Giới hạn của hàm số, toán phổ thông

Giới hạn của hàm số, toán phổ thông

1. Giới hạn của hàm số tại một điểm

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\) dần tới \({x_0}\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\).

Nhận xét: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c\)  với \(c\) là hằng số.

Định lý: Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\). Khi đó:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right] = L – M\)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{L}{M}\) với \(M \ne 0\)

Nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì \(L \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt L \).

2. Giới hạn một bên

Số \(L\) là:

+ giới hạn bên phải của hàm số \(y = f\left( x \right)\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\)

+ giới hạn bên trái của hàm số \(y = f\left( x \right)\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = L\)

Định lý: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = L\)

3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x \to  + \infty \) (hoặc \(x \to  – \infty \))  kí hiệu là:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = L\) (hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } f\left( x \right) = L\))

Với \(c,k\) là hằng số và \(k\) nguyên dương, ta luôn có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0\).

4. Giới hạn vô cực của hàm số

a) Giới hạn vô cực

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là \( \pm \infty \) khi \(x \to  \pm \infty \) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = x =  \pm \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty  \) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ { – f\left( x \right)} \right] =  – \infty \)

b) Một vài giới hạn đặc biệt

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^k} =  + \infty \) với \(k\) nguyên dương.

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {x^k} =  + \infty \) nếu \(k\) chẵn và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {x^k} =  – \infty \) nếu \(k\) lẻ.