Tổng của hai véc tơ, toán phổ thông

1. Tổng hai vectơ

a) Định nghĩa

Cho hai vectơ $\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow b $. Từ điểm A tùy ý vẽ $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a $  rồi từ B vẽ $\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b $.

Khi đó vectơ $\overrightarrow {AC} $ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow b $.

Kí hiệu $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b $
Tổng của hai véc tơ, toán phổ thông 9

b) Tính chất

+ Giao hoán : $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a $

+  Kết hợp : $\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)$

+ Tính chất vectơ – không: $\overrightarrow a  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow a {\rm{, }}\forall \overrightarrow a $

2. Các quy tắc

Quy tắc ba điểm: Cho $A,B,C$ tùy ý, ta có : $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} $

Quy tắc hình bình hành: Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} $

Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm ${A_1},\,{A_2},\,…,\,{A_n}$ thì $\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  + \overrightarrow {{A_2}{A_3}}  + … + \overrightarrow {{A_{n – 1}}{A_n}}  = \overrightarrow {{A_1}{A_n}} $

3. Các điểm đặc biệt

a) Trung điểm

Cho \(I\) là trung điểm \(AB\) và một điểm \(M\) bất kì, khi đó:

+) \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \).

+) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \).

Ngược lại, nếu có 2 tính chất trên ta cũng suy ra $I$ là trung điểm của $AB$

b) Trọng tâm

Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(M\) là một điểm bất kì, khi đó:

+) \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

+) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \).

Chứng minh:
Tổng của hai véc tơ, toán phổ thông 11
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) và \(D\) đối xứng \(G\) qua \(I\)

Khi đó \(BGCD\) là hình bình hành.

Suy ra \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GD} \) (quy tắc hình bình hành)

Mà \(GA = GD = 2GI\) nên \(G\) là trung điểm của \(AD\)

Do đó \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \) (tính chất trung điểm)

Vậy \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)

Với \(M\) là điểm bất kì thì:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} \) \( = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} \) \( = 3\overrightarrow {MG}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \)

Ngược lại, nếu có hai tính chất trên ta cũng suy ra ngược lại rằng $G$ là trọng tâm của tam giác.

4. Vectơ đối của một vec 

Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow a $ là vectơ ngược hướng và có cùng độ dài với vectơ $\overrightarrow a $

Kí hiệu $ – \overrightarrow a $

Như vậy $\overrightarrow a  + \left( { – \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow 0 {\rm{, }}\forall \overrightarrow a $ và \(\overrightarrow {AB}  =  – \overrightarrow {BA} \)

5. Định nghĩa hiệu hai vec 

Hiệu của hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ là tổng của vectơ $\overrightarrow a $ và vectơ đối của vectơ $\overrightarrow b $.

Kí hiệu là $\overrightarrow a  – \overrightarrow b  = \overrightarrow a  + \left( { – \overrightarrow b } \right)$

Quy tắc về hiệu vectơ: Cho $O,A,B$  tùy ý ta có: $\overrightarrow {OB}  – \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {AB} $

+1
0
+1
0
+1
0
+1
0
+1
0
Subscribe
Notify of
guest

0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments
Scroll to Top