Các dạng vô định của giới hạn

Các dạng vô định của giới hạn

1. Dạng vô định \(\dfrac{0}{0}\)

Bài toán:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0\), trong đó \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các đa thức hoặc căn thức.

Phương pháp:

– Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử.

– Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.

– Bước 3: Tính giới hạn theo cách thông thường.

Nếu \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có chứa căn thức thì có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng thành tích và giản ước.

Đặc biệt:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1$

Ví dụ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x – 2}}{{{x^2} – 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x – 2}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{1}{{x – 1}} = \dfrac{1}{{2 – 1}} = 1$

2. Dạng vô định \(\dfrac{\infty }{\infty }\)

Bài toán:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x \right) =  \pm \infty \), trong đó \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các đa thức.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.

– Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của \(x\).

– Bước 3: Tính các giới hạn thông thường và suy ra kết quả.

Ví dụ: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} – 1} }}{{2x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 – \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{2x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \dfrac{{\left| x \right|\sqrt {1 – \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{2x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \dfrac{{ – x\sqrt {1 – \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{2x}} =  – \dfrac{1}{2}\)

Cần xét xem \(x \to  + \infty ,x \to  – \infty \) khi khai căn biểu thức có chứa căn bậc hai.

3. Dạng vô định \(0.\infty \)

Bài toán:

Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) =  \pm \infty $.

Phương pháp:

– Bước 1: Biến đổi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{\dfrac{1}{{g\left( x \right)}}}}$ để đưa về dạng \(\dfrac{0}{0}\) hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{g\left( x \right)}}{{\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}}}$ để đưa về dạng \(\dfrac{\infty }{\infty }\).

– Bước 2: Sử dụng các phương pháp của dạng 1 và 2 để tính tiếp giới hạn.

4. Dạng vô định \(\infty – \infty \)

Bài toán:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) =  + \infty \) hoặc tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) =  – \infty \).

Phương pháp:

– Bước 1: Nhận hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức.

– Bước 2: Thực hiện tính giới hạn dựa theo các dạng đã biết.

Cảm xúc của bạn
Các dạng vô định của giới hạn
Các dạng vô định của giới hạn
Các dạng vô định của giới hạn
Các dạng vô định của giới hạn
Các dạng vô định của giới hạn
Bạn đã để lại cảm xúc
Thật tuyệt vời♥!Đừng quên chia sẻ bài viết nhé ♥