Xác định hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton, Đại số giải tích 11

Chọn B

Ta có: ${{\left( 2a-b \right)}^{5}}=C_{5}^{0}{{\left( 2a \right)}^{5}}-C_{5}^{1}{{\left( 2a \right)}^{4}}b+C_{5}^{2}{{\left( 2a \right)}^{3}}{{b}^{2}}+…$

Do đó hệ số của số hạng thứ 3 bằng$C_{5}^{2}.8=80$.

Chọn C

Trong khai triển ${{\left( a+2 \right)}^{n+6}},\left( n\in \mathbb{N} \right)$ có tất cả $n+7$ số hạng.

Do đó $n+7=17\Leftrightarrow n=10$.

Chọn D

Trong khai triển ${{\left( 3{{x}^{2}}-y \right)}^{10}}$có tất cả $11$ số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ $6$.

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là$-{{3}^{5}}.C_{10}^{5}$.

Chọn A

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}={{(-1)}^{k}}C_{8}^{k}.{{(2x)}^{8-k}}{{(5y)}^{k}}={{(-1)}^{k}}C_{8}^{k}{{.2}^{8-k}}{{5}^{k}}.{{x}^{8-k}}.{{y}^{k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=3$. Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{5}}.{{y}^{3}}$ là:$-22400$.

Chọn C

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}.{{x}^{6-k}}{{2}^{k}}.{{x}^{-\dfrac{1}{2}k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $6-k-\dfrac{1}{2}k=3\Leftrightarrow k=3$.

Khi đó hệ số của ${{x}^{3}}$ là:$C_{6}^{3}{{.2}^{3}}=160$.

Chọn A

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{7}^{k}.{{a}^{14-2k}}.{{b}^{-k}}$

Vậy số hạng thứ 5 là ${{T}_{5}}=C_{7}^{4}.{{a}^{6}}.{{b}^{-4}}=35.{{a}^{6}}.{{b}^{-4}}$

Chọn D

Ta có: ${{\left( 2a-1 \right)}^{6}}=C_{6}^{0}{{.2}^{6}}{{a}^{6}}-C_{6}^{1}{{.2}^{5}}{{a}^{5}}+C_{6}^{2}{{.2}^{4}}{{a}^{4}}-…$

Vậy tổng 3 số hạng đầu là $64{{a}^{6}}-192{{a}^{5}}+240{{a}^{4}}$.

Chọn A

Ta có: ${{\left( x-\sqrt{y} \right)}^{16}}=C_{16}^{0}{{x}^{16}}-C_{16}^{1}{{x}^{15}}.\sqrt{y}+…-C_{16}^{15}x{{\left( \sqrt{y} \right)}^{15}}+C_{16}^{16}{{\left( \sqrt{y} \right)}^{16}}$

Chọn C

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}={{\left( -1 \right)}^{k}}C_{6}^{k}{{.8}^{6-k}}{{a}^{12-2k}}{{.2}^{-k}}{{b}^{k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=3$.

Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{a}^{9}}{{b}^{3}}$ là:$-1280{{a}^{9}}.{{b}^{3}}$.

Chọn D

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{9}^{k}.{{x}^{9-k}}{{8}^{k}}.{{x}^{-2k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $9-k-2k=0\Leftrightarrow k=3$.

Khi đó số hạng không chứa $x$ là:$C_{9}^{3}{{.8}^{3}}=43008$.

Chọn D

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{10}^{k}{{.2}^{10-k}}.{{x}^{10-k}}.{{\left( -1 \right)}^{k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $10-k=8\Leftrightarrow k=2$.

Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ là:$C_{10}^{2}{{.2}^{8}}=11520$.

Chọn A

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{8}^{k}.{{a}^{8-k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{b}^{k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=4$.

Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{a}^{4}}.{{b}^{4}}$ là:$C_{8}^{4}{{.2}^{4}}=1120$.

Chọn A

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{7}^{k}{{.3}^{7-k}}{{x}^{7-k}}.{{\left( -1 \right)}^{k}}.{{y}^{k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=3$.

Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{4}}.{{y}^{3}}$ là:$-C_{7}^{3}{{.3}^{4}}.{{x}^{4}}.{{y}^{3}}=-2835.{{x}^{4}}.y$.

