Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng vuông góc

1. Hai đường thẳng vuông góc

a) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng

Véc tơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) là VTCP của \(d\) nếu giá của \(\overrightarrow a \) song song hoặc trùng với \(d\).

b) Góc giữa hai đường thẳng

– Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ là góc nhỏ nhất trong bốn góc mà $a$ và $b$ cắt nhau tạo nên.

– Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a’$ và $b’$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với $a$ và $b$.

Kí hiệu: \(a//a’,b//b’ \Rightarrow \widehat {\left( {a,b} \right)} = \widehat {\left( {a’,b’} \right)}\).

– Giả sử \(\overrightarrow u \) là VTCP của \(a,\overrightarrow v \) là VTCP của \(b,\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \alpha \). Khi đó:

\(\widehat {\left( {a,b} \right)} = \left\{ \begin{array}{l}\alpha ,{0^0} \le \alpha  \le {90^0}\\{180^0} – \alpha ,{90^0} < \alpha  \le {180^0}\end{array} \right.\)

– Nếu \(a//b\) hoặc \(a \equiv b\) thì \(\widehat {\left( {a,b} \right)} = {0^0}\)

c) Hai đường thẳng vuông góc

+) \(a \bot b \Leftrightarrow \widehat {\left( {a,b} \right)} = {90^0}\)

+) Giả sử \(\overrightarrow u \) là VTCP của \(a,\overrightarrow v \) là VTCP của \(b\). Khi đó \(a \bot b \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0\).

Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng.

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cô sin hoặc tỉ số lượng giác.

\(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}\)

Phương pháp 2: Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai đường thẳng biết hai véc tơ chỉ phương của chúng.

$\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}$

Để tính \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\left| {\overrightarrow u } \right|,\left| {\overrightarrow v } \right|\) ta chọn ba véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng, sau đó biểu thị các véc tơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) qua các véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) rồi thực hiện các tính toán.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Phương pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) vuông góc ta thực hiện một trong các cách:

Cách 1: Chứng minh \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\), trong đó \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) là các VTCP của \({d_1},{d_2}\).

Cách 2: Sử dụng tính chất \(\left\{ \begin{array}{l}b//c\\a \bot c\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\)

Cách 3: Sử dụng định lý Pi-ta-go hoặc xác định góc giữa \({d_1},{d_2}\) và tính trực tiếp góc đó.