1. Dãy số có giới hạn 0

Định nghĩa: 

Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \(0\) nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = 0\), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = 0\) hoặc \(\lim {u_n} = 0\).

Một số dãy số có giới hạn \(0\) thường gặp:

\(\lim \dfrac{1}{n} = 0,\lim \dfrac{1}{{\sqrt n }} = 0,\lim \dfrac{1}{{\sqrt[3]{n}}} = 0,..\)

Định lý 1:

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi \(n\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Định lý 2: 

Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).

2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: 

Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực \(L\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} – L} \right) = 0\).

Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = L\), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = L\) hoặc \(\lim {u_n} = L\).

Định lý 1:

Giả sử \(\lim {u_n} = L\). Khi đó:

i) \(\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|\) và \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}\).

ii) Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi \(n\) thì \(L \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L \)

Định lý 2:

Giả sử \(\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M\) và \(c\) là một hằng số. Khi đó:

i) Các dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right),\left( {{u_n} – {v_n}} \right),\left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và \(\left( {c.{u_n}} \right)\) có giới hạn là:

+) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M\)

+) \(\lim \left( {{u_n} – {v_n}} \right) = L – M\)

+) \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = L.M\)

+) \(\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.L\)

ii) Nếu \(M \ne 0\) thì dãy số \(\left( {\dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right)\) có giới hạn là \(\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \dfrac{L}{M}\).

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Với cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q\) thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) thì:

\(S = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} + … = \dfrac{{{u_1}}}{{1 – q}}\)

3. Dãy số có giới hạn vô cực

Định nghĩa:

a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( + \infty \) nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) =  + \infty \), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) =  + \infty \) hoặc \(\lim {u_n} =  + \infty \).

b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( – \infty \) nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) =  – \infty \), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) =  – \infty \) hoặc \(\lim {u_n} =  – \infty \).

Nhận xét:

i) \(\lim n = + \infty ,\lim \sqrt n =  + \infty ,\) \(\lim \sqrt[3]{n} =  + \infty \)

ii) Nếu \(\lim {u_n} = – \infty \) thì \(\lim \left( { – {u_n}} \right) = + \infty \)

Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực:

Giới hạn của dãy số, toán phổ thông