Hai đường thẳng song song, toán phổ thông

Hai đường thẳng song song, toán phổ thông

1. Hai đường thẳng song song

a) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt.

– Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.

– Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.

– Hai đường thẳng gọi là cắt nhau nếu chúng có một điểm chung.

– Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

b) Hai đường thẳng song song

Tính chất của hai đường thẳng song song:

– Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

– Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Định lý (về giao tuyến của ba mặt phẳng):

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp:

Sử dụng một trong các cách sau:

+ Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talet,…)

+ Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba.

+ Áp dụng định lí về giao tuyến song song.

Dạng 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy trong không gian

a) Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Phương pháp:

Chứng minh ba điểm đó là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó, chúng nằm trên đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng nên thẳng hàng, nghĩa là:

– Tìm \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).

– Chứng minh \(d\) đi qua ba điểm \(A,B,C\) hoặc đường thẳng \(AB\) đi qua \(C\).

b) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp:

Cách 1: Chứng minh đường thẳng thứ nhất đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại.

Cách 2: Chứng minh ba đường thẳng đôi một cắt nhau và chúng đôi một nằm trong ba mặt phẳng phân biệt.

– Bước 1: Xác định \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1},{d_2} \subset \left( P \right),{d_1} \cap {d_2} = {I_1}\\{d_2},{d_3} \subset \left( Q \right),{d_2} \cap {d_3} = {I_2}\\{d_3},{d_1} \subset \left( R \right),{d_3} \cap {d_1} = {I_3}\end{array} \right.\) với \(\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)\) phân biệt.

– Bước 2: Kết luận \({d_1},{d_2},{d_3}\) đồng quy tại \(I \equiv {I_1} \equiv {I_2} \equiv {I_3}\)