I. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số
Nội Dung: Giả sử tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]
Quy Tắc:
- Tìm các điểm ${x_1};{x_2};…;{x_n}$ trên khoảng (a; b), tại đó f’(x) bằng không hoặc f’(x) không xác định.
- Tính : $f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);…;f\left( {{x_n}} \right);f\left( b \right).$
- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó $M = \mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ {a;b} \right]} $; $m = \mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ {a;b} \right]} $
Chú ý: Để học sinh dể nhớ, ta có thể tóm tắt quy tắc trên thành phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b] như sau:
- Tính đạo hàm f’(x)
- Giải phương trình: f’(x) = 0, tìm các nghiệm ${x_1};{x_2};…;{x_n} \in \left( {a;b} \right)$ (nếu có).
- Tính các giá trị : $f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);…;f\left( {{x_n}} \right);f\left( b \right).$
- Kết luận
$\mathop {m{\rm{af}}\left( x \right)}\limits_{\left[ {a;b} \right]} = M = m{\rm{ax}}\left\{ {f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);…;f\left( {{x_n}} \right)} \right\}$
$\mathop {\min \left( x \right)}\limits_{\left[ {a;b} \right]} = m = \min \left\{ {f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);…;f\left( {{x_n}} \right)} \right\}$
II. Các loại hàm số thường gặp:
Ta thường gặp các loại hàm số cho trong bài tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b] sau:
1) Hàm đa thức
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = 2{x^3} – 6{x^2} + 1$ trên đoạn [-1; 1]
Ta có ${f^/}\left( x \right) = 6{x^2} – 12x$
${f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} – 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.$ ( x = 2 loại )
Tính : $f\left( { – 1} \right) = – 7;f\left( 0 \right) = 1;f\left( 1 \right) – 3$
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} = 1;\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} = – 7$
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = – 2{x^4} + 4{x^2} + 3$ trên đoạn [0; 2]
Ta có : ${f^/}\left( x \right) = – 8{x^3} + 8x$
${f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow – 8{x^3} + 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.$ ( x = -1 loại )
Tính : $f\left( 0 \right) = 3;f\left( 1 \right) = 6;f\left( 2 \right) = – 13$
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ {0;2} \right]} = 6;\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ {0;2} \right]} = – 13$
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = – \dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2} – 2x + 1$ trên đoạn [-1; 0]
Ta có : ${f^/}\left( x \right) = – {x^2} + 2x – 2$
${f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow – {x^2} + 2x – 2 = 0$ (vô nghiệm)
Tính : $f\left( { – 1} \right) = \dfrac{{11}}{3};f\left( 0 \right) = 1$
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;0} \right]} = \dfrac{{11}}{3};\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;0} \right]} = 1$
2) Hàm phân thức
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = \dfrac{{2x + 1}}{{1 – x}}$ trên đoạn [2; 4]
Ta có : ${f^/}\left( x \right) = \dfrac{3}{{{{\left( {1 – x} \right)}^2}}} > 0\forall x \ne 1$
Tính : $f\left( 2 \right) = – 5;f\left( 4 \right) – 3$
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ {2;4} \right]} = – 3;\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ {2;4} \right]} = – 5$
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = \dfrac{{2x + 1}}{{x – 2}}$ trên đoạn [- 0,5; 1]
Ta có : ${f^/}\left( x \right) = – \dfrac{5}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} < 0\forall x \ne 2$
Tính : $f\left( { – \dfrac{1}{2}} \right) = 0;f\left( 1 \right) = – 3$
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – \dfrac{1}{2};1} \right]} = 0;\,\mathop {minf\left( x \right)}\limits_{\left[ { – \dfrac{1}{2};1} \right]} = – 3$
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = – x + 1 – \dfrac{4}{{x + 2}}$ trên đoạn [ -1; 2]
${f^/}\left( x \right) = – 1 + \dfrac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$
${f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow – 1 + \dfrac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – 4 \end{array} \right.$ ( x = – 4 loại )
Tính : $f\left( { – 1} \right) = – 2;f\left( 0 \right) = – 1;f\left( 2 \right) = – 2$
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} = – 1;\,\,\mathop {minf\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} = – 2$
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 2x – 3}}{{x + 2}}$ trên đoạn [0; 3]
Ta có : $f’\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} – 4x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$
${f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 7 = 0$ (Vô nghiệm )
Tính: $f\left( 0 \right) = – \dfrac{3}{2};f\left( 3 \right) = \dfrac{{12}}{5}$
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = \dfrac{{12}}{5};\,\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = – \dfrac{3}{2}$
Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = \sqrt {5 – 4x} $ trên đoạn [-1; 1]
Ta có : ${f^/}\left( x \right) = – \dfrac{2}{{\sqrt {5 – 4x} }} < 0\forall x \in \left( { – \infty ;\dfrac{5}{4}} \right)$
Tính : $f\left( { – 1} \right) = 3;f\left( 1 \right) = 1$
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} = 3;\,\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} = 1$
Ví dụ 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:$b)y = f\left( x \right) = \sqrt {4x – {x^2}} $ trên đoạn [0,5; 3]
Ta có : ${f^/}\left( x \right) = \dfrac{{2 – x}}{{\sqrt {4x – {x^2}} }}$
${f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2 – x = 0 = 0 \Leftrightarrow x = 2$
Tính : $f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{{\sqrt 7 }}{2};f\left( 2 \right) = 2;f\left( 3 \right) = \sqrt 3 $
Vậy : $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};3} \right]} = 2;\,\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};3} \right]} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}$
Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:$c)y = f\left( x \right) = x + \sqrt {4 – {x^2}} $
Miền xác định: D = [-2; 2]. Ta xét hàm số trên miền xác định của nó.
