Véc tơ trong không gian

Véc tơ trong không gian

1. Véc tơ trong không gian

a) Khái niệm

Cho các véc tơ tùy ý \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) và \(k,l \in R\).

– Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm \(A,B,C\) bất kì thì:

\(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \)

\(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AB} \)

– Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành \(ABCD\) ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \)

– Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) ta có \(\overrightarrow {AC’}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA’} \).

b) Tích vô hướng của một véc tơ với một số thực

Cho véc tơ \(\overrightarrow a \) và một số thực \(k\), tích vô hướng của \(k\) và \(\overrightarrow a \) kí hiệu là \(k.\overrightarrow a \).

Tính chất:

+) Cùng hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\).

+) Ngược hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).

+) \(\left| {k.\overrightarrow a } \right| = \left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\)

– Quy tắc trung điểm: Cho \(I\) là trung điểm của \(AB\), với điểm \(O\) tùy ý thì:

\(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = 2\overrightarrow {OI} \)

– Quy tắc trọng tâm tam giác: Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Khi đó, với điểm \(O\) bất kì thì:

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} \)

– Quy tắc trọng tâm tứ diện: Cho tứ diện \(ABCD\) có trọng tâm \(G\). Khi đó, vơi điểm \(O\) bất kì thì:

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = 4\overrightarrow {OG} \)

c) Tích vô hướng của hai véc tơ

+) Định nghĩa: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

+) Hệ quả: \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\).

+) \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

+) \({\overrightarrow a ^2} = \overrightarrow a .\overrightarrow a  = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\).

+) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \). Gọi \(\overrightarrow {a’} \) là hình chiếu vuông góc của \(\overrightarrow a \) trên đường thẳng chứa \(\overrightarrow b \) thì: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow {a’} .\overrightarrow b \).

+) Điểm \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k\left( {k \ne 1} \right)\), với điểm \(O\) tùy ý ta có:

\(\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {OM}  = \dfrac{{\overrightarrow {OA}  – k\overrightarrow {OB} }}{{1 – k}}\)

d) Véc tơ đồng phẳng

Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Định lý:

a) Cho \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương, ba véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \exists m,n \in R:\overrightarrow c = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b \) (với \(m,n\) xác định duy nhất.

b) Nếu ba véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng thì mọi véc tơ \(\overrightarrow x \) đều được biểu diễn dưới dạng \(\overrightarrow x = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b  + p.\overrightarrow c \) với \(m,n,p\) xác định duy nhất.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng, bốn điểm đồng phẳng.

Phương pháp:

Ta có thể sử dụng một trong số các cách sau đây:

Cách 1: Chứng minh các giá của ba véc tơ cùng song song với một mặt phẳng.

Cách 2: Dựa vào điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng: Nếu có \(m,n \in R:\overrightarrow c  = m.\overrightarrow a  + n.\overrightarrow b \) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng.

Dạng 2: Phân tích một véc tơ qua ba véc tơ không đồng phẳng.

Phương pháp:

Để phân tích một véc tơ \(\overrightarrow x \) theo ba véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng, ta tìm các số \(m,n,p\) sao cho: \(\overrightarrow x  = m.\overrightarrow a  + n.\overrightarrow b  + p.\overrightarrow c \).

Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng, véc tơ.

Phương pháp:

– Bước 1: Chọn ba véc tơ không đồng phẳng \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) sao cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.

– Bước 2: Phân tích \(\overrightarrow {MN}  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c \).

– Bước 3: Tính độ dài \(MN\) dựa vào công thức \(M{N^2} = {\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c } \right)^2}\)

Dạng 4: Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.

Phương pháp:

Sử dụng các kết quả:

+) \(A,B,C,D\) là bốn điểm đồng phẳng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {DA}  = m.\overrightarrow {DB}  + n.\overrightarrow {DC} \)

+) \(A,B,C,D\) là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm \(O\) bất kì ta có:

\(\overrightarrow {OD}  = x\overrightarrow {OA}  + y\overrightarrow {OB}  + z\overrightarrow {OC} \) trong đó \(x + y + z = 1\)