Cực trị hàm trùng phương, toán 12

Xét hàm trùng phương có dạng: \(y=ax^4+bx^2+c(a\neq0) \ \ (*)\)

  • Ta có: \(y’=4ax^3+2bx=2x(2ax^2+b)\)
  • \(y’=0 \iff x=0 \) hoặc \(x^2=-\dfrac{b}{2a}\)

Trường hợp 1: Hàm số (*) có 3 cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 3 nghiệm và đổi dấu khi đi qua nghiệm đó \(\iff \dfrac{-b}{2a}>0\iff \dfrac{b}{a}<0\iff ab<0.\)
Đặc biệt:

  • Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu khi và chỉ khi a > 0 và b < 0.
  • Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu khi và chỉ khi a < 0 và b > 0.

Trường hợp 2: Hàm số (*) có 1 cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 1 nghiệm và đổi dấu khi đi qua nghiệm đó \(\iff \dfrac{-b}{2a}\leq0\iff \dfrac{b}{a}\geq 0 \iff ab\geq 0.\)

  • Hàm số (*) có 1 cực tiểu khi và chỉ khi a > 0 và \(b\geq 0.\)
  • Hàm số (*) có 1 cực đại khi và chỉ khi a < 0 và \(b\leq 0.\)

Trường hợp 3: Khi ab <0 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: \(A(0;c),B(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a});C(\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a})\)với \(\Delta=b^2-4ac.\)

  • Phương trình qua các điểm cực trị B, C là: \(y=-\dfrac{\Delta}{4a}.\)
  • Phương trình qua các điểm cực trị A, B là: \(y=(\sqrt{\dfrac{-b}{2a}})^3x+c.\)
  • Phương trình qua các điểm cực trị A, C là: \(y=-(\sqrt{\dfrac{-b}{2a}})^3x+c.\)

Với \(\widehat{BAC}=\alpha. \)Ta có: \(\cos\alpha=\dfrac{b^3+8a}{b^3-8a}.\)

  • Diện tích tam giác ABC: \(S=\sqrt{-\dfrac{b^5}{32a^3}}\)
  • Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \(R=\dfrac{b^3-8a}{8|a|b}\)
  • Tam giác ABC vuông cân tại A \(\iff b^3+8a=0.\)
  • Tam giác ABC đều \(\iff b^3+24a=0.\)
  • Tam giác ABC có diện tích \(S\iff S^2=-\dfrac{b^5}{32a^3}.\)
  • Tam giác ABC có hai cực trị B, C nằm trên trục hoành \(\iff b^2-4ac=0.\)
  • Tam giác ABC có trọng tâm O \(\iff b^2-6ac=0.\)
  • Tam giác ABC có trực tâm O \(\iff b^3=4ac-8a.\)

Một số công thức giải nhanh
Cực trị hàm trùng phương, toán 12
Một số ví dụ minh họa:
Bài tập 1. Tìm m để hàm số \(y=-x^4+(m-2016)x^2+2018\) có ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân tại [A].
[A]. m = 2017
[B]. m = 2016
[C]. m = 2018
[D]. m = 2019

Hướng dẫn

Ở đây a = -1 và b = m – 2016.
Hàm số có ba cực trị là ab < 0 \(\iff -(m-2016)<0\iff m>2016 \ \ (*)\)
Tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi \(b^3=-8a\iff (m-2016)^3=8\iff m-2016=2\iff m=2018.\)
Chọn đáp án [C].

[Ẩn HD]

Bài tập 2. Tìm m để hàm số \(y=x^4-2mx^2+2m+m^4\) có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều. a. [A]. \(m=-\sqrt[3]{3}.\)
[B]. \(m=\sqrt[3]{2}.\)
[C]. \(m=\sqrt[3]{3}.\)
[D]. \(m=2\sqrt[3]{3}.\)
ĐS:\(m=\sqrt[3]{3}.\)

Hướng dẫn

Ta có: a=1, b = -2m.
Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi ab <0 \(\iff -2m<0\iff m >0 \ \ (*)\)
\(\iff b^3=-24a\iff (-2m)^3=-24\iff m^3=3\iff m=\sqrt[3]{3}.\)(thỏa (*))
Chọn đáp án [C].

[Ẩn HD]

Bài tập 3. Tìm m để hàm số \(y=\dfrac{9}{8}x^4+3(m-2017)x^2-2016\) có ba cực trị tạo thành tam giác đều.
[A]. m=2016.
[B]. m = 2017.
[C]. m = 2018.
[D]. m = 2015.

Hướng dẫn

Đs: Đáp án [A].

[Ẩn HD]

Bài tập 4. (THPT QG 2017_các mã đề 105 & 111 & 113 & 119 & 121) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y=x^4-2mx^2\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.
[A]. \(0<m<\sqrt[3]{4}.\)
[B]. \(m<1.\)
[C]. 0 < m < 1.
[D]. m > 0.

Hướng dẫn

ĐS: Đáp án [C].

[Ẩn HD]

Bài tập 5. Tìm tất cả các giá trị tham số m để hàm số \(y=1008x^4-mx^2+1008\) có ba cực trị trong đó có hai cực trị thuộc trục hoành.
[A]. m=-1008
[B]. m=2016
[C]. m =1008
[D]. m =2017.

Hướng dẫn

ĐS: Đáp án [B].

[Ẩn HD]
0
Tham gia thảo luậnx