Xác định hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton, Đại số giải tích 11

Xác định hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton, Đại số giải tích 11

Câu 1: Trong khai triển ${{\left( 2a-b \right)}^{5}}$, hệ số của số hạng thứ 3 bằng:

[A]. -80.

[B]. 80.

[C]. -10.

[D]. 10.

Hướng dẫn

Chọn B

Ta có: ${{\left( 2a-b \right)}^{5}}=C_{5}^{0}{{\left( 2a \right)}^{5}}-C_{5}^{1}{{\left( 2a \right)}^{4}}b+C_{5}^{2}{{\left( 2a \right)}^{3}}{{b}^{2}}+…$

Do đó hệ số của số hạng thứ 3 bằng$C_{5}^{2}.8=80$.

[Ẩn HD]

Câu 2: Trong khai triển nhị thức ${{\left( a+2 \right)}^{n+6}},\left( n\in \mathbb{N} \right)$. Có tất cả$17$số hạng. Vậy n bằng:

[A]. 17.

[B]. 11.

[C]. 10.

[D]. 12.

Hướng dẫn

Chọn C

Trong khai triển ${{\left( a+2 \right)}^{n+6}},\left( n\in \mathbb{N} \right)$ có tất cả $n+7$ số hạng.

Do đó $n+7=17\Leftrightarrow n=10$.

[Ẩn HD]

Câu 3: Trong khai triển ${{\left( 3{{x}^{2}}-y \right)}^{10}}$, hệ số của số hạng chính giữa là:

[A]. ${{3}^{4}}.C_{10}^{4}$.

[B]. $-{{3}^{4}}.C_{10}^{4}$.

[C]. ${{3}^{5}}.C_{10}^{5}$.

[D]. $-{{3}^{5}}.C_{10}^{5}$.

Hướng dẫn

Chọn D






Trong khai triển ${{\left( 3{{x}^{2}}-y \right)}^{10}}$có tất cả $11$ số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ $6$.

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là$-{{3}^{5}}.C_{10}^{5}$.

[Ẩn HD]

Câu 4: Trong khai triển ${{\left( 2x-5y \right)}^{8}}$, hệ số của số hạng chứa ${{x}^{5}}.{{y}^{3}}$ là:

[A]. -22400.

[B]. -40000.

[C]. -8960.

[D]. -4000.

Hướng dẫn

Chọn A

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}={{(-1)}^{k}}C_{8}^{k}.{{(2x)}^{8-k}}{{(5y)}^{k}}={{(-1)}^{k}}C_{8}^{k}{{.2}^{8-k}}{{5}^{k}}.{{x}^{8-k}}.{{y}^{k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=3$. Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{5}}.{{y}^{3}}$ là:$-22400$.

[Ẩn HD]

Câu 5: Trong khai triển ${{\left( x+\dfrac{2}{\sqrt[{}]{x}} \right)}^{6}}$, hệ số của ${{x}^{3}},\left( x>0 \right)$ là:

[A]. 60.

[B]. 80.

[C]. 160.

[D]. 240.

Hướng dẫn

Chọn C

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}.{{x}^{6-k}}{{2}^{k}}.{{x}^{-\dfrac{1}{2}k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $6-k-\dfrac{1}{2}k=3\Leftrightarrow k=3$.

Khi đó hệ số của ${{x}^{3}}$ là:$C_{6}^{3}{{.2}^{3}}=160$.

[Ẩn HD]

Câu 6: Trong khai triển ${{\left( {{a}^{2}}+\dfrac{1}{b} \right)}^{7}}$, số hạng thứ $5$ là:

[A]. $35.{{a}^{6}}.{{b}^{-4}}$.

[B]. $-35.{{a}^{6}}.{{b}^{-4}}$.

[C]. $35.{{a}^{4}}.{{b}^{-5}}$.

[D]. $-35.{{a}^{4}}.b$.

Hướng dẫn

Chọn A

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{7}^{k}.{{a}^{14-2k}}.{{b}^{-k}}$

Vậy số hạng thứ 5 là ${{T}_{5}}=C_{7}^{4}.{{a}^{6}}.{{b}^{-4}}=35.{{a}^{6}}.{{b}^{-4}}$

[Ẩn HD]

Câu 7: Trong khai triển ${{\left( 2a-1 \right)}^{6}}$, tổng ba số hạng đầu là:

[A]. $2{{a}^{6}}-6{{a}^{5}}+15{{a}^{4}}$.

[B]. $2{{a}^{6}}-15{{a}^{5}}+30{{a}^{4}}$.

[C]. $64{{a}^{6}}-192{{a}^{5}}+480{{a}^{4}}$.

[D]. $64{{a}^{6}}-192{{a}^{5}}+240{{a}^{4}}$.

