Các bài toán về mặt cầu, toán phổ thông

Các bài toán về mặt cầu, toán phổ thông

BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG

1. Kiến thức cần nhớ

Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\) bán kính \(R\). Khi đó:

– \(\left( S \right) \cap \left( P \right) = \emptyset  \Leftrightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) > R\).

– \(\left( S \right) \cap \left( P \right) = \left\{ H \right\} \Leftrightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\).

ở đó, \(H\) là tiếp điểm, \(\left( P \right)\) là tiếp diện và \(OH \bot \left( P \right)\) tại \(H\).

– \(\left( S \right) \cap \left( P \right) = C\left( {H;r} \right) \Leftrightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) < R\).

ở đó : với \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( P \right)\).

Đặc biệt: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 0\) hay \(\left( P \right)\) đi qua \(I\) thì \(\left( S \right) \cap \left( P \right) = C\left( {I;R} \right)\).

\(C\left( {I;R} \right)\) được gọi là đường tròn lớn, \(\left( P \right)\) là mặt phẳng kính.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc hoặc cắt mặt phẳng cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính bán kính mặt cầu dựa vào các điều kiện bài cho:

+ Tiếp xúc mặt phẳng nếu \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\)

+ Cắt mặt phẳng theo giao tuyến và đường tròn bán kính \(r\) thì \(R^2 = {r^2} + {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)\)

– Bước 2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc, giao với mặt cầu cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm VTPT của mặt phẳng dựa vào điều kiện bài cho.

+ Tiếp xúc mặt cầu tại điểm \(M\) thì \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {IM} \)

+ Song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) và cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính \(r\) thì thì \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} – {r^2}} \).

– Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng.

BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

1. Kiến thức cần nhớ

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\), bán kính \(R\) và đường thẳng \(\Delta \) (đi qua \(M\) và có VTCP \(\overrightarrow u \)). Khi đó:

+) \(\Delta  \cap \left( S \right) = \emptyset  \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) > R\).

+) \(\Delta  \cap \left( S \right) = \left\{ H \right\} \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R\).

+) \(\Delta  \cap \left( S \right) = \left\{ {A,B} \right\} \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) < R\).

ở đó \({R^2} = {d^2}\left( {I,\Delta } \right) + \dfrac{{A{B^2}}}{4}\) và \(AB = 2\sqrt {{R^2} – {d^2}\left( {I,\Delta } \right)} \)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

Phương pháp:

Cách 1: Sử dụng lý thuyết vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

– Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và so sánh với \(R\).

– Bước 2: Kết luận dựa vào các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

Cách 2: Xét phương trình giao điểm của đường thẳng và mặt cầu.

– Nếu phương trình vô nghiệm thì đường thẳng không có điểm chung với mặt cầu.

– Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu.

– Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu ở dạng tổng quát.

– Bước 2: Xét phương trình giao điểm của \(d\) và \(\left( S \right)\), điều kiện để mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng là phương trình giao điểm có nghiệm duy nhất.

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng có mối quan hệ với đường thẳng và mặt cầu.

Phương pháp chung:

Xác định điểm đi qua và VTPT của mặt phẳng, từ đó viết phương trình.