Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, toán 12

Chọn đáp án A
Câu B sai vì hàm số \(y = {a^x}\) với 0 < a < 1 nghịch biến trên khoảng \(( – \infty ; + \infty )\).
Câu C sai vì hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 1\)đồng biến trên khoảng \(( – \infty ; + \infty )\).
Câu D sai vì đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 0\) và \(a \ne 1\) luôn đi qua điểm \(M(a;{a^a})\)hoặc \(M(0;1)\) chứ không phải M(a;1)

Chọn đáp án A
Với \(a > 0;a \ne 1\)thì\({a^x} > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Suy ra tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\,\,\,(a > 0;a \ne 1)\)là \((0; + \infty )\)

Chọn đáp án A
Tập giá trị của hàm số \(y = {a^x}\)là\((0; + \infty )\), tập giá trị của hàm số \(y = {\log _a}x\) là \(\mathbb{R}\).

Chọn đáp án A
Vì \(0 < \sqrt 2 – 1 < 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^x}\) nghịch biến trên khoảng \(( – \infty ; + \infty )\) .

Chọn đáp án A
Vì \(2007 \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên hàm số xác định với mọi $x$ .

Chọn đáp án A
Vì \( – 2 \in {\mathbb{Z}^ – }\) nên hàm số \(y = {(3{{\rm{x}}^2} – 1)^{ – 2}}\) xác định khi \(3{{\rm{x}}^2} – 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) .

Chọn đáp án A
Vì \( – e \notin \mathbb{Z}\) nên hàm số xác định khi ${x^2} – 3{\rm{x}} + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 1\end{array} \right.$ .

Chọn đáp án A
Hàm số \({\log _{0,5}}(x + 1)\) xác định khi \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > – 1\).

Chọn đáp án A
Hàm số \(\log \sqrt {{x^2} + x – 12} \) có nghĩa khi \({x^2} + x – 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x < – 4\end{array} \right.\) .

Chọn đáp án A
Hàm số \({\log _2}\dfrac{{x + 3}}{{2 – x}}\) có nghĩa khi \(\dfrac{{x + 3}}{{2 – x}} > 0 \Leftrightarrow – 3 < x < 2\) .

Chọn đáp án A
Hàm số \(y = \dfrac{1}{{\sqrt {2 – x} }} + \ln (x – 1)\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}2 – x > 0\\x – 1 > 0\end{array} \right. \Rightarrow 1 < x < 2\).

Chọn đáp án A
Hàm số \(y = \dfrac{{{e^x}}}{{{e^x} – 1}}\) xác định khi \({e^x} – 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0\).

Chọn đáp án A
Hàm số \(y = \sqrt { – 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} – 2} + \ln \dfrac{1}{{{x^2} – 1}}\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l} – 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} – 2 \ge 0\\{x^2} – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2} \le x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < – 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow 1 < x \le 2\)

Chọn đáp án A
Hàm số \(y = \ln (\ln (x))\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln {\rm{x}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 1\end{array} \right. \Rightarrow x > 1\) .

Chọn đáp án A
Vì \( – 2 \in {\mathbb{Z}^ – }\) nên hàm số \(y = {({3^x} – 9)^{ – 2}}\) xác định khi \({3^x} – 9 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\) .

Chọn đáp án A
Hàm số \(y = {\log _{x – 1}}x\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x – 1 > 0\\x – 1 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 1\\x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} \right.\) .

Chọn đáp án A
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số dạng\(y = {a^x}\). Ta có \(A(0;1)\) và \(B(2;2)\) thuộc đồ thị hàm số.
Suy ra, \(\left\{ \begin{array}{l}{a^0} = 1\\{a^2} = 2\\a > 0\end{array} \right. \Rightarrow a = \sqrt 2 \) . Hàm số là \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}\) .

Chọn đáp án A
\(y = {(x – 1)^{\dfrac{1}{3}}} \Rightarrow y’ = \dfrac{1}{3}(x – 1)’.{(x – 1)^{\dfrac{1}{3} – 1}} = \dfrac{1}{3}{(x – 1)^{ – \dfrac{2}{3}}} = \dfrac{1}{{3\sqrt[3]{{{{(x – 1)}^2}}}}}\) .

Chọn đáp án A
\(y = {4^{2{\rm{x}}}} \Rightarrow y’ = (2{\rm{x}})'{.4^{2{\rm{x}}}}\ln 4 = {2.4^{2{\rm{x}}}}\ln 4\).

Chọn đáp án A
\(y = {\log _5}x \Rightarrow y’ = \dfrac{1}{{x\ln 5}}\).

Chọn đáp án A
\(y = {\log _{0,5}}{x^2} \Rightarrow y’ = ({x^2})’.\dfrac{1}{{{x^2}\ln 0,5}} = \dfrac{2}{{x\ln 0,5}}\) .

Chọn đáp án A
\(y = \sin x + {\log _3}{x^3} \Rightarrow y’ = \cos {\rm{x}} + \dfrac{{3{{\rm{x}}^2}}}{{{x^3}\ln 3}} = \cos {\rm{x}} + \dfrac{3}{{x\ln 3}}\) .

