Véc tơ trong không gian

Véc tơ trong không gian

1. Véc tơ trong không gian

a) Khái niệm

Cho các véc tơ tùy ý \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) và \(k,l \in R\).

– Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm \(A,B,C\) bất kì thì:

\(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \)

\(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AB} \)

– Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành \(ABCD\) ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \)

– Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) ta có \(\overrightarrow {AC’}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA’} \).

b) Tích vô hướng của một véc tơ với một số thực

Cho véc tơ \(\overrightarrow a \) và một số thực \(k\), tích vô hướng của \(k\) và \(\overrightarrow a \) kí hiệu là \(k.\overrightarrow a \).

Tính chất:

+) Cùng hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\).

+) Ngược hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).

+) \(\left| {k.\overrightarrow a } \right| = \left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\)

– Quy tắc trung điểm: Cho \(I\) là trung điểm của \(AB\), với điểm \(O\) tùy ý thì:

\(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = 2\overrightarrow {OI} \)

– Quy tắc trọng tâm tam giác: Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Khi đó, với điểm \(O\) bất kì thì:

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} \)

– Quy tắc trọng tâm tứ diện: Cho tứ diện \(ABCD\) có trọng tâm \(G\). Khi đó, vơi điểm \(O\) bất kì thì:

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = 4\overrightarrow {OG} \)

c) Tích vô hướng của hai véc tơ

+) Định nghĩa: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

+) Hệ quả: \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\).

+) \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

+) \({\overrightarrow a ^2} = \overrightarrow a .\overrightarrow a  = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\).

+) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \). Gọi \(\overrightarrow {a’} \) là hình chiếu vuông góc của \(\overrightarrow a \) trên đường thẳng chứa \(\overrightarrow b \) thì: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow {a’} .\overrightarrow b \).

+) Điểm \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k\left( {k \ne 1} \right)\), với điểm \(O\) tùy ý ta có:

\(\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {OM}  = \dfrac{{\overrightarrow {OA}  – k\overrightarrow {OB} }}{{1 – k}}\)

d) Véc tơ đồng phẳng

Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Định lý:

a) Cho \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương, ba véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \exists m,n \in R:\overrightarrow c = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b \) (với \(m,n\) xác định duy nhất.

b) Nếu ba véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng thì mọi véc tơ \(\overrightarrow x \) đều được biểu diễn dưới dạng \(\overrightarrow x = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b  + p.\overrightarrow c \) với \(m,n,p\) xác định duy nhất.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng, bốn điểm đồng phẳng.

Phương pháp:

Ta có thể sử dụng một trong số các cách sau đây:

Cách 1: Chứng minh các giá của ba véc tơ cùng song song với một mặt phẳng.

Cách 2: Dựa vào điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng: Nếu có \(m,n \in R:\overrightarrow c  = m.\overrightarrow a  + n.\overrightarrow b \) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng.

Dạng 2: Phân tích một véc tơ qua ba véc tơ không đồng phẳng.

Phương pháp:

Để phân tích một véc tơ \(\overrightarrow x \) theo ba véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng, ta tìm các số \(m,n,p\) sao cho: \(\overrightarrow x  = m.\overrightarrow a  + n.\overrightarrow b  + p.\overrightarrow c \).

Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng, véc tơ.

Phương pháp:

– Bước 1: Chọn ba véc tơ không đồng phẳng \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) sao cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.

– Bước 2: Phân tích \(\overrightarrow {MN}  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c \).

– Bước 3: Tính độ dài \(MN\) dựa vào công thức \(M{N^2} = {\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c } \right)^2}\)

Dạng 4: Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.

Phương pháp:

Sử dụng các kết quả:

+) \(A,B,C,D\) là bốn điểm đồng phẳng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {DA}  = m.\overrightarrow {DB}  + n.\overrightarrow {DC} \)

+) \(A,B,C,D\) là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm \(O\) bất kì ta có:

\(\overrightarrow {OD}  = x\overrightarrow {OA}  + y\overrightarrow {OB}  + z\overrightarrow {OC} \) trong đó \(x + y + z = 1\)

Cảm xúc của bạn
Véc tơ trong không gian
Véc tơ trong không gian
Véc tơ trong không gian
Véc tơ trong không gian
Véc tơ trong không gian
Bạn đã để lại cảm xúc
Thật tuyệt vời♥!Đừng quên chia sẻ bài viết nhé ♥