Chọn D

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{5}^{k}.{{(0,2)}^{5-k}}.{{(0,8)}^{k}}$

Vậy số hạng thứ tư là ${{T}_{4}}=C_{5}^{3}.{{(0,2)}^{2}}.{{(0,8)}^{3}}=0,2028$

Chọn D

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}.{{x}^{k}}.C_{6}^{m}.{{y}^{m}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=m=3$.

Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{3}}{{y}^{3}}$ là:$C_{6}^{3}.C_{6}^{3}=400$.

Chọn D

Số hạng chính giữa trong khai triển trên là số hạng thứ ba: $C_{4}^{2}{{\left( 3x \right)}^{2}}{{\left( 2y \right)}^{2}}=6{{\left( 3x \right)}^{2}}{{\left( 2y \right)}^{2}}$.

Chọn B

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{11}^{k}.{{x}^{11-k}}.{{\left( -1 \right)}^{k}}.{{y}^{k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=3$.

Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}.{{y}^{3}}$ là:$-C_{11}^{3}$.

Chọn A

Ta có $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{n}^{k}{{1}^{10-k}}{{(-2x)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{(-2)}^{k}}{{x}^{k}}}$

Số hạng chứa ${{x}^{7}}$ ứng với giá trị $k=7$

Vậy hệ số của ${{x}^{7}}$ là: $C_{10}^{7}{{(-2)}^{7}}=-15360$.

Chọn D

Ta có ${{(2+3x)}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{2}^{9-k}}{{(3x)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{2}^{9-k}}{{3}^{k}}.{{x}^{k}}}$

$\Rightarrow h(x)=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{2}^{9-k}}{{3}^{k}}{{x}^{k+1}}}$.

Số hạng chứa ${{x}^{7}}$ ứng với giá trị $k$ thỏa $k+1=7\Leftrightarrow k=6$

Vậy hệ số chứa ${{x}^{7}}$ là: $C_{9}^{6}{{2}^{3}}{{3}^{6}}=489888$.

Chọn A

Hệ số của ${{x}^{7}}$trong khai triển ${{(1+x)}^{7}}=\sum\limits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}{{x}^{k}}}$ là : $C_{7}^{7}=1$

Hệ số của ${{x}^{7}}$trong khai triển ${{(1-x)}^{8}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{(-1)}^{k}}{{x}^{k}}}$ là : $C_{8}^{7}{{(-1)}^{7}}=-8$

Hệ số của ${{x}^{7}}$trong khai triển ${{(1+x)}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{x}^{k}}}$ là : $C_{7}^{9}=36$.

Vậy hệ số chứa ${{x}^{7}}$ trong khai triển $g(x)$ thành đa thức là: $29$.

Chú ý:

* Với $a\ne 0$ ta có: ${{a}^{-n}}=\dfrac{1}{{{a}^{n}}}$ với $n\in \mathbb{N}$.

* Với $a\ge 0$ ta có: $\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{a}^{\dfrac{m}{n}}}$ với $m,n\in \mathbb{N};n\ge 1$.

Chọn A

Ta có $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{n}^{k}{{3}^{10-k}}{{(2x)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{3}^{10-k}}{{(-2)}^{k}}{{x}^{k}}}$

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với giá trị $k=8$

Vậy hệ số của ${{x}^{8}}$ là: $C_{10}^{8}{{.3}^{2}}.{{(-2)}^{8}}=103680$.

Chọn A

Ta có ${{(1-2x)}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{1}^{9-k}}{{(-2x)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{(-2)}^{k}}.{{x}^{k}}}$

$\Rightarrow h(x)=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{(-2)}^{k}}{{x}^{k+1}}}$.

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với giá trị $k$ thỏa $k+1=8\Leftrightarrow k=7$

Vậy hệ số chứa ${{x}^{8}}$ là: $C_{9}^{7}{{(-2)}^{7}}=-4608$.

Chọn A

Ta có: $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{3}^{k}}{{x}^{2k}}}$, số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $k=4$ nên hệ số ${{x}^{8}}$ là: $C_{10}^{4}{{.3}^{4}}=17010$.

Chọn D

Ta có: $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{2}^{8-k}}{{(-5)}^{k}}{{x}^{4k-8}}}$, số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $k=4$nên hệ số của ${{x}^{8}}$ là: $C_{8}^{4}{{.2}^{4}}.{{(-5)}^{4}}=700000$.