Chọn đáp án A
\(f(x) = \ln ({x^4} + 1) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{{({x^4} + 1)’}}{{{x^4} + 1}} = \dfrac{{4{{\rm{x}}^3}}}{{{x^4} + 1}} \Rightarrow f'(0) = 0\) .

Chọn đáp án A
\(f(x) = {e^{2017{{\rm{x}}^2}}} \Rightarrow f'(x) = 2.2017{\rm{x}}.{e^{2017{{\rm{x}}^2}}} \Rightarrow f'(0) = 0\) .

Chọn đáp án A
\(f(x) = x.{e^x} \Rightarrow f'(x) = {e^x} + x.{e^x} \Rightarrow f”(x) = {e^x} + {e^x} + x.{e^x} \Rightarrow f”(1) = 3{\rm{e}}\) .

Chọn đáp án A
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\). Điểm \(\left( {\dfrac{1}{2}; – 1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số nên \( – 1 = {\log _a}\dfrac{1}{2} \Rightarrow {a^{ – 1}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow a = 2\) . Hàm số là \(y = {\log _2}x\).

Chọn đáp án A
Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có tập xác định thay đổi tùy theo \(\alpha \).

Chọn đáp án A
Hàm số lôgarit chỉ xác định khi $x > 0$ nên đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung.

Chọn đáp án A
Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung và cả dưới, cả trên trục hoành.

Chọn đáp án A
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\). Điểm \(A(2; – 1)\) thuộc đồ thị hàm số nên \( – 1 = {\log _a}2 \Rightarrow {a^{ – 1}} = 2 \Rightarrow \dfrac{1}{a} = 2 \Rightarrow a = 0,5\) . Hàm số \(y = {\log _{0,5}}x\).

Chọn đáp án A
Nhận thấy đây là đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\). Điểm \(A(2; – 1)\) thuộc đồ thị hàm số nên \( – 1 = {\log _a}2 \Rightarrow {a^{ – 1}} = 2 \Rightarrow \dfrac{1}{a} = 2 \Rightarrow a = 0,5\) . Hàm số \(y = {\log _{0,5}}x\).

Phần 2: Vận dụng thấp
Câu 32. Tìm tập xác định $D$ của hàm số\(y = {\log _3}\dfrac{{10 – x}}{{{x^2} – 3x + 2}}\).
[A]. \(D = ( – \infty ;1) \cup (2;10)\)
[B]. \(D = (1; + \infty )\)
[C]. \(D = ( – \infty ;10)\)
[D]. \(D = (2;10)\)

Chọn đáp án A
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \dfrac{{10 – x}}{{{x^2} – 3x + 2}} > 0 \Leftrightarrow x < 1\)hoặc \(2 < x < 10\)
Tập xác định \(D = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {2;10} \right)\)

Chọn đáp án A
Hàm số xác định \({\log _3}\left( {x – 2} \right) – 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 2 > 0\\x – 2 \ge {2^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 29\)
Tập xác định \(D = \left[ {29; + \infty } \right)\)

Chọn đáp án A
\(y = \left( {{x^2} + 2x} \right){e^{ – x}} \Rightarrow {y^/} = {\left( {{x^2} + 2x} \right)^/}{e^{ – x}} + {\left( {{e^{ – x}}} \right)^/}\left( {{x^2} + 2x} \right)\)\( \Rightarrow {y^/} = \left( {2x + 2} \right){e^{ – x}} – {e^{ – x}}\left( {{x^2} + 2x} \right) = \left( { – {x^2} + 2} \right){e^{ – x}}\)

Chọn đáp án A
Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} – 2mx + 4 > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta ‘ = {m^2} – 4 < 0 \Leftrightarrow – 2 < m < 2\)

Chọn đáp án
[A]. Sử dụng điều kiện xác định của các hàm số.

Chọn đáp án A
Sử dụng lý thuyết phép suy đồ thị.

Chọn đáp án A
\(y = ex + {e^{ – x}} \Rightarrow {y^/} = e – {e^{ – x}}\). Suy ra\({y^/} = 0 \Leftrightarrow e – {e^{ – x}} = 0 \Leftrightarrow x = – 1\)

Chọn đáp án A
Nhận dạng đồ thị:
– Dựa vào đồ thị thì hàm đã cho đồng biến \( \Rightarrow \) loại C và [D].
Đồ thị đã cho qua điểm \(A\left( {2;2} \right)\). Thử với hai đáp án còn lại \( \Rightarrow \) loại [B].

Chọn đáp án A
Trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\), ta có: \({f^/}\left( x \right) = x{e^x}\left( {x + 2} \right)\); \({f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = – 2\) (loại).
Ta có: \(f\left( { – 1} \right) = \dfrac{1}{e};{\rm{ }}f\left( 0 \right) = 0;{\rm{ }}f\left( 1 \right) = e\)
Suy ra: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( x \right) = e\)

Chọn đáp án A
Sử dụng lý thuyết phép suy đồ thị.

