Giới hạn của hàm số, toán phổ thông

Giới hạn của hàm số, toán phổ thông

1. Giới hạn của hàm số tại một điểm

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\) dần tới \({x_0}\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\).

Nhận xét: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c\)  với \(c\) là hằng số.

Định lý: Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\). Khi đó:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right] = L – M\)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{L}{M}\) với \(M \ne 0\)

Nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì \(L \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt L \).

2. Giới hạn một bên

Số \(L\) là:

+ giới hạn bên phải của hàm số \(y = f\left( x \right)\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\)

+ giới hạn bên trái của hàm số \(y = f\left( x \right)\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = L\)

Định lý: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = L\)

3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x \to  + \infty \) (hoặc \(x \to  – \infty \))  kí hiệu là:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = L\) (hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } f\left( x \right) = L\))

Với \(c,k\) là hằng số và \(k\) nguyên dương, ta luôn có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0\).

4. Giới hạn vô cực của hàm số

a) Giới hạn vô cực

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là \( \pm \infty \) khi \(x \to  \pm \infty \) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = x =  \pm \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty  \) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ { – f\left( x \right)} \right] =  – \infty \)

b) Một vài giới hạn đặc biệt

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^k} =  + \infty \) với \(k\) nguyên dương.

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {x^k} =  + \infty \) nếu \(k\) chẵn và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {x^k} =  – \infty \) nếu \(k\) lẻ.

Cảm xúc của bạn
Giới hạn của hàm số, toán phổ thông
Giới hạn của hàm số, toán phổ thông
Giới hạn của hàm số, toán phổ thông
Giới hạn của hàm số, toán phổ thông
Giới hạn của hàm số, toán phổ thông
Bạn đã để lại cảm xúc
Thật tuyệt vời♥!Đừng quên chia sẻ bài viết nhé ♥