Chọn A

Ta có: $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{3}^{12-k}}{{.2}^{-k}}.{{x}^{2k-12}}}$, số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $k=10$nên hệ số của ${{x}^{8}}$ là: $C_{12}^{10}{{.3}^{2}}{{.2}^{-10}}=\dfrac{297}{512}$.

Chọn A

Ta có: $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{(2{{x}^{2}})}^{10-k}}{{(1+x)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{\sum\limits_{j=0}^{k}{C_{10}^{k}C_{k}^{j}{{.2}^{10-k}}{{x}^{20-2k+j}}}}$

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với cặp $(k,j)$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{align}
0\le j\le k\le 10 \\
j=2k-12 \\
\end{align} \right.$

Nên hệ số của ${{x}^{8}}$ là:

$C_{10}^{6}C_{6}^{0}{{.2}^{4}}+C_{10}^{7}C_{7}^{2}{{2}^{3}}+C_{10}^{8}C_{8}^{4}{{2}^{2}}+C_{10}^{9}C_{9}^{6}2+C_{10}^{10}C_{10}^{8}=37845$

Chọn D

Ta có: ${{(1+8x)}^{8}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{8}^{8-k}}{{x}^{8-k}}}$

${{(1+9x)}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{9}^{9-k}}{{x}^{9-k}}}$

${{(1+10x)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{10}^{10-k}}{{x}^{10-k}}}$

Nên hệ số chứa ${{x}^{8}}$ là: $8.C_{8}^{0}{{.8}^{8}}-9.C_{9}^{1}{{.9}^{8}}+10.C_{10}^{8}{{.10}^{8}}$

Chọn A

Ta có: ${{\left( 1+ax \right)}^{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}{{x}^{k}}}$ nên ta suy ra hệ số của ${{x}^{k}}$ trong khai triển ${{(1+ax)}^{n}}$ là $C_{n}^{k}{{a}^{k}}$. Do đó:

Hệ số của ${{x}^{8}}$ trong khai triển ${{(1+x)}^{8}}$ là : $C_{8}^{8}$

Hệ số của ${{x}^{8}}$trong khai triển ${{(1+2x)}^{9}}$ là : $C_{9}^{8}{{.2}^{8}}$

Hệ số của ${{x}^{8}}$ trong khai triển ${{(1+3x)}^{10}}$ là :$C_{10}^{8}{{.3}^{8}}$.

Vậy hệ số chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển $g(x)$ thành đa thức là:$8C_{8}^{8}+{{9.2}^{8}}.C_{9}^{8}+{{10.3}^{8}}.C_{10}^{8}=22094$.

Chọn B

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{15}^{k}x_{{}}^{45-3k}{{x}^{-3k}}{{y}^{k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 10

Vậy hệ số đứng trước x²⁵y¹⁰ trong khai triển (x³ + xy)¹⁵ là:$C_{15}^{10}=3003$

Chọn A

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{18}^{k}x_{{}}^{54-3k}{{x}^{-3k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi 54 – 3k – 3k = 0 → k = 9

Khi đó số hạng không chứa là:$C_{18}^{9}$

Chọn D

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{12}^{k}{{(-1)}^{k}}{{x}^{k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 7.

Khi đó hệ số của số hạng chứa  là:$-C_{12}^{7}=-792$

Chọn A

Ta có: $f(x)={{(x-2.{{x}^{-1}})}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{x}^{12-k}}.{{(-2{{x}^{-1}})}^{k}}}$

$\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{(-2)}^{k}}{{x}^{12-2k}}}$

Số hạng không chứa $x$ ứng với giá trị $k$ thỏa mãn: $12-2k=0$

$\Leftrightarrow k=6\Rightarrow $ số hạng không chứa $x$ là: $C_{12}^{6}{{.2}^{6}}=59136$.

Chọn A

Vì $\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}={{x}^{-\dfrac{2}{3}}};\text{ }\sqrt[4]{{{x}^{3}}}={{x}^{\dfrac{3}{4}}}$ nên ta có

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{17}{C_{17}^{k}{{\left( {{x}^{-\dfrac{2}{3}}} \right)}^{17-k}}.{{\left( {{x}^{\dfrac{3}{4}}} \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{17}{C_{17}^{k}.{{x}^{\dfrac{17k-136}{12}}}}$

Hệ số không chứa $x$ ứng với giá trị $k$ thỏa: $17k-136=0\Leftrightarrow k=8$

Vậy hệ số không chứa $x$ là: $C_{17}^{8}=24310$.