Phần 3: Vận dụng cao
Câu 42. Tìm điều kiện xác định của phương trình \({\log ^4}(x – 1) + {\log ^2}{(x – 1)^2} = 25\)?
[A]. \(x > 1\)
[B]. \(x \ne 1\)
[C]. \(x \ge 1\)
[D]. \(x \in \mathbb{R}\)

Chọn đáp án A
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 1 > 0\\x – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\)
Tập xác định \(D = \left( {1; + \infty } \right)\)

Chọn đáp án A
Đặt \(t = \left| x \right|,\) với \(x \in \left[ { – 2;2} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;2} \right]\)
Xét hàm \(f\left( t \right) = {2^t}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\); \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\)
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} y = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = 4\) ; \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} y = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = 1\)
Hoặc với $x \in \left[ { – 2;2} \right] \Rightarrow \left| x \right| \in \left[ {0;2} \right]$ . Từ đây, suy ra: \({2^0} \le {2^{\left| x \right|}} \le {2^2} \Leftrightarrow 1 \le {2^{\left| x \right|}} \le 4\)

Chọn đáp án A
Tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right);{\rm{ }}{y^/} = \dfrac{{1 – \ln x}}{{{{\ln }^2}x}};{\rm{ }}{y^/} = 0 \Leftrightarrow x = e\)
Hàm \({y^/}\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua \(x = e\) nên \(x = e\) là điểm cực tiểu của hàm số.

Chọn đáp án A
Do \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) là hai hàm dồng biến nên \(a,b > 1\)
Do \(y = {\log _c}x\) nghịch biến nên \(c < 1\). Vậy $c$ bé nhất.
Mặt khác: Lấy \(y = m\), khi đó tồn tại \({x_1},{\rm{ }}{x_2} > 0\) để \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}{x_1} = m\\{\log _b}{x_2} = m\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^m} = {x_1}\\{b^m} = {x_2}\end{array} \right.\)
Dễ thấy \({x_1} < {x_2} \Rightarrow {a^m} < {b^m} \Rightarrow a < b\)
Vậy b > a > c.

Chọn đáp án A
Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 – x > 0\\x – m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2m + 1\\x > m\end{array} \right.\)
Suy ra, tập xác định của hàm số là \(D = \left( {m;2m + 1} \right)\), với \(m \ge – 1\).
Hàm số xác định trên \(\left( {2;3} \right)\) suy ra \(\left( {2;3} \right) \subset D \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\2m + 1 \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \ge 1\end{array} \right.\)

Chọn đáp án A
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
Đạo hàm: \({y^/} = \ln \left( {1 + \sqrt {1 + {x^2}} } \right);{\rm{ }}{y^/} = 0 \Leftrightarrow 1 + \sqrt {1 + {x^2}} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)
Lập bảng biến thiên :

Chọn đáp án A
\(y = \ln \dfrac{1}{{x + 1}} = – \ln \left( {x + 1} \right) \Rightarrow {y^/} = – \dfrac{1}{{x + 1}}\)
Ta có: \(xy’ + 1 = x\left( { – \dfrac{1}{{x + 1}}} \right) + 1 = – \dfrac{x}{{x + 1}} + 1 = \dfrac{1}{{x + 1}}\), \({e^y} = {e^{\ln \dfrac{1}{{x + 1}}}} = \dfrac{1}{{x + 1}}\) .

Chọn đáp án A
Ta biến đổi hàm số về dạng\(y = \dfrac{{{e^{2x}} – 1}}{{{e^{2x}} + 1}}\)\( \Rightarrow {y^/} = \dfrac{{{{\left( {{e^{2x}} – 1} \right)}^/}\left( {{e^{2x}} + 1} \right) – {{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}^/}\left( {{e^{2x}} – 1} \right)}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{4{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}^2}}}\).

Chọn đáp án A
\(y = x\sin x \Rightarrow {y^/} = \sin x + x\cos x \Rightarrow {y^{//}} = 2\cos x – x\sin x\)
Ta có: \(x{y^{//}} – 2{y^/} + xy = x\left( {2\cos x – x\sin x} \right) – 2\left( {\sin x + x\cos x} \right) + x.\left( {x\sin x} \right)\)\( = – 2\sin x\)

Chọn đáp án A
Do \(y = {a^x}\) và \(y = {b^x}\) là hai hàm đồng biến nên \(a,b > 1\).
Do \(y = {c^x}\) nghịch biến nên \(c < 1\). Vậy $x$ bé nhất.
Mặt khác: Lấy \(x = m\), khi đó tồn tại \({y_1},{\rm{ }}{{\rm{y}}_2} > 0\) để \(\left\{ \begin{array}{l}{a^m} = {y_1}\\{b^m} = {y_2}\end{array} \right.\)
Dễ thấy \({y_1} < {y_2} \Rightarrow {a^m} < {b^m} \Rightarrow a < b\)
Vậy b > a > c.