Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa:

– Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì ta nói góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \({90^0}\).

– Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa \(a\) và hình chiếu \(a’\) của nó trên \(\left( P \right)\) gọi là góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Kí hiệu:

Nếu $d \bot \left( P \right)$  thì \(\widehat {\left( {d,\left( P \right)} \right)} = {90^0}\)

Nếu $d$ không vuông góc với $(P)$ thì \(\widehat {\left( {d,\left( P \right)} \right)} = \widehat {\left( {d,d’} \right)}\) với $d’$ là hình chiếu của $d$ trên $\left( P \right)$.

Chú ý: \({0^0} \le \widehat {\left( {d,\left( P \right)} \right)} \le {90^0}\)

2. Bài toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xác định góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ ta thực hiện theo các bước sau:

– Tìm giao điểm $O = a \cap \left( \alpha  \right)$

– Dựng hình chiếu $A’$ của một điểm $A \in a$ xuống $\left( \alpha  \right)$

– Góc \(\widehat {AOA’} = \varphi \) chính là góc giữa đường thẳng $a$ và $\left( \alpha  \right)$.

*) Để dựng hình chiếu $A’$ của điểm $A$ trên $\left( \alpha  \right)$ ta chọn một đường thẳng $b \bot \left( \alpha  \right)$ khi đó $AA’//b$.

– Để tính góc $\varphi $ ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $\Delta OAA’$.

Ngoài ra, nếu không xác định góc $\varphi $ thì ta có thể tính góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ theo công thức $\sin \varphi  = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}}$ trong đó $\overrightarrow u $ là VTCP của $a$ còn $\overrightarrow n $ là vec tơ có giá vuông góc với $\left( \alpha  \right)$.