Ta có : ${f^/}\left( x \right) = 1 – \dfrac{x}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}$
${f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 – \dfrac{x}{{\sqrt {4 – {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \sqrt 2 \\ x = – \sqrt 2 \end{array} \right.$
Tính : $f\left( 2 \right) = 2;f\left( { – 2} \right) = – 2;f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 ;f\left( { – \sqrt 2 } \right) = 0$
Vậy: $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} = 2\sqrt 2 ;\,\,\,\mathop {{\mathop{\rm minx}\nolimits} f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} = – 2$
4) Hàm số mũ, hàm số lôgarit
Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = 2x.{\ell ^x}$ trên đoạn [-1; 2]
$\begin{array}{l} {f^/}\left( x \right) = 2{\ell ^x} + 2x{\ell ^x}\\ {f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = – 1\\ f\left( { – 1} \right) = – \dfrac{2}{\ell };f\left( 2 \right) = 4{\ell ^2}\\ \Rightarrow \mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} = 4{\ell ^2};\,\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} = – \dfrac{2}{\ell } \end{array}$
Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = x – {\ell ^{2x}}$ trên đoạn [-1;0]
$\begin{array}{l} {f^/}\left( x \right) = 1 – 2{\ell ^{2x}}\\ {f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 – 2{\ell ^{2x}} = 0 \Leftrightarrow x = – \dfrac{1}{2}\ln 2\\ f\left( { – 1} \right) = – 1 – \dfrac{1}{\ell };f\left( { – \dfrac{1}{2}\ln 2} \right) = – \dfrac{1}{2}\ln 2 – \dfrac{1}{2};f\left( 0 \right) = – 1\\ \Rightarrow \mathop {{\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{ax}}f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;0} \right]} = \mathop { – \dfrac{1}{2}}\limits_{} \ln 2 – \dfrac{1}{2};\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;0} \right]} = – 1 – \dfrac{1}{\ell } \end{array}$
Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = \dfrac{{\ln x}}{x}$ trên đoạn $\left[ {1;{\ell ^2}} \right]$
$\begin{array}{l} {f^/}\left( x \right) = \dfrac{{1 – \ln x}}{{{x^2}}}\\ {f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 – \ln x = 0 \Leftrightarrow x = \ell \\ f\left( 1 \right) = 0;f\left( \ell \right) = \dfrac{1}{\ell };f\left( {{\ell ^2}} \right) = \dfrac{2}{{{\ell ^2}}}\\ \Rightarrow \mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ {1;{\ell ^2}} \right]} = \dfrac{1}{\ell };\,\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ {1;{\ell ^2}} \right]} = 0 \end{array}$
Ví dụ 14: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = {x^2} – \ln \left( {1 – 2x} \right)$ trên đoạn [-1 ;0]
$\begin{array}{l} {f^/}\left( x \right) = 2x + \dfrac{1}{{1 – 2x}}\\ {f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + \dfrac{2}{{1 – 2x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\left( {loai} \right)\\ x = – \dfrac{1}{2} \end{array} \right.\\ f\left( { – 2} \right) = 4 – \ln 5;f\left( { – \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{4} – \ln 2;f\left( 0 \right) = 0\\ \Rightarrow \mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 2;0} \right]} = 4 – \ln 5;\,\,\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 2;0} \right]} = \dfrac{1}{4} – \ln 2 \end{array}$
5) Hàm số lượng giác
Ví dụ 15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: y = f(x) = sin(2x) – x trên đoạn $\left[ { – \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]$
$\begin{array}{l} {f^/}\left( x \right) = 2c{\rm{os2x}} – 1\\ {f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{6}\\ x = – \dfrac{\pi }{6} \end{array} \right.\left( {x \in \left[ { – \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]} \right)\\ f\left( { – \dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{\pi }{2};f\left( { – \dfrac{\pi }{6}} \right) = – \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{\pi }{6};f\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} – \dfrac{\pi }{6};f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{\pi }{2}\\ \Rightarrow \mathop {\max f\left( x \right) = \dfrac{\pi }{2}}\limits_{\left[ { – \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]} ;\,\mathop {\min f\left( x \right) = – \dfrac{\pi }{2}}\limits_{\left[ {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]} \end{array}$
Ví dụ 16: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = x + \sqrt 2 \cos x$ trên đoạn $\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$
$\begin{array}{l} {f^/}\left( x \right) = 1 – \sqrt 2 {\rm{sinx}}\\ {f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4}\left( {Do\,x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]} \right)\\ f\left( 0 \right) = \sqrt 2 ;f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{4} + 1;f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{\pi }{2}\\ \Rightarrow \mathop {\max f\left( x \right) = \dfrac{\pi }{4}}\limits_{\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]} + 1;\,\,\mathop {\min f\left( x \right) = \sqrt 2 }\limits_{\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]} \end{array}$
Ví dụ 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x – 2\cos x + 2$
MXĐ : D = R
$\begin{array}{l} f\left( x \right) = – c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x – 2co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 3\\ t = {\sin ^2}x;\,\,t \in \left[ { – 1;1} \right];\forall x \in R \end{array}$
Ta xét hàm số: $g\left( t \right) = – {t^2} – 2t + 3$ trên đoạn [-1 ;1]
Ta có : g’(t) = -2t – 2 = 0 <=>t = -1
Tính: $g\left( { – 1} \right) = 4;g\left( 1 \right) = 0$
Vậy : $\mathop {\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_R = \max g\left( t \right) = 4}\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} ;\,\,\mathop {\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_R = \max g\left( t \right) = 0}\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} $