Tính đơn điệu của hàm số giải và biện luận PT & BPT chứa tham số

Dùng đơn điệu hàm số để giải và biện luận phương trình và bất phương trình chứa tham số

Tính đơn điệu của hàm số giải và biện luận PT & BPT chứa tham số

Cho hàm số f (x;m) = 0 xác định với mọi x ∈I (*)

  • Biến đổi (*) về dạng f (x ) = f (m)
  • Xét hàm số y = f (x ) liên tục trên I
  • Dùng tính chất đơn điệu của hàm số và kết luận.

Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
 Tìm m để bất phương trình $\sqrt {4x – 2} + 2\sqrt {4 – x} < m$ có nghiệm.

Hướng dẫn

Điều kiện: $\dfrac{1}{2} \le x \le 4$.

Khi đó, bất phương trình $\sqrt {4x – 2} + 2\sqrt {4 – x} < m \Leftrightarrow m > \mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};4} \right]} \left[ {\sqrt {4x – 2} + 2\sqrt {4 – x} } \right]$

Xét hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {4x – 2} + 2\sqrt {4 – x} $ trên $\left[ {\dfrac{1}{2};4} \right]$.

Ta có $f’\left( x \right) = \dfrac{2}{{\sqrt {4x – 2} }} – \dfrac{1}{{\sqrt {4 – x} }} = \dfrac{{2\sqrt {4 – x} – \sqrt {4x – 2} }}{{\sqrt {\left( {4x – 2} \right)\left( {4 – x} \right)} }}$
$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {4 – x} – \sqrt {4x – 2} \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{4};\left( {x \ne \dfrac{1}{2};x \ne 4} \right)$
$f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \sqrt {14} ;f\left( {\dfrac{9}{4}} \right) = 2\sqrt 7 ;f\left( 4 \right) = \sqrt {14} \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};4} \right]} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \sqrt {14} $

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $m > \sqrt {14} $.

[Ẩn HD]

Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình $m\sqrt {2{x^2} + 9} < x + m$ có nghiệm với mọi x.
Hướng dẫn

Ta có $m\sqrt {2{x^2} + 9} < x + m \Leftrightarrow m < \dfrac{x}{{\sqrt {2{x^2} + 9} – 1}}$ , vì $\sqrt {2{x^2} + 9} – 1 > 0,\forall x$

Khi đó, phương trình có nghiệm với mọi x khi và chỉ khi $m < \min \left[ {\dfrac{x}{{\sqrt {2{x^2} + 9} – 1}}} \right]$

Xét hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {2{x^2} + 9} – 1}}$ trên R.
Ta có $f’\left( x \right) = \dfrac{{9 – \sqrt {2{x^2} + 9} }}{{\sqrt {2{x^2} + 9} {{\left( {\sqrt {2{x^2} + 9} – 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 9 – \sqrt {2{x^2} + 9} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 6\\ x = 6 \end{array} \right.$

Bảng biến thiên:
Tính đơn điệu của hàm số giải và biện luận PT & BPT chứa tham số

Suy ra $\min \left[ {f\left( x \right)} \right] = – \dfrac{3}{4}$. Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi $m < – \dfrac{3}{4}$.

[Ẩn HD]

Ví dụ 3: Tìm tham số m để bất phương trình sau có nghiệm: $mx – \sqrt {x – 3} \le m + 1$
Hướng dẫn

Điều kiện: $x \ge 3$. Khi đó, $mx – \sqrt {x – 3} \le m + 1 \Leftrightarrow \dfrac{{1 + \sqrt {x – 3} }}{{x – 1}} \ge m$.
Bất phương trình đã cho có nghiệm $x \ge 3$ khi và chỉ khi $m \le \mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left[ {{\rm{3; + }}\infty } \right)} \left[ {\dfrac{{1 + \sqrt {x – 3} }}{{x – 1}}} \right]$
Xét ham số $f\left( x \right) = \dfrac{{1 + \sqrt {x – 3} }}{{x – 1}}$ trên $\left[ {3; + \infty } \right)$. Ta có $f’\left( x \right) = \dfrac{{5 – x – 2\sqrt {x – 3} }}{{2{{\left( {x – 1} \right)}^2}\sqrt {x – 3} }}$
$f’\left( x \right) = 0 \Rightarrow 5 – x – 2\sqrt {x – 3} = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {x – 3} = 5 – x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 \le x \le 5\\ 4\left( {x – 3} \right) = {\left( {5 – x} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 7 – 2\sqrt 3 $.
Bảng biến thiên
Tính đơn điệu của hàm số giải và biện luận PT & BPT chứa tham số

Suy ra $\mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left[ {{\rm{3; + }}\infty } \right)} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{4}$ .
Vậy bất phương trình có nghiệm $m \le \dfrac{{\sqrt 3 + 1}}{4}$.