Chọn A

Ta có:

$C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)\Leftrightarrow \left( C_{n+3}^{n}+C_{n+3}^{n+1} \right)-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)$
$\Leftrightarrow C_{n+3}^{n+1}=7\left( n+3 \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}{2!}=7\left( n+3 \right)$
$\Leftrightarrow n+2=7.2!=14\Leftrightarrow n=12$.

Khi đó: ${{\left( \dfrac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( {{x}^{-3}} \right)}^{k}}.{{\left( {{x}^{\dfrac{5}{2}}} \right)}^{12-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{x}^{\dfrac{60-11k}{2}}}}$.

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $k$ thỏa: $\dfrac{60-11k}{2}=8\Leftrightarrow k=4$.

Do đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ là: $C_{12}^{4}=\dfrac{12!}{4!\left( 12-4 \right)!}=495$.

Chọn A

Ta có:$C_{n}^{3}+2n=A_{n+1}^{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
n\ge 3 \\
\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}+2n=\left( n+1 \right)n \\
\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
n\ge 3 \\
{{n}^{2}}-9n+8=0 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow n=8$.

Theo nhị thức Newton ta có:

${{\left[ \dfrac{1}{x}-\left( x+{{x}^{2}} \right) \right]}^{8}}={{\left[ \dfrac{1}{x}-x\left( 1+x \right) \right]}^{8}}=C_{8}^{0}\dfrac{1}{{{x}^{8}}}-C_{8}^{1}\dfrac{1}{{{x}^{6}}}\left( 1+x \right)+$

$+C_{8}^{2}\dfrac{1}{{{x}^{4}}}{{\left( 1+x \right)}^{2}}-C_{8}^{3}\dfrac{1}{{{x}^{2}}}{{\left( 1+x \right)}^{3}}+C_{8}^{4}{{\left( 1+x \right)}^{4}}-…+C_{8}^{8}{{x}^{8}}{{\left( 1+x \right)}^{8}}$

Số hạng không phụ thuộc vào $x$ chỉ có trong hai biểu thức

$-C_{8}^{3}\dfrac{1}{{{x}^{2}}}{{\left( 1+x \right)}^{3}}\,$ và $C_{8}^{4}{{\left( 1+x \right)}^{4}}$.

Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào $x$ là: $-C_{8}^{3}.C_{3}^{2}$ và $C_{8}^{4}.C_{4}^{0}$

Do đó số hạng không phụ thuộc vào x là: $-C_{8}^{3}.C_{3}^{2}+C_{8}^{4}.C_{4}^{0}=-98$.

Chọn A

Chọn D

$C_{18}^{9}=48620$

Chọn A

$\dfrac{1}{{{3}^{8}}}{{(-3)}^{4}}C_{12}^{4}=\dfrac{55}{9}$

Chọn C

$C_{15}^{10}=3003$

Chọn A

${{a}_{15}}=\sum\limits_{k=15}^{20}{kC_{k}^{15}}=400995$

Chọn A

Ta có ${{\left( \sqrt{3}+\sqrt[3]{2} \right)}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{\left( \sqrt{3} \right)}^{k}}{{\left( \sqrt[3]{2} \right)}^{9-k}}}$

Số hạng là số nguyên ứng với các giá trị của k thỏa mãn:

$\left\{ \begin{align}
k=2m \\
9-k=3n \\
k=0,…,9 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow k=0,k=6$

Các số hạng là số nguyên: $C_{9}^{0}{{\left( \sqrt[3]{2} \right)}^{9}}=8$ và $C_{9}^{6}{{\left( \sqrt{3} \right)}^{6}}{{\left( \sqrt[3]{2} \right)}^{3}}$

1. Ta có:${{T}_{k+1}}=C_{20}^{k}{{(2x)}^{20-k}}\dfrac{1}{{{x}^{k}}}=C_{20}^{k}{{.2}^{20-k}}.{{x}^{20-2k}}$
2. Số hạng không chứa x ứng với k: $20-2k=0\Leftrightarrow k=10$

Số hạng không chứa x: $C_{20}^{10}{{.2}^{10}}$

Chọn B

$f\left( x \right)={{\left( 1+2x+3{{x}^{2}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{\left( 2x+3{{x}^{2}} \right)}^{k}}$

$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}}{{(2x)}^{k-i}}.{{(3{{x}^{2}})}^{i}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}}{{2}^{k-i}}{{.3}^{i}}{{x}^{k+i}}$

với$0\le i\le k\le 10$.

