1. Dãy số có giới hạn 0

Định nghĩa: 

Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \(0\) nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = 0\), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = 0\) hoặc \(\lim {u_n} = 0\).

Một số dãy số có giới hạn \(0\) thường gặp:

\(\lim \dfrac{1}{n} = 0,\lim \dfrac{1}{{\sqrt n }} = 0,\lim \dfrac{1}{{\sqrt[3]{n}}} = 0,..\)

Định lý 1:

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi \(n\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Định lý 2: 

Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).

2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: 

Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực \(L\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} – L} \right) = 0\).

Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = L\), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = L\) hoặc \(\lim {u_n} = L\).

Định lý 1:

Giả sử \(\lim {u_n} = L\). Khi đó:

i) \(\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|\) và \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}\).

ii) Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi \(n\) thì \(L \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L \)

Định lý 2:

Giả sử \(\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M\) và \(c\) là một hằng số. Khi đó:

i) Các dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right),\left( {{u_n} – {v_n}} \right),\left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và \(\left( {c.{u_n}} \right)\) có giới hạn là:

+) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M\)

+) \(\lim \left( {{u_n} – {v_n}} \right) = L – M\)

+) \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = L.M\)

+) \(\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.L\)

ii) Nếu \(M \ne 0\) thì dãy số \(\left( {\dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right)\) có giới hạn là \(\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \dfrac{L}{M}\).

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Với cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q\) thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) thì:

\(S = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} + … = \dfrac{{{u_1}}}{{1 – q}}\)

3. Dãy số có giới hạn vô cực

Định nghĩa:

a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( + \infty \) nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) =  + \infty \), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) =  + \infty \) hoặc \(\lim {u_n} =  + \infty \).

b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( – \infty \) nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) =  – \infty \), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) =  – \infty \) hoặc \(\lim {u_n} =  – \infty \).

Nhận xét:

i) \(\lim n = + \infty ,\lim \sqrt n =  + \infty ,\) \(\lim \sqrt[3]{n} =  + \infty \)

ii) Nếu \(\lim {u_n} = – \infty \) thì \(\lim \left( { – {u_n}} \right) = + \infty \)

Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực:

Giới hạn của dãy số, toán phổ thông
Cảm xúc của bạn
Giới hạn của dãy số, toán phổ thông
Giới hạn của dãy số, toán phổ thông
Giới hạn của dãy số, toán phổ thông
Giới hạn của dãy số, toán phổ thông
Giới hạn của dãy số, toán phổ thông
Bạn đã để lại cảm xúc
Thật tuyệt vời♥!Đừng quên chia sẻ bài viết nhé ♥