[Ẩn HD]

Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình $m{x^2} – 2mx + 3m – 1 \ge 0$ nghiệm đúng với mọi x > 0
Hướng dẫn

Ta biến đổi bất phương trình $m{x^2} – 2mx + 3m – 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{{{x^2} – 2x + 3}},\forall x > 0 \Leftrightarrow m \ge \mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} \left[ {\dfrac{1}{{{x^2} – 2x + 3}}} \right]$
Xét hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} – 2x + 3}}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$. Ta có $f’\left( x \right) = \dfrac{{2 – 2x}}{{{{\left( {{x^2} – 2x + 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Tính đơn điệu của hàm số giải và biện luận PT & BPT chứa tham số

Suy ra $\mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left( {{\rm{0; + }}\infty } \right)} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \dfrac{1}{2}$. Do đó giá trị m cần tìm là $m \ge \dfrac{1}{2}$.

[Ẩn HD]

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số $y = \dfrac{1}{3}m{x^3} – \left( {m – 1} \right){x^2} + 3\left( {m – 2} \right)x + \dfrac{1}{3}$ đồng biến trên $\left[ {2; + \infty } \right)$.
Hướng dẫn

$y’ = m{x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + 3\left( {m – 2} \right)$.
Hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ {2; + \infty } \right)$ khi và chỉ khi
$\begin{array}{l} y’ = m{x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + 3\left( {m – 2} \right) \ge 0,\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{6 – 2x}}{{{x^2} – 2x + 3}},\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} \left[ {\dfrac{{6 – 2x}}{{{x^2} – 2x + 3}}} \right] \end{array}$
Xét hàm số $g\left( x \right) = \dfrac{{6 – 2x}}{{{x^2} – 2x + 3}}$ trên $\left[ {2; + \infty } \right)$. Ta có $g’\left( x \right) = \dfrac{{2{x^2} – 12x + 6}}{{{{\left( {{x^2} – 2x + 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt 6 $
Bảng biến thiên:
Tính đơn điệu của hàm số giải và biện luận PT & BPT chứa tham số

Dựa vào bảng biến thiên suy ra $\mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} \left[ {{\rm{g}}\left( x \right)} \right] = \dfrac{2}{3}$.
Do đó giá trị cần tìm là: $m \ge \dfrac{2}{3}$.

[Ẩn HD]

Ví dụ 6: Tìm m để bất phương trình $m{.16^{{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}}} – 2m{.4^{{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}}} + 2m – 2 \ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]$.

Hướng dẫn

Đặt $u = {4^{{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}}}$. Với $x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow u \in \left[ {1;4} \right]$. Khi đó bất phương trình đã cho trở thành $m.{u^2} – 2m.u + 2m – 2 \ge 0$. Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]$ khi và chỉ khi $\begin{array}{l} m.{u^2} – 2m.u + 2m – 2 \ge 0,\forall u \in \left[ {1;4} \right]\\ \Leftrightarrow m \ge \dfrac{2}{{{u^2} – 2u + 2}},\forall u \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow m \ge \mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left[ {\dfrac{2}{{{u^2} – 2u + 2}}} \right] \end{array}$.
Xét hàm số $f\left( u \right) = \dfrac{2}{{{u^2} – 2u + 2}}$ trên [1; 4]. Ta có $f’\left( u \right) = \dfrac{{4\left( {1 – u} \right)}}{{{{\left( {{u^2} – 2u + 2} \right)}^2}}} \le 0,\forall u \in \left[ {1;4} \right]$
Bảng biến thiên
Tính đơn điệu của hàm số giải và biện luận PT & BPT chứa tham số

Dựa vào bảng biến thiên suy ra $\mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left[ {f\left( u \right)} \right] = 2$. Do đó giá trị cần tìm là: $m \ge 2$.

[Ẩn HD]

Ví dụ 7: Tìm m để bất phương trình $1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)$ nghiệm đúng với mọi x .
Hướng dẫn

Ta có $1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right) \Leftrightarrow {\log _5}\left[ {5\left( {{x^2} + 1} \right)} \right] \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m{x^2} + 4x + m > 0\\ 5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge m{x^2} + 4x + m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > \dfrac{{ – 4x}}{{{x^2} + 1}}\\ m \le 5 – \dfrac{{4x}}{{{x^2} + 1}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > \max \left[ {\dfrac{{ – 4x}}{{{x^2} + 1}}} \right]\\ m \le 5 + \min \left[ {\dfrac{{ – 4x}}{{{x^2} + 1}}} \right] \end{array} \right.$
Xét hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{ – 4x}}{{{x^2} + 1}}$ trên R. Ta có $f’\left( x \right) = \dfrac{{4\left( {{x^2} – 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 1 \end{array} \right.$
Bảng biến thiên
Tính đơn điệu của hàm số giải và biện luận PT & BPT chứa tham số

[Ẩn HD]

Theo dõi
Notify of
0 BÌNH LUẬN
Inline Feedbacks
Xem toàn bộ bình luận
0
Tham gia thảo luậnx