Do đó $k+i=4$ với các trường hợp $i=0,k=4$ hoặc $i=1,k=3$ hoặc $i=k=2$.

Vậy hệ số chứa ${{x}^{4}}$: ${{2}^{4}}C_{10}^{4}.C_{4}^{0}+{{2}^{2}}{{3}^{1}}C_{10}^{3}.C_{3}^{1}+{{3}^{2}}C_{10}^{2}.C_{2}^{2}=8085$.

Chọn B

Ta có: $\left\{ \begin{align}
\sum\limits_{k=0}^{2n+1}{C_{2n+1}^{k}}={{2}^{2n+1}} \\
\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{2n+1}^{2i+1}}=\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{2n+1}^{2i}} \\
\end{align} \right.\Rightarrow \sum\limits_{i=0}^{n}{C_{2n+1}^{2i+1}}={{2}^{2n}}=1024\Rightarrow n=5$

Suy ra ${{(2-3x)}^{2n}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{2}^{10-k}}.{{(-3)}^{k}}{{x}^{k}}}$

Hệ số của ${{x}^{7}}$ là $C_{10}^{7}{{.2}^{3}}.{{(-3)}^{7}}=-2099520$.

Chọn C

Hệ số của ${{x}^{9}}$: $C_{9}^{9}+C_{10}^{9}+C_{11}^{9}+C_{12}^{9}+C_{13}^{9}+C_{14}^{9}=3003$.

Chọn A

Đặt $f(x)=x{{\left( 1-2x \right)}^{5}}+{{x}^{2}}{{\left( 1+3x \right)}^{10}}$

Ta có : $f(x)=x\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{x}^{k}}}+{{x}^{2}}\sum\limits_{i=0}^{10}{C_{10}^{i}}{{\left( 3x \right)}^{i}}$

$=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{x}^{k+1}}}+\sum\limits_{i=0}^{10}{C_{10}^{i}}{{3}^{i}}.{{x}^{i+2}}$

Vậy hệ số của ${{x}^{5}}$ trong khai triển đa thức của $f(x)$ ứng với $k=4$ và $i=3$ là: $C_{5}^{4}{{\left( -2 \right)}^{4}}+C_{10}^{3}{{.3}^{3}}=3320$.

Chọn C

Cách 1

${{\left[ 1+{{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{8}}=C_{8}^{0}+C_{8}^{1}{{x}^{2}}\left( 1-x \right)+C_{8}^{2}{{x}^{4}}{{\left( 1-x \right)}^{2}}+C_{8}^{3}{{x}^{6}}{{\left( 1-x \right)}^{3}}$

$+C_{8}^{4}{{x}^{8}}{{\left( 1-x \right)}^{4}}+C_{8}^{5}{{x}^{10}}{{\left( 1-x \right)}^{5}}…+C_{8}^{8}{{x}^{16}}{{\left( 1-x \right)}^{8}}$

Trong khai triển trên ta thấy bậc của $x$ trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của $x$ trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. Do đó ${{x}^{8}}$ chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: $C_{8}^{3}.C_{3}^{2},\,\,C_{8}^{4}.C_{4}^{0}$.

Vậy hệ số cuả ${{x}^{8}}$ trong khai triển đa thức ${{\left[ 1+{{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{8}}$ là:

${{a}_{8}}=C_{8}^{3}.C_{3}^{2}+\,\,C_{8}^{4}.C_{4}^{0}=238$.

Cách 2: Ta có:
${{\left[ 1+{{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{8}}=\sum\limits_{n=0}^{8}{C_{8}^{n}}{{x}^{2n}}{{\left( 1-x \right)}^{n}}=\sum\limits_{n=0}^{8}{C_{8}^{n}}\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{2n+}}^{k}}$

với $0\le k\le n\le 8$.

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $2n+k=8\Rightarrow k=8-2n$ là một số chẵn.

Thử trực tiếp ta được $k=0;n=4$ và $k=2,\,n=3$.

Vậy hệ số của ${{x}^{8}}$ là $C_{8}^{3}.C_{3}^{2}+\,\,C_{8}^{4}.C_{4}^{0}=238$.

