \end{array} \right|=-2m-4m+12=-6m+12$ Hệ có vô số nghiệm $\Leftrightarrow D={{D}_{x}}={{D}_{y}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{m}^{2}}-4=0 \\ {{m}^{2}}-3m+2=0 \\ -6m+12=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m=2. $ Chọn đáp án C.

[Ẩn HD]

Câu 11.

Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=-7 \\ \dfrac{5}{x}-\dfrac{3}{y}=1 \end{array} \right. $có nghiệm là:

[A]. \[\left( -1;-2 \right). \]
[B]. \[\left( 1;2 \right). \]
[C]. \[\left( -1;-\dfrac{1}{2} \right). \]
[D]. \[\left( -1;2 \right). \]

Hướng dẫn

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{x}=a \\ \dfrac{1}{y}=b \end{array} \right. $ Khi đó, hệ trở thành: $\left\{ \begin{array}{l} 3a+2b=-7 \\ 5a-3b=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=-1 \\ b=-2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{x}=-1 \\ \dfrac{1}{y}=-2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-1 \\ y=-2 \end{array} \right. $ Chọn đáp án C.

[Ẩn HD]

Câu 12.

Có ba lớp học sinh $10A,\text{ }10B,\text{ }10C$ gồm $128$ em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp $10A$ trồng được $3$ cây bạch đàn và $4$ cây bàng. Mỗi em lớp $10B$ trồng được $2$ cây bạch đàn và $5$ cây bàng. Mỗi em lớp $10C$ trồng được $6$ cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là $476$ cây bạch đàn và $375$ cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ?

[A]. $10A$ có $40$ em, lớp $10B$ có $43$ em, lớp $10C$ có $45$ em.
[B]. $10A$ có $45$ em, lớp $10B$ có $43$ em, lớp $10C$ có $40$ em.
[C]. $10A$ có $45$ em, lớp $10B$ có $40$ em, lớp $10C$ có $43$ em.
[D]. $10A$ có $43$ em, lớp $10B$ có $40$ em, lớp $10C$ có $45$ em.

Hướng dẫn

Gọi số học sinh của lớp $10A,\text{ }10B,\text{ }10C$ lần lượt là $x,\text{ }y,\text{ }z. $ Điều kiện: $x,\text{ }y,\text{ }z$ nguyên dương. Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=128 \\ 3x+2y+6z=476 \\ 4x+5y=375 \end{array} \right.. $ Giải hệ ta được $x=40,y=43,\text{ }z=45. $ Chọn đáp án A.

[Ẩn HD]

Câu 13.

Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y+4=0 \\ 3x+y-1=0 \\ 2mx+5y-m=0 \end{array} \right. $ có duy nhất một nghiệm.

[A]. $m=\dfrac{10}{3}. $
[B]. $m=10. $
[C]. $m=-10. $
[D]. $m=-\dfrac{10}{3}. $

Hướng dẫn

Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra $\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y+4=0 \\ 3x+y-1=0 \end{array} \right. \,\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=-2 \end{array} \right.. $ Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y+4=0 \\ 3x+y-1=0 \\ 2mx+5y-m=0 \end{array} \right. $ có nghiệm duy nhất khi $\left( 1;-2 \right)$ là nghiệm của phương trình $2mx+5y-m=0$ tức là $2m. 1+5. \left( -2 \right)-m=0\Leftrightarrow m=10. $ Chọn đáp án B.

[Ẩn HD]

Câu 14.

Gọi $\left( {{x}_{0}};{{y}_{o}};{{z}_{0}} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l} 3x+y-3z=1 \\ x-y+2z=2 \\ -x+2y+2z=3 \end{array} \right. \]. Tính giá trị của biểu thức $P=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}. $

[A]. $P=1. $
[B]. $P=2. $
[C]. $P=3. $
[D]. $P=14. $

Hướng dẫn

Ta có \[\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3x+y-3z=1 & \left( 1 \right) \\ x-y+2z=2 & \left( 2 \right) \\ -x+2y+2z=3 & \left( 3 \right) \end{array} \right. \]. Phương trình $\left( 2 \right)\Leftrightarrow x=y-2\text{z}+2$. Thay vào $\left( 1 \right)$, ta được $3\left( y-2z+2 \right)+y-3z=1\Leftrightarrow 4y-9z=-5$. $\left( * \right)$ Phương trình $\left( 3 \right)\Leftrightarrow x=2y+2z-3$. Thay vào $\left( 1 \right)$, ta được $3\left( 2y+2z-3 \right)+y-3z=1\Leftrightarrow 7y+3z=10$. $\left( ** \right)$ Từ $\left( * \right)$ và $\left( ** \right)$, ta có \[\left\{ \begin{array}{l} 4y-9z=-5 \\ 7y+3z=10 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=1 \\ z=1 \end{array} \right. \]. Suy ra $x=1$. Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( x;y;z \right)=\left( 1;1;1 \right)\xrightarrow{{}}P={{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}=3. $ Chọn đáp án C.

[Ẩn HD]

Câu 15.

Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm $\left( x,y \right)$: $\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=5 \\ 4x+6y=10 \end{array} \right. $

[A]. $0. $
[B]. $1. $
[C]. $2. $
[D]. Vô số.

