Phương pháp tính giới hạn dãy số

Phương pháp tính giới hạn dãy số

Dạng 1: Tính giới hạn dãy đa thức

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của \(n\) ra làm nhân tử chung.

– Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân các giới hạn để tính giới hạn.

Ví dụ: Tính giới hạn \(\lim \left( {{n^3} – {n^2} + n – 1} \right)\).

Ta có: \(\lim \left( {{n^3} – {n^2} + n – 1} \right) = \lim {n^3}\left( {1 – \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}} – \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right) =  + \infty \)

Dạng 2: Tính giới hạn dãy số hữu tỉ

Phương pháp:

– Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu.

– Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn của thương để tính giới hạn.

Ví dụ: Tính giới hạn \(\lim \dfrac{{2n – 1}}{{n + 1}}\).

Ta có: \(\lim \dfrac{{2n – 1}}{{n + 1}} = \lim \dfrac{{2 – \dfrac{1}{n}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = \dfrac{2}{1} = 2\)

Dạng 3: Giới hạn của dãy số chứa căn thức

Phương pháp:

– Bước 1: Xét xem sử dụng phương pháp ở dạng 1 có dùng được không.

+) Nếu được thì ta dùng phương pháp ở dạng 1.

+) Nếu không ta sẽ chuyển qua bước dưới đây:

– Bước 2: Nhân, chia với biểu thức liên hợp thích hợp và đưa về dạng 1.

Ví dụ: Tính giới hạn \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  – n} \right)\).

Ta có:

$\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  – n} \right)=$ $  \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  – n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  + n} \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  + n} \right)}} $ $= \lim \dfrac{{{n^2} + 2n – {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  + n} \right)}}$ $= \lim \dfrac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n}  + n}}$ $= \lim \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}}  + 1}} = \dfrac{2}{{1 + 1}} = 1$

Dạng 4: Dãy số chứa lũy thừa, mũ

Phương pháp:

– Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa với cơ số lớn nhất.

– Bước 2: Sử dụng nhận xét \(\lim {q^n} = 0\) với \(\left| q \right| < 1\).

Ví dụ: \(\lim \dfrac{{{2^n} + {5^n}}}{{{{2.3}^n} + {{3.5}^n}}} = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} + 1}}{{2.{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + 3.1}} = \dfrac{{0 + 1}}{{2.0 + 3}} = \dfrac{1}{3}\)

Dạng 5: Tính giới hạn bằng chứng minh hoặc dùng định nghĩa

Phương pháp:

Sử dụng định lý kẹp: Cho ba dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right),\left( {{w_n}} \right)\).

Nếu \({u_n} < {v_n} < {w_n},\forall n\) và \(\lim {u_n} = \lim {w_n} = L \Rightarrow \lim {v_n} = L\).

Ta thường sử dụng phương pháp này cho việc tính giới hạn các dãy số có chứa \(\sin ,\cos \).

Ví dụ: Tính \(\lim \dfrac{{\sin 3n}}{n}\).

Ta có: \( – 1 \le \sin 3n \le 1 \Rightarrow \dfrac{{ – 1}}{n} \le \dfrac{{\sin 3n}}{n} \le \dfrac{1}{n}\)

Mà \(\lim \left( { – \dfrac{1}{n}} \right) = 0;\lim \left( {\dfrac{1}{n}} \right) = 0\)  nên \(\lim \dfrac{{\sin 3n}}{n} = 0\).

Cảm xúc của bạn
Phương pháp tính giới hạn dãy số
Phương pháp tính giới hạn dãy số
Phương pháp tính giới hạn dãy số
Phương pháp tính giới hạn dãy số
Phương pháp tính giới hạn dãy số
Bạn đã để lại cảm xúc
Thật tuyệt vời♥!Đừng quên chia sẻ bài viết nhé ♥