Chọn D

Ta có: $P\left( x \right)={{\left( 1+3x+2{{x}^{2}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{\left( 3x+2{{x}^{2}} \right)}^{k}}$

$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}}{{(3x)}^{k-i}}.{{(2{{x}^{2}})}^{i}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}}{{.3}^{k-i}}{{.2}^{i}}{{x}^{k+i}}$

với $0\le i\le k\le 10\,\,$. Do đó $k+i=15$ với các trường hợp

$k=10,i=5$ hoặc $k=9,i=6$ hoặc $k=8,i=7$

Vậy ${{a}_{15}}=C_{10}^{10}.C_{10}^{5}{{.3}^{5}}{{.2}^{5}}+C_{10}^{9}.C_{9}^{6}{{.3}^{3}}{{.2}^{6}}+C_{10}^{8}.C_{8}^{7}{{.3.2}^{7}}$.

Chọn A

Ta có: $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78\Leftrightarrow \dfrac{n!}{(n-1)!1!}+\dfrac{n!}{(n-2)!2!}=78$

$\Leftrightarrow n+\dfrac{n(n-1)}{2}=78\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-156=0\Leftrightarrow n=12$.

Khi đó: $f(x)={{\left( {{x}^{3}}-\dfrac{2}{x} \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{(-2)}^{k}}{{x}^{36-4k}}}$

Số hạng không chứa $x$ ứng với $k:36-4k=0\Rightarrow k=9$

Số hạng không chứa $x$ là: ${{(-2)}^{9}}C_{12}^{9}=-112640$

Chọn A

Cách 1:Ta có :

$\begin{align}
{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{2n}}+C_{n}^{1}{{x}^{2n-2}}+C_{n}^{2}{{x}^{2n-4}}+…+C_{n}^{n} \\
{{\left( x+2 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}+2C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+{{2}^{2}}C_{n}^{2}{{x}^{n-2}}+…+{{2}^{n}}C_{n}^{n} \\
\end{align}$

Dễ dàng kiểm tra $n=1$, $n=2$ không thoả mãn điều kiện bài toán.

Với $n\ge 3$ thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích

${{x}^{3n-3}}={{x}^{2n}}.{{x}^{n-3}}={{x}^{2n-2}}.{{x}^{n-1}}$

Do đó hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ trong khai triển thành đa thức của

${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}$ là : ${{a}_{3n-3}}={{2}^{3}}.C_{n}^{0}.C_{n}^{3}+2.C_{n}^{1}.C_{n}^{1}$.

Suy ra ${{a}_{3n-3}}=26n\Leftrightarrow \dfrac{2n\left( 2{{n}^{2}}-3n+4 \right)}{3}=26n\Leftrightarrow n=-\dfrac{7}{2}$ hoặc$n=5$

Vậy $n=5$ là giá trị cần tìm.

 Cách 2:

Ta có: ${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}={{x}^{3n}}{{\left( 1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{n}}{{\left( 1+\dfrac{2}{x} \right)}^{n}}$

$={{x}^{3n}}\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}{{\left( \dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{i}}\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( \dfrac{2}{x} \right)}^{k}}}=}{{x}^{3n}}\left[ \sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}{{x}^{-2i}}\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{-k}}}} \right]$

Trong khai triển trên, luỹ thừa của $x$ là $3n-3$ khi

$-2i-k=-3\Leftrightarrow 2i+k=3$.

Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là $i=0,k=3$ hoặc

$i=1,k=1$(vì $i,k$ nguyên).

Hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}$

Là :${{a}_{3n-3}}=C_{n}^{0}.C_{n}^{3}{{.2}^{3}}+C_{n}^{1}.C_{n}^{1}.2$.

Do đó ${{a}_{3n-3}}=26n\Leftrightarrow \dfrac{2n\left( 2{{n}^{2}}-3n+4 \right)}{3}=26n\Leftrightarrow n=-\dfrac{7}{2}$hoặc$n=5$

Vậy $n=5$ là giá trị cần tìm.

Chọn A

Do $C_{2n+1}^{k}=C_{2n+1}^{2n+1-k}\text{  }\forall k=0,1,2,…,2n+1$

$\Rightarrow C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+…+C_{2n+1}^{n}=C_{2n+1}^{n+1}+C_{2n+1}^{n+2}+…+C_{2n+1}^{2n+1}$

Mặt khác: $C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+…+C_{2n+1}^{2n+1}={{2}^{2n+1}}$

$\Rightarrow 2(C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+…+C_{2n+1}^{n})={{2}^{2n+1}}$

$\Rightarrow C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+…+C_{2n+1}^{n}={{2}^{2n}}-C_{2n+1}^{0}={{2}^{2n}}-1$

$\Rightarrow {{2}^{2n}}-1={{2}^{20}}-1\Rightarrow n=10$.

