Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Một đường thẳng \(d\) được gọi là vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\).

Kí hiệu: $d \bot \left( P \right) \Leftrightarrow d \bot a,\forall a \subset \left( P \right)$

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(a\) và \(b\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Kí hiệu: \(\left\{ \begin{array}{l}a,b \subset (P),a \cap b = O\\d \bot a,d \bot b\end{array} \right. \Rightarrow d \bot (P)\)

3. Tính chất

– Có duy nhất một mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua một điểm \(O\) cho trước và vuông góc với một đường thẳng \(a\) cho trước.

– Có duy nhất một đường thẳng \(\Delta \) đi qua một điểm \(O\) cho trước và vuông góc với một mặt phẳng \(\left( P \right)\) cho trước.

4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

– Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

– Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.

5. Định lí ba đường vuông góc

Cho $a’$ là hình chiếu của $a$ trên $\left( P \right)$ và \(b\) là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng \((P)\). Khi đó $b \bot a \Leftrightarrow b \bot a’$