Phép quay, toán phổ thông

Phép quay, toán phổ thông

1. Định nghĩa Phép quay

Cho điểm \(O\) và góc lượng giác \(\alpha \). Phép biến hình biến \(O\) thành chính nó và biến mỗi điểm \(M \ne O\) thành điểm \(M’\) sao cho \(OM’ = OM\) và góc lượng giác \(\widehat {\left( {OM,OM’} \right)} = \alpha \) được gọi là phép quay tâm \(O\), góc quay \(\alpha \).

Kí hiệu: \({Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\)

– Khi \(\alpha  = \left( {2k + 1} \right)\pi ,k \in Z\) thì \({Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\) là phép đối xứng tâm \(O\).

– Khi \(\alpha  = k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) thì \({Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\) là phép đồng nhất.

2. Tính chất của phép quay

– Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

– Biến một đường thẳng thành đường thẳng.

– Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

– Biến một tam giác bằng tam giác đã cho.

– Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Giả sử phép quay tâm \(I\) góc quay \(\alpha \) biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(d’\), khi đó:

– Nếu \(0 < \alpha  \le \dfrac{\pi }{2}\) thì góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) bằng \(\alpha \).

– Nếu \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) thì góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) bằng \(\pi  – \alpha \).

3. Biểu thức tọa độ của phép quay

Trong mặt phẳng \(Oxy\), giả sử \(M\left( {x;y} \right)\) và \(M’\left( {x’;y’} \right) = {Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\left( M \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = x\cos \alpha  – y\sin \alpha \\y’ = x\sin \alpha  + y\cos \alpha \end{array} \right.\)

Trong mặt phẳng \(Oxy\), giả sử \(M\left( {x;y} \right),I\left( {a;b} \right)\) và \(M’\left( {x’;y’} \right) = {Q_{\left( {I,\alpha } \right)}}\left( M \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = a + \left( {x – a} \right)\cos \alpha  – \left( {y – b} \right)\sin \alpha \\y’ = b + \left( {x – a} \right)\sin \alpha  + \left( {y – b} \right)\cos \alpha \end{array} \right.\)