Phép vị tự, toán phổ thông

Phép vị tự, toán phổ thông

1. Định nghĩa Phép vị tự

Cho điểm \(I\) và một số thực \(k \ne 0\). Phép biến hình biến mỗi điểm \(M\) thành điểm \(M’\) sao cho \(\overrightarrow {IM’}  = k.\overrightarrow {IM} \) được gọi là phép vị tự tâm \(I\) tỉ số \(k\).

Kí hiệu \({V_{\left( {I;k} \right)}}\).

2. Tính chất Phép vị tự

– Nếu ${V_{\left( {I;k} \right)}}\left( M \right) = M’,{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( N \right) = N’$ thì $\overrightarrow {M’N’}  = k\overrightarrow {MN} $ và $M’N’ = \left| k \right|MN$

– Phép vị tự tỉ số \(k\) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó.

– Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

– Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.

– Biến đường tròn có bán kính \(R\)  thành đường tròn có bán kính $\left| k \right|R$

3. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ, cho $I\left( {{x_0};{y_0}} \right),M\left( {x;y} \right)$, gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {V_{\left( {I;k} \right)}}\left( M \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x’ = kx + \left( {1 – k} \right){x_0}\\y’ = ky + \left( {1 – k} \right){y_0}\end{array} \right.$.

4. Tâm vị tự của hai đường tròn

Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

Cho hai đường tròn $\left( {I;R} \right)$ và $\left( {I’;R’} \right)$

– Nếu $I \equiv I’$ thì các phép vị tự ${V_{\left( {I; \pm \dfrac{{R’}}{R}} \right)}}$ biến $\left( {I;R} \right)$ thành $\left( {I’;R’} \right)$.

– Nếu $I \ne I’$ và $R \ne R’$ thì các phép vị tự ${V_{\left( {O;\dfrac{{R’}}{R}} \right)}}$ và ${V_{\left( {{O_1}; – \dfrac{{R’}}{R}} \right)}}$ biến $\left( {I;R} \right)$ thành $\left( {I’;R’} \right)$. Ta gọi $O$ là tâm vị tự ngoài còn ${O_1}$ là tâm vị tự trong của hai đường tròn.

Phép vị tự, toán phổ thông

Nếu $I \ne I’$ và $R = R’$ thì có ${V_{\left( {{O_1}; – 1} \right)}}$ biến $\left( {I;R} \right)$ thành $\left( {I’;R’} \right)$

Phép vị tự, toán phổ thông