Ứng dụng tích phân tính diện tích

1. Ứng dụng tích phân tính diện tích

Ứng dụng tích phân tính diện tích

– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\):

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\):

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng nếu biết hai đường giới hạn

Phương pháp:

– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) được tính bởi công thức:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\)được tính bởi công thức:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \)

Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng nếu chưa biết hai đường giới hạn

Phương pháp:

– Bước 1: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) tìm nghiệm.

– Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức \(\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|\)

– Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \)

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}$ và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng nhất.

A. $3\ln 6$

B. \(3\ln \dfrac{3}{2}\)

C. \(3\ln \dfrac{3}{2} – 2\)

D.\(3\ln \dfrac{3}{2} – 1\)

Hướng dẫn

Giải:

Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại $\left( {-1;0} \right)$, cắt $Oy$ tại $\left( {0; – \dfrac{1}{2}} \right)$.

Hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}$ có \(y’ = \dfrac{{ – 3}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \left( { – 1;0} \right)\) nên hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}$ nghịch biến trên $\left( {-1;0} \right)$.

Do đó \(y < 0,\forall x \in \left( { – 1;0} \right)\)

Do đó $S = \int\limits_{ – 1}^0 {\left| {\dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}} \right|} dx = \int\limits_{ – 1}^0 {\left( { – \dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}} \right)} dx =  – \int\limits_{ – 1}^0 {\left( {1 + \dfrac{3}{{x – 2}}} \right)} dx $

$=  – \left( {x + 3\ln \left| {x – 2} \right|\mathop |\nolimits_{ – 1}^0 } \right) =  – 3\ln 2 – 1 + 3\ln 3 = 3\ln \dfrac{3}{2} – 1$

Chọn D.

[Ẩn HD]
Theo dõi
Notify of
0 BÌNH LUẬN
Inline Feedbacks
Xem toàn bộ bình luận
0
Tham gia thảo luậnx
()
x