Hướng dẫn

Chọn D

Ta có: ${{\left( 2a-1 \right)}^{6}}=C_{6}^{0}{{.2}^{6}}{{a}^{6}}-C_{6}^{1}{{.2}^{5}}{{a}^{5}}+C_{6}^{2}{{.2}^{4}}{{a}^{4}}-…$

Vậy tổng 3 số hạng đầu là $64{{a}^{6}}-192{{a}^{5}}+240{{a}^{4}}$.

[Ẩn HD]

Câu 8: Trong khai triển ${{\left( x-\sqrt{y} \right)}^{16}}$, tổng hai số hạng cuối là:

[A]. $-16x\sqrt{{{y}^{15}}}+{{y}^{8}}$.

[B]. $-16x\sqrt{{{y}^{15}}}+{{y}^{4}}$.

[C]. $16x{{y}^{15}}+{{y}^{4}}$.

[D]. $16x{{y}^{15}}+{{y}^{8}}$.

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có: ${{\left( x-\sqrt{y} \right)}^{16}}=C_{16}^{0}{{x}^{16}}-C_{16}^{1}{{x}^{15}}.\sqrt{y}+…-C_{16}^{15}x{{\left( \sqrt{y} \right)}^{15}}+C_{16}^{16}{{\left( \sqrt{y} \right)}^{16}}$

[Ẩn HD]

Câu 9: Trong khai triển ${{\left( 8{{a}^{2}}-\dfrac{1}{2}b \right)}^{6}}$, hệ số của số hạng chứa ${{a}^{9}}{{b}^{3}}$ là:

[A]. $-80{{a}^{9}}.{{b}^{3}}$.

[B]. $-64{{a}^{9}}.{{b}^{3}}$.

[C]. $-1280{{a}^{9}}.{{b}^{3}}$.

[D]. $60{{a}^{6}}.{{b}^{4}}$.

Hướng dẫn

Chọn C

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}={{\left( -1 \right)}^{k}}C_{6}^{k}{{.8}^{6-k}}{{a}^{12-2k}}{{.2}^{-k}}{{b}^{k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=3$.

Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{a}^{9}}{{b}^{3}}$ là:$-1280{{a}^{9}}.{{b}^{3}}$.

[Ẩn HD]

Câu 10: Trong khai triển ${{\left( x+\dfrac{8}{{{x}^{2}}} \right)}^{9}}$, số hạng không chứa $x$ là:

[A]. 4308.

[B]. 86016.

[C]. 84.

[D]. 43008.

Hướng dẫn

Chọn D

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{9}^{k}.{{x}^{9-k}}{{8}^{k}}.{{x}^{-2k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $9-k-2k=0\Leftrightarrow k=3$.

Khi đó số hạng không chứa $x$ là:$C_{9}^{3}{{.8}^{3}}=43008$.

[Ẩn HD]

Câu 11:  Trong khai triển ${{\left( 2x-1 \right)}^{10}}$, hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ là:

[A]. -11520.

[B]. 45.

[C]. 256.

[D]. 11520.

Hướng dẫn

Chọn D

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{10}^{k}{{.2}^{10-k}}.{{x}^{10-k}}.{{\left( -1 \right)}^{k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $10-k=8\Leftrightarrow k=2$.

Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ là:$C_{10}^{2}{{.2}^{8}}=11520$.

[Ẩn HD]

Câu 12: Trong khai triển${{\left( a-2b \right)}^{8}}$, hệ số của số hạng chứa ${{a}^{4}}.{{b}^{4}}$là:

[A]. 1120.

[B]. 560.

[C]. 140.

[D]. 70.

Hướng dẫn

Chọn A

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{8}^{k}.{{a}^{8-k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{b}^{k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=4$.

Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{a}^{4}}.{{b}^{4}}$ là:$C_{8}^{4}{{.2}^{4}}=1120$.

[Ẩn HD]

Câu 13: Trong khai triển${{\left( 3x-y \right)}^{7}}$, số hạng chứa ${{x}^{4}}{{y}^{3}}$là:

[A]. $-2835{{x}^{4}}{{y}^{3}}$.

[B]. $2835{{x}^{4}}{{y}^{3}}$.

[C]. $945{{x}^{4}}{{y}^{3}}$.

[D]. $-945{{x}^{4}}{{y}^{3}}$.

Hướng dẫn

Chọn A

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{7}^{k}{{.3}^{7-k}}{{x}^{7-k}}.{{\left( -1 \right)}^{k}}.{{y}^{k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=3$.

Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{4}}.{{y}^{3}}$ là:$-C_{7}^{3}{{.3}^{4}}.{{x}^{4}}.{{y}^{3}}=-2835.{{x}^{4}}.y$.