Khi đó: ${{\left( \dfrac{1}{{{x}^{4}}}+{{x}^{7}} \right)}^{10}}={{\left( {{x}^{-4}}+{{x}^{7}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{({{x}^{-4}})}^{10-k}}.{{x}^{7k}}}$$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{x}^{11k-40}}}$

Hệ số chứa ${{x}^{26}}$ ứng với giá trị $k:$ $11k-40=26\Rightarrow k=6$.

Vậy hệ số chứa ${{x}^{26}}$ là: .

Chọn A

Ta có: ${{a}_{k}}=C_{n}^{k}$, suy ra hệ $\left\{ \begin{align}
\dfrac{1}{2}\dfrac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\dfrac{1}{9}\dfrac{n!}{(n-k)!k!} \\
\dfrac{1}{9}\dfrac{n!}{(n-k)!k!}=\dfrac{1}{24}\dfrac{n!}{(n-k-1)!(k+1)!} \\
\end{align} \right.$\

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
9k=2(n-k+1) \\
24(k+1)=9(n-k) \\
\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
2n-11k=-2 \\
9n-33k=24 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow n=10,k=2$.

Chọn A

Ta có: ${{\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}x \right)}^{15}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{15-k}}{{\left( \dfrac{2}{3}x \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}\dfrac{{{2}^{k}}}{{{3}^{15}}}{{x}^{k}}}}$

Hệ số của ${{x}^{k}}$ trong khai triển ${{a}_{k}}=\dfrac{1}{{{3}^{^{15}}}}C_{15}^{k}{{2}^{k}}$

Ta có: ${{a}_{k-1}}<{{a}_{k}}\Leftrightarrow C_{15}^{k-1}{{2}^{k-1}}<C_{15}^{k}{{2}^{k}}\Leftrightarrow C_{15}^{k-1}<2C_{15}^{k}$

$\Leftrightarrow k<\dfrac{32}{3}\Rightarrow k\le 10.$ Từ đó: ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<…<{{a}_{10}}$

Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được:

${{a}_{k-1}}<{{a}_{k}}\Leftrightarrow k>\dfrac{32}{3}\Rightarrow {{a}_{10}}>{{a}_{11}}>…>{{a}_{15}}$

Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: ${{a}_{10}}=\dfrac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}C_{15}^{10}=3003\dfrac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}$.

Chọn A

Ta có: ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}+…+{{a}_{n}}={{(1+2.1)}^{n}}={{3}^{n}}=729\Rightarrow n=6$

${{a}_{k}}=C_{6}^{k}{{2}^{k}}$ suy ra $\max \left\{ {{a}_{k}} \right\}={{a}_{4}}=240$.

Chọn A

Đặt $f(x)={{(1+2x)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$

$\Rightarrow {{a}_{0}}+\dfrac{{{a}_{1}}}{2}+…+\dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n}}}=f\left( \dfrac{1}{2} \right)={{2}^{n}}$$\Rightarrow {{2}^{n}}=4096\Leftrightarrow n=12$

Với mọi $k\in \left\{ 0,1,2,…,11 \right\}$ ta có: ${{a}_{k}}={{2}^{k}}C_{12}^{k},\text{ }{{a}_{k+1}}={{2}^{k+1}}C_{12}^{k+1}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{{a}_{k}}}{{{a}_{k+1}}}<1\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{k}}C_{12}^{k}}{{{2}^{k+1}}C_{12}^{k+1}}<1\Leftrightarrow \dfrac{k+1}{2(12-k)}<1\Leftrightarrow k<\dfrac{23}{3}$

Mà $k\in Z\Rightarrow k\le 7$. Do đó ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<…<{{a}_{8}}$

Tương tự: $\dfrac{{{a}_{k}}}{{{a}_{k+1}}}>1\Leftrightarrow k>7\Rightarrow {{a}_{8}}>{{a}_{9}}>…>{{a}_{12}}$

Số lớn nhất trong các số ${{a}_{0}},{{a}_{1}},…,{{a}_{12}}$ là ${{a}_{8}}={{2}^{8}}C_{12}^{8}=126720$.