Các dạng vô định của giới hạn

Các dạng vô định của giới hạn

1. Dạng vô định \(\dfrac{0}{0}\)

Bài toán:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0\), trong đó \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các đa thức hoặc căn thức.

Phương pháp:

– Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử.

– Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.

– Bước 3: Tính giới hạn theo cách thông thường.

Nếu \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có chứa căn thức thì có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng thành tích và giản ước.

Đặc biệt:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1$

Ví dụ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x – 2}}{{{x^2} – 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x – 2}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{1}{{x – 1}} = \dfrac{1}{{2 – 1}} = 1$

2. Dạng vô định \(\dfrac{\infty }{\infty }\)

Bài toán:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x \right) =  \pm \infty \), trong đó \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các đa thức.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.

– Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của \(x\).

– Bước 3: Tính các giới hạn thông thường và suy ra kết quả.

Ví dụ: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} – 1} }}{{2x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 – \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{2x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \dfrac{{\left| x \right|\sqrt {1 – \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{2x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \dfrac{{ – x\sqrt {1 – \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{2x}} =  – \dfrac{1}{2}\)

Cần xét xem \(x \to  + \infty ,x \to  – \infty \) khi khai căn biểu thức có chứa căn bậc hai.

3. Dạng vô định \(0.\infty \)

Bài toán:

Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) =  \pm \infty $.

Phương pháp:

– Bước 1: Biến đổi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{\dfrac{1}{{g\left( x \right)}}}}$ để đưa về dạng \(\dfrac{0}{0}\) hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{g\left( x \right)}}{{\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}}}$ để đưa về dạng \(\dfrac{\infty }{\infty }\).

– Bước 2: Sử dụng các phương pháp của dạng 1 và 2 để tính tiếp giới hạn.

4. Dạng vô định \(\infty – \infty \)

Bài toán:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) =  + \infty \) hoặc tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) =  – \infty \).

Phương pháp:

– Bước 1: Nhận hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức.

– Bước 2: Thực hiện tính giới hạn dựa theo các dạng đã biết.