Hướng dẫn

$\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=5 \\ 4x+6y=10 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=5 \\ 2x+3y=5 \end{array} \right. \Leftrightarrow 2x+3y=5. $Chọn đáp án D.

[Ẩn HD]

Câu 16.

Nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x+2y=1 \\ y+2z=2 \\ z+2x=3 \end{array} \right. $ là:

[A]. $\left\{ \begin{array}{l}
x=0 \\
y=1 \\
z=1
\end{array} \right.. $
[B]. $\left\{ \begin{array}{l}
x=1 \\
y=1 \\
z=0
\end{array} \right.. $
[C]. $\left\{ \begin{array}{l}
x=1 \\
y=1 \\
z=1
\end{array} \right.. $
[D]. $\left\{ \begin{array}{l}
x=1 \\
y=0 \\
z=1
\end{array} \right.. $

Hướng dẫn

Từ phương trình \[z+2x=3\] suy ra $z=3-2x. $ Thay vào hai phương trình còn lại ta được hệ phương trình, ta được $\left\{ \begin{array}{l} x+2y=1 \\ y+2\left( 3-2x \right)=2 \end{array} \right. \,\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+2y=1 \\ -4x+y=-4 \end{array} \right. \,\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=0 \end{array} \right.. $ Từ đó ta được $z=3-2. 1=1. $ Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( x;y;z \right)=\left( 1;0;1 \right)$. Chọn đáp án D. Cách 2. Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay ta được $\left( x;y;z \right)=\left( 1;0;1 \right)$ là nghiệm của hệ phương trình.

[Ẩn HD]

Câu 17.

Cho phương trình 2 ẩn $x,y: ax+by=c$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0. $ Với điều kiện nào của $a,b,c$ thì tập hợp các nghiệm $\left( x,y \right)$ của phương trình trên là đường thẳng song song với $Ox?$

[A]. $a=0,c\ne 0. $
[B]. $b=0,c\ne 0. $
[C]. $a=0. $
[D]. $b=0. $

Hướng dẫn

Trục $Ox$ có phương trình: $y=0. $ Đường thẳng song song với trục $Oy$ có dạng: $y=m. $ Chọn đáp án C.

[Ẩn HD]

Câu 18.

Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng sau trùng nhau $\left( {{d}_{1}} \right): \left( {{m}^{2}}-1 \right)x-y+2m+5=0$ và $\left( {{d}_{2}} \right): 3x-y+1=0. $

[A]. $m=-2. $
[B]. $m=2. $
[C]. $m=2$ hoặc $m=-2. $
[D]. Kết quả khác.

Hướng dẫn

Cách 1: Số điểm chung của hai đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ bằng số nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \left( {{m}^{2}}-1 \right)x-y+2m+5=0 \\ 3x-y+1=0. \end{array} \right. $ Để hai đường thẳng trùng nhau thì hệ có vô số nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} D=\left| \begin{array}{l} {{m}^{2}}-1\,\,\,\,\,\,\,\,-1 \\ 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-1 \end{array} \right|=-{{m}^{2}}+1+3=-{{m}^{2}}+4=0 \\ {{D}_{x}}=\left| \begin{array}{l} -2m-5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-1 \\ -1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-1 \end{array} \right|=2m+5-1=2m+4=0 \\ {{D}_{y}}=\left| \begin{array}{l} {{m}^{2}}-1\,\,\,\,\,\,\,\,-2m-5 \\ 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-1 \end{array} \right|=-{{m}^{2}}+1+6m+15=-{{m}^{2}}+6m+16=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m=-2. $ $$ Chọn đáp án A. Cách 2: Hai đường thẳng trùng nhau $\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{2}}-1}{3}=\dfrac{-1}{-1}=\dfrac{2m+5}{1}\Leftrightarrow m=-2. $ Chọn đáp án A.

[Ẩn HD]

Câu 19.

Tìm điều kiện của tham số $m$ để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l} 3x-my=1 \\ -mx+3y=m-\text{4} \end{array} \right. $

[A]. $m\ne 3$ hoặc $m\ne -3. $
[B]. $m\ne 3$ và$m\ne -3. $
[C]. $m\ne 3. $
[D]. $m\ne -3. $

Hướng dẫn

\[D=\left| \begin{array}{l} 3\,\,\,\,\,\,-m \\ -m\,\,\,\,\,3 \end{array} \right|=9-{{m}^{2}}. \] Hệ phương trình có đúng một nghiệm $\Leftrightarrow D\ne 0\Leftrightarrow 9-{{m}^{2}}\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 3. $ Chọn đáp án B.

[Ẩn HD]

Câu 20.

Hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \left( m-1\, \right)x-y=2 \\ -2x+my=1 \end{array} \right. $ có nghiệm duy nhất khi:

[A]. $m=1$ hoặc $m=2. $
[B]. $m=1$ hoặc $m=-2. $
[C]. $m\ne 1$ và $m\ne 2. $
[D]. $m\ne 1$ hoặc $m\ne 2. $

Hướng dẫn

$D=\left| \begin{array}{l} m-1\,\,\,\,\,\,\,-1 \\ -2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m \end{array} \right|={{m}^{2}}-m-2. $ Hệ có nghiệm duy nhất khi $D\ne 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-2\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\ne -1 \\ m\ne 2 \end{array} \right.. $ Chọn đáp án C.

[Ẩn HD]