[Ẩn HD]

Câu 14:  Trong khai triển${{\left( \text{0,2 + 0,8} \right)}^{\text{5}}}$, số hạng thứ tư là:

[A]. 0,0064.

[B]. 0,4096.

[C]. 0,0512.

[D]. 0,2048.

Hướng dẫn

Chọn D

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{5}^{k}.{{(0,2)}^{5-k}}.{{(0,8)}^{k}}$

Vậy số hạng thứ tư là ${{T}_{4}}=C_{5}^{3}.{{(0,2)}^{2}}.{{(0,8)}^{3}}=0,2028$

[Ẩn HD]

Câu 15: Hệ số của ${{x}^{3}}{{y}^{3}}$trong khai triển ${{\left( 1+x \right)}^{6}}{{\left( 1+y \right)}^{6}}$là:

[A]. 20.

[B]. 800.

[C]. 36.

[D]. 400.

Hướng dẫn

Chọn D

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}.{{x}^{k}}.C_{6}^{m}.{{y}^{m}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=m=3$.

Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{3}}{{y}^{3}}$ là:$C_{6}^{3}.C_{6}^{3}=400$.

[Ẩn HD]

Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển ${{\left( 3x\text{ }+\text{ }2y \right)}^{4}}$là:

[A]. $C_{4}^{2}{{x}^{2}}{{y}^{2}}$.

[B]. $6{{\left( 3x \right)}^{2}}{{\left( 2y \right)}^{2}}$.

[C]. $6C_{4}^{2}{{x}^{2}}{{y}^{2}}$.

[D]. $36C_{4}^{2}{{x}^{2}}{{y}^{2}}$.

Hướng dẫn

Chọn D

Số hạng chính giữa trong khai triển trên là số hạng thứ ba: $C_{4}^{2}{{\left( 3x \right)}^{2}}{{\left( 2y \right)}^{2}}=6{{\left( 3x \right)}^{2}}{{\left( 2y \right)}^{2}}$.

[Ẩn HD]

Câu 17: Trong khai triển${{\left( x-y \right)}^{11}}$, hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}.{{y}^{3}}$ là

[A]. $C_{11}^{3}$.

[B]. $-\,\text{C}_{\text{11}}^{\text{3}}$.

[C]. $-C_{11}^{5}$.

[D]. $C_{11}^{8}$.

Hướng dẫn

Chọn B

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{11}^{k}.{{x}^{11-k}}.{{\left( -1 \right)}^{k}}.{{y}^{k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k=3$.

Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}.{{y}^{3}}$ là:$-C_{11}^{3}$.

[Ẩn HD]

Câu 18: Tìm hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển biểu thức sau: $f(x)={{(1-2x)}^{10}}$

[A]. -15360

[B]. 15360

[C]. -15363

[D]. 15363

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{n}^{k}{{1}^{10-k}}{{(-2x)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{(-2)}^{k}}{{x}^{k}}}$

Số hạng chứa ${{x}^{7}}$ ứng với giá trị $k=7$

Vậy hệ số của ${{x}^{7}}$ là: $C_{10}^{7}{{(-2)}^{7}}=-15360$.

[Ẩn HD]

Câu 19: Tìm hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển biểu thức sau: $h(x)=x{{(2+3x)}^{9}}$

[A]. 489889

[B]. 489887

[C]. -489888

[D]. 489888

Hướng dẫn

Chọn D

Ta có ${{(2+3x)}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{2}^{9-k}}{{(3x)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{2}^{9-k}}{{3}^{k}}.{{x}^{k}}}$

$\Rightarrow h(x)=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{2}^{9-k}}{{3}^{k}}{{x}^{k+1}}}$.

Số hạng chứa ${{x}^{7}}$ ứng với giá trị $k$ thỏa $k+1=7\Leftrightarrow k=6$

Vậy hệ số chứa ${{x}^{7}}$ là: $C_{9}^{6}{{2}^{3}}{{3}^{6}}=489888$.

[Ẩn HD]

Câu 20: Tìm hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển biểu thức sau: $g(x)={{(1+x)}^{7}}+{{(1-x)}^{8}}+{{(2+x)}^{9}}$

[A]. 29

[B]. 30

[C]. 31

[D]. 32

Hướng dẫn

Chọn A

Hệ số của ${{x}^{7}}$trong khai triển ${{(1+x)}^{7}}=\sum\limits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}{{x}^{k}}}$ là : $C_{7}^{7}=1$

Hệ số của ${{x}^{7}}$trong khai triển ${{(1-x)}^{8}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{(-1)}^{k}}{{x}^{k}}}$ là : $C_{8}^{7}{{(-1)}^{7}}=-8$

Hệ số của ${{x}^{7}}$trong khai triển ${{(1+x)}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{x}^{k}}}$ là : $C_{7}^{9}=36$.

