Phương pháp tìm cực trị của hàm số bậc 3
Bài toán tổng quát: Cho hàm số bậc 3 có dạng y = f(x) = ax$^{3}$ + bx$^{2}$ + cx + d (với a ≠ 0, a, b, c, d phụ thuộc vào tham số). Hãy tìm giá trị của tham số để hàm số y có cực đại hoặc cực tiểu (nói cách khác là cực trị) thỏa mãn điều kiện bài toán cho trước.
Phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số bậc 3:
Bước 1:
Tính đạo hàm của hàm số y’ = 3ax$^{2}$ + 2bx + c,
Cho y’ = 0 ⇔ 3ax$^{2}$ +2bx + c = 0 (1)
Để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu ⇔ y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt ⇔ (1) phải có hai nghiệm phân biệt
Ta có a ≠ 0 và ∆ (∆’) ≠ 0 ⇔ Giá trị tham số cần tìm thuộc 1 miền D nào đó (*)
Bước 2:
Từ điều kiện bài toán cho trước ta có 1 phương trình hoặc 1 bất phương trình theo tham số cần tìm
Giải phương trình này ta sẽ tìm được tham số rồi sau đó đối chiếu với điều kiện (*) của tham số và kết luận.
Một số điều kiện của bài toán thường gặp:
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị <=> a ≠ 0 và ∆$_{y’}$ (∆’) > 0
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị nằm về hai phía đối nhau của trục hoành <=> y$_{CD}$.y$_{CT}$ < 0
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị nằm về hai phía đối nhau của trục tung <=> x$_{CD}$.x$_{CT}$ < 0
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị cùng nằm phía trên của trục hoành <=>
– Để hàm số y = f(x) đã cho có 2 cực trị cùng nằm phía dưới của trục hoành <=>
– Để hàm số y = f(x) đã cho có cực trị nằm tiếp xúc với trục hoành <=> y$_{CD}$.y$_{CT}$ = 0
– Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khác nằm phía đối với đường thẳng d có dạng: Ax + By + C = 0
Gọi M$_{1}$ (x$_{1}$ ; y$_{1}$) và M$_{2}$ (x$_{2}$ ; y$_{2}$) là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y = f(x)
Ta có t$_{1}$ và t$_{2}$ là giá trị của các điểm cực trị M$_{1}$, M$_{2}$ khi ta thay vào đường thẳng d.
t$_{1}$ = Ax$_{1}$ + By$_{1}$ + C
t$_{2}$ = Ax$_{2}$ + By$_{2}$ + C
Nếu đồ thì có 2 điểm cực trị nằm 2 phía đường thẳng d thì ta có phương trình
có 2 nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$
Nếu đồ thì có 2 điểm cực trị nằm cùng 1 phía đường thẳng d thì ta có phương trình
có 2 nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$
Chú ý: Khi ta thay đường thẳng d bằng trục của Ox hoặc Oy hay 1 đường tròn thì ta vẫn áp dụng được kết quả trên . Các kết quả khác của nó thì tùy theo từng điều kiện để có thể áp dụng.
Bài tập ví dụ
Bài 1: cho hàm số y = x$^{3}$ – 2(m + 1)x$^{2}$ + (m$^{2}$ – 3m + 2)x + 4. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và 2 cực trị này nằm về hai phía của trục tung.
Tập xác định R
Ta có y’ = 3x$^{2}$ – 2(m + 1)x + (m$^{2}$ – 3m + 2)
Để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung thì phương trình y’ = 0 phải có 1 nghiệm phân biệt
Bài 2: Cho hàm số y = (m + 2)x$^{3}$ + 3x$^{2 }$ + mx -5 với m là tham số. Tìm giá trị của m để các cực trị có hoành độ là số dương.
Tập xác đinh R
Để các cực trị của hàm số có hoành đồ là số dương thì phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Ta có y’ = 3(m + 2)x$^{2}$ + 6x + m
Vậy với -3 < m< -2 thì hàm số đã cho có điểm cực trị có hoành độ là dương
Bài 3: Cho hàm số y = -x$^{3}$ + 3x$^{2}$ + 3(m$^{2}$ – 1)x – 3m$^{2}$ – 1 (m là tham số thực). Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu này cách đều gốc tọa độ O.
Ta có đạo hàm y’ = – 3x$^{2}$ + 6x + 3(m$^{2}$ – 1),
y’ = 0 ⇔ – 3x$^{2}$ +6x + 3(m$^{2}$ – 1) = 0 (1)
Để hàm số có cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔Δ’= m$^{2}$ > 0 ⇔ m ≠ 0
Khi đó ta có tọa độ hai điểm cực trị là A(1 – m, – 2 – m$^{2}$) và B(1+m ; -2 + 2m$^{2}$)
Theo giả thiết đề bài 2 điểm cực trị này cách đều gốc tọa độ ta có
⇔ OA = OB
⇔ (1 – m)$^{2 }$+ (-2 – 2m$^{2}$)$^{2}$ = (1+ m)$^{2}$ + (2 – 2m$^{2}$)$^{2}$
⇔4m$^{3}$ = m
⇔ m = ± ½
Vậy với m = ± ½ thì hàm số có cực đại và cực tiểu thỏa mãn hai điểm này cách đều gốc tọa độ O.