1.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Phương pháp chung:

– Bước 1: Biến đổi các phương trình đã cho về dạng tích \(A.B = 0\) hoặc sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, nhân đôi, nhân ba,…

– Bước 2: Giải các phương trình lượng giác cơ bản, tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện (nếu có).

Ví dụ: Giải phương trình: \(\cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0\)

Giải:

pt\( \Leftrightarrow \)\(\cos 4x + \cos 2x + \cos 3x = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(2\cos 3x\cos x + \cos 3x = 0\)

\( \Leftrightarrow \)\(\cos 3x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}\cos 3x = 0\\\cos x =  – \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}3x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\\cos x = \cos \dfrac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3}\\x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\),\(k \in \mathbb{Z}\)

2.Phương trình bậc hai đối với một số hàm số lượng giác

Phương trình dạng \(a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c = 0\left( {a,b,c \in R;a \ne 0} \right)\), ở đó \(f\left( x \right) = \sin u\left( x \right)\) (hoặc \(\cos u\left( x \right),\tan u\left( x \right),\cot u\left( x \right)\)).

Phương pháp chung:

– Bước 1: Đặt \(t = f\left( x \right)\) và đặt điều kiện cho \(t\).

– Bước 2: Thay \(t\) vào phương trình và giải phương trình bậc hai đối với \(t\), kết hợp điều kiện tìm \(t\).

– Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = t\) tìm \(x\) và kết luận (chú ý kiểm tra điều kiện nếu có của \(x\)).

Ví dụ: Giải phương trình: \(2{\sin ^2}x + 3\sin x-2 = 0\).

Giải:

Đặt \(t = \sin x\), \( – 1 \le t \le 1\). PT trở thành: \(2{t^2} + 3t-2 = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}t =  – \dfrac{1}{2}\\t =  – 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

Suy ra: \(\sin x – \dfrac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \) \(\sin x = \sin \left( { – \dfrac{\pi }{6}} \right)\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x =  – \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x =  – \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\), \(k \in \mathbb{Z}\)

3.Phương trình bậc nhất đối với\(\sin x\)và \(\cos x\)

Phương trình dạng: \(a\cos x + b\sin x = c\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\).

Phương pháp chung:

Cách 1: (Thường dùng cho giải phương trình)

– Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

– Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) thì phương trình có dạng:

\(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

– Bước 3: Đặt \(\cos \alpha  = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\sin \alpha  = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) thì phương trình trở thành \(\cos \left( {x – \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

– Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm \(x\).

Cách 2: (Thường dùng để giải và biện luận):

– Bước 1: Xét \(x = \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) có là nghiệm hay không.

– Bước 2: Xét \(x \ne \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) thì đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2} \Rightarrow \sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\cos x = \dfrac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\) ta được phương trình bậc hai theo \(t:\left( {b + c} \right){t^2} – 2at + c – b = 0\).

– Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(t \Rightarrow x\) và kiểm tra điều kiện, kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình: \(\sqrt 3 \sin x-\cos x =  – 2\)

Giải:

\(\sqrt 3 \sin x-\cos x =  – 2\)\( \Leftrightarrow \)\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x – \dfrac{1}{2}\cos x =  – 1\) \( \Leftrightarrow \) \(\sin x\cos \dfrac{\pi }{6} – \cos x\sin \dfrac{\pi }{6} =  – 1\)

\( \Leftrightarrow \) \(\sin \left( {x – \dfrac{\pi }{6}} \right) =  – 1\) \( \Leftrightarrow \)\(x – \dfrac{\pi }{6} =  – \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \) \( \Leftrightarrow \) \(x =  – \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)

4.Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với\(\sin x\)và \(\cos x\)

Phương trình dạng \({a{{\sin }^2}x + b\sin x\cos x + c{{\cos }^2}x = 0}\)

Cách giải.  

+) Kiểm tra \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) có là nghiệm của phương trình hay không.

+) Khi \(\cos x \ne 0\), chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta thu được phương trình

\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0.\)

Đây là phương trình bậc hai đối với \(\tan x\) mà ta đã biết cách giải.

Đặc biệt. Phương trình dạng \(a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\) ta làm như sau:

Phương trình \( \Leftrightarrow a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d.1\)

\( \Leftrightarrow a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {a – d} \right){\sin ^2}x + b\sin x\cos x + \left( {c – d} \right){\cos ^2}x = 0.\)

Ví dụ: Giải phương trình:\(4{\cos ^2}\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 3si{n^2}\dfrac{x}{2} = 3\)

Giải

+) TH1: \(\cos \dfrac{x}{2} = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x = 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} = 0\\{\sin ^2}\dfrac{x}{2} = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {4.0^2} + \dfrac{1}{2}.0 + 3.1 = 3\) (luôn đúng) \( \Rightarrow \cos \dfrac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) là nghiệm của phương trình.

+) TH2: \(\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình có \(\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\) ta được phương trình tương đương:

\(\begin{array}{l}4\dfrac{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + \dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + 3\dfrac{{si{n^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{3}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ \Leftrightarrow 4 + \tan \dfrac{x}{2} + 3{\tan ^2}\dfrac{x}{2} = 3\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)\end{array}\)

Đặt t = tan\(\dfrac{x}{2}\) thì phương trình trở thành: \(3{t^2} + t + 4 = 3\left( {1 + {t^2}} \right)\)

\(t =  – 1 \Leftrightarrow \tan \dfrac{x}{2} =  – 1 \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} =  – \dfrac{\pi }{4} + k\pi  \Leftrightarrow x =  – \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.

5.Phương trình đối xứng và dạng đối xứng với\(\sin x\)và \(\cos x\)

Phương trình dạng \(a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\).

Phương pháp chung:

– Bước 1: Đặt \(\sin x + \cos x = t \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} – 1}}{2}\).

– Bước 2: Thay vào phương trình tìm \(t\).

– Bước 3: Giải phương trình \(\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = t\) để tìm \(x\).

Ví dụ: Giải phương trình: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos {\rm{x  = }}\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\sqrt {1 + \sin {\rm{x}}{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \)

Giải

Đặt \(t = \sin x + \cos x\)\( = \sqrt 2 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\) \( \Rightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.cosx = \dfrac{{{t^2} – 1}}{2}\)

Khi đó \(pt \Leftrightarrow \sqrt 6 .\sqrt {{t^2} + 1}  = 3t;t \in \left[ {0;\sqrt 2 } \right]\)

\( \Leftrightarrow 6({t^2} + 1) = 9{t^2}\) \( \Leftrightarrow {t^2} = 2 \Leftrightarrow t = \sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + 2k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm như trên.

Cảm xúc của bạn
Phương trình lượng giác thường gặp
Phương trình lượng giác thường gặp
Phương trình lượng giác thường gặp
Phương trình lượng giác thường gặp
Phương trình lượng giác thường gặp
Bạn đã để lại cảm xúc
Thật tuyệt vời♥!Đừng quên chia sẻ bài viết nhé ♥