1. Khái niệm Cấp số cộng

Cấp số cộng, toán lớp 11

– Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_n} = {u_{n – 1}} + d,\forall n \ge 2\)

– Số \(d\) được gọi là công sai của cấp số cộng.

– Tính chất:

+) \({u_k} = \dfrac{{{u_{k – 1}} + {u_{k + 1}}}}{2},\forall k \ge 2\)

+) Số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d\)

+) Tổng \(n\) số hạng đầu: \({S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = \dfrac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2} = \dfrac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right].n}}{2}\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Phương pháp:

– Bước 1: Tính \(d = {u_n} – {u_{n – 1}},\forall n \ge 2\).

– Bước 2: Kết luận:

+ Nếu \(d\) là số không đổi thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng.

+ Nếu \(d\) thay đổi theo \(n\) thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.

Dạng 2: Tìm công sai của cấp số cộng.

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất của cấp số cộng, biến đổi để tính công sai của cấp số cộng.

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d\)

Dạng 4: Tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của dãy.

Phương pháp:

Sử dụng công thức \({S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = \dfrac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2} = \dfrac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right].n}}{2}\)

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

Phương pháp chung:

– Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu \({u_1}\), công sai \(d\).

– Tìm công thức cho số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d\).