1. Khái niệm đạo hàm

Khái niệm đạo hàm, toán phổ thông

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a;b} \right)\) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

Định nghĩa: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là có đạo hàm tại \(x = {x_0}\), kí hiệu \(f’\left( {{x_0}} \right)\) nếu giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = f’\left( {{x_0}} \right)$ tồn tại hữu hạn.

Ở đó,   \(\Delta x = x – {x_0}\) là số gia của biến số tại điểm \({x_0}\).

\(\Delta y = f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)\) là số gia của hàm số.

Ta thường hay sử dụng công thức \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)\) để tính số gia của hàm số ứng với số gia \(\Delta x\) tại điểm \({x_0}\).

Ví dụ: Tính số gia của hàm số \(y = {x^2}\) ứng với số gia \(\Delta x\) của biến số tại điểm \({x_0} =  – 2\).

Ta có: \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right) = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} – x_0^2 = x_0^2 + 2{x_0}.\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} – x_0^2 = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{x_0}.\Delta x\)

Vậy tại \({x_0} =  – 2\) thì \(\Delta y = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{x_0}.\Delta x = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2\left( { – 2} \right).\Delta x = {\left( {\Delta x} \right)^2} – 4\Delta x\).

2. Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

– Bước 1: Tính \(f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)\)

– Bước 2: Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\)

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^2}\) tại điểm \({x_0} =  – 2\).

– Bước 1: Ta có: \(f\left( x \right) – f\left( { – 2} \right) = {x^2} – {\left( { – 2} \right)^2} = {x^2} – 4\)

– Bước 2:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} \dfrac{{{x^2} – 4}}{{x – \left( { – 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} \dfrac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} \left( {x – 2} \right) =  – 2 – 2 =  – 4\)

Vậy \(f’\left( { – 2} \right) =  – 4\).

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì nó liên tục tại điểm \({x_0}\).

Ngược lại, hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\) thì chưa chắc đã có đạo hàm tại \({x_0}\).

Ví dụ: Xét hàm số \(y = \left| x \right|\) liên tục tại \({x_0} = 0\).

Tính: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right| – 0}}{{x – 0}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{x}{x} = 1;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \dfrac{x}{x} =  – 1 \) \(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\)

Vậy không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\).

Do đó không tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x = 0\).

Cảm xúc của bạn
Khái niệm đạo hàm, toán phổ thông
Khái niệm đạo hàm, toán phổ thông
Khái niệm đạo hàm, toán phổ thông
Khái niệm đạo hàm, toán phổ thông
Khái niệm đạo hàm, toán phổ thông
Bạn đã để lại cảm xúc
Thật tuyệt vời♥!Đừng quên chia sẻ bài viết nhé ♥