1.Phương pháp quy nạp toán học

Phương pháp quy nạp toán học

Bài toán:

Gọi \(P\left( n \right)\) là một mệnh đề chứa biến \(n\left( {n \in {N^*}} \right)\). Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \in {N^*}\).

Phương pháp quy nạp toán học:

– Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = 1\).

– Bước 2: Với \(k\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k \ge 1\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\).

Đối với bài toán chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với mọi \(n \ge p\) với \(p\) là số tự nhiên cho trước thì:

– Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = p\).

– Bước 2: Với \(k \ge p\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\).

Ví dụ: Chứng minh \({n^7} – n\) chia hết cho \(7\) với mọi \(n \in {N^*}\).

Giải:

Đặt \(P\left( n \right) = {n^7} – n\).

– Với \(n = 1\) thì \(P\left( 1 \right) = {1^7} – 1 = 0 \vdots 7\) nên \(P\left( 1 \right)\) đúng.

– Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \in {N^*}\), tức là \(P\left( k \right) = \left( {{k^7} – k} \right) \vdots 7\).

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là: \(P\left( {k + 1} \right) = {\left( {k + 1} \right)^7} – \left( {k + 1} \right) \vdots 7\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {k + 1} \right)^7} – \left( {k + 1} \right) = C_7^0.{k^7} + C_7^1.{k^6} + C_7^2.{k^5} + C_7^3.{k^4} + C_7^4.{k^3} + C_7^5.{k^2} + C_7^6.k + C_7^7 – \left( {k + 1} \right)\\ = {k^7} + 7{k^6} + 21{k^5} + 35{k^4} + 35{k^3} + 21{k^2} + 7k + 1 – k – 1 = \left( {{k^7} – k} \right) + 7\left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right)\end{array}\)

Do \({k^7} – k \vdots 7\) và \(7\left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right) \vdots 7\) nên \(P\left( {k + 1} \right) = {\left( {k + 1} \right)^7} – \left( {k + 1} \right) \vdots 7\).

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

2.Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh mệnh đề.

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học đã nêu ở trên.

Dạng 2: Tìm công thức tổng quát cho tổng dãy số.

Phương pháp:

– Bước 1: Dự đoán công thức tổng quát cho tổng dãy số.

– Bước 2: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức vừa dự đoán.

Cảm xúc của bạn
Phương pháp quy nạp toán học
Phương pháp quy nạp toán học
Phương pháp quy nạp toán học
Phương pháp quy nạp toán học
Phương pháp quy nạp toán học
Bạn đã để lại cảm xúc
Thật tuyệt vời♥!Đừng quên chia sẻ bài viết nhé ♥