Vậy hệ số chứa ${{x}^{7}}$ trong khai triển $g(x)$ thành đa thức là: $29$.

Chú ý:

* Với $a\ne 0$ ta có: ${{a}^{-n}}=\dfrac{1}{{{a}^{n}}}$ với $n\in \mathbb{N}$.

* Với $a\ge 0$ ta có: $\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{a}^{\dfrac{m}{n}}}$ với $m,n\in \mathbb{N};n\ge 1$.

[Ẩn HD]

Câu 21: Tìm hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển biểu thức sau: $f(x)={{(3+2x)}^{10}}$

[A]. 103680

[B]. 1301323

[C]. 131393

[D]. 1031831

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{n}^{k}{{3}^{10-k}}{{(2x)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{3}^{10-k}}{{(-2)}^{k}}{{x}^{k}}}$

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với giá trị $k=8$

Vậy hệ số của ${{x}^{8}}$ là: $C_{10}^{8}{{.3}^{2}}.{{(-2)}^{8}}=103680$.

[Ẩn HD]

Câu 22: Tìm hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển biểu thức sau: $h(x)=x{{(1-2x)}^{9}}$

[A]. -4608

[B]. 4608

[C]. -4618

[D]. 4618

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có ${{(1-2x)}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{1}^{9-k}}{{(-2x)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{(-2)}^{k}}.{{x}^{k}}}$

$\Rightarrow h(x)=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{(-2)}^{k}}{{x}^{k+1}}}$.

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với giá trị $k$ thỏa $k+1=8\Leftrightarrow k=7$

Vậy hệ số chứa ${{x}^{8}}$ là: $C_{9}^{7}{{(-2)}^{7}}=-4608$.

[Ẩn HD]

Câu 23: Xác định hệ số của ${{x}^{8}}$ trong các khai triển sau:$f(x)={{(3{{x}^{2}}+1)}^{10}}$

[A]. 17010

[B]. 21303

[C]. 20123

[D]. 21313

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có: $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{3}^{k}}{{x}^{2k}}}$, số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $k=4$ nên hệ số ${{x}^{8}}$ là: $C_{10}^{4}{{.3}^{4}}=17010$.

[Ẩn HD]

Câu 24: Xác định hệ số của ${{x}^{8}}$ trong các khai triển sau:$f(x)={{\left( \dfrac{2}{x}-5{{x}^{3}} \right)}^{8}}$

[A]. 1312317

[B]. 76424

[C]. 427700

[D]. 700000

Hướng dẫn

Chọn D

Ta có: $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{2}^{8-k}}{{(-5)}^{k}}{{x}^{4k-8}}}$, số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $k=4$nên hệ số của ${{x}^{8}}$ là: $C_{8}^{4}{{.2}^{4}}.{{(-5)}^{4}}=700000$.

[Ẩn HD]

Câu 25: Xác định hệ số của ${{x}^{8}}$ trong các khai triển sau:$f(x)={{\left( \dfrac{3}{x}+\dfrac{x}{2} \right)}^{12}}$

[A]. $\dfrac{297}{512}$

[B]. $\dfrac{29}{51}$

[C]. $\dfrac{27}{52}$

[D]. $\dfrac{97}{12}$

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có: $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{3}^{12-k}}{{.2}^{-k}}.{{x}^{2k-12}}}$, số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $k=10$nên hệ số của ${{x}^{8}}$ là: $C_{12}^{10}{{.3}^{2}}{{.2}^{-10}}=\dfrac{297}{512}$.

[Ẩn HD]

Câu 26: Xác định hệ số của ${{x}^{8}}$ trong các khai triển sau:$f(x)={{(1+x+2{{x}^{2}})}^{10}}$

[A]. 37845

[B]. 14131

[C]. 324234

[D]. 131239

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có: $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{(2{{x}^{2}})}^{10-k}}{{(1+x)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{\sum\limits_{j=0}^{k}{C_{10}^{k}C_{k}^{j}{{.2}^{10-k}}{{x}^{20-2k+j}}}}$

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với cặp $(k,j)$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{align}
0\le j\le k\le 10 \\
j=2k-12 \\
\end{align} \right.$

Nên hệ số của ${{x}^{8}}$ là:

$C_{10}^{6}C_{6}^{0}{{.2}^{4}}+C_{10}^{7}C_{7}^{2}{{2}^{3}}+C_{10}^{8}C_{8}^{4}{{2}^{2}}+C_{10}^{9}C_{9}^{6}2+C_{10}^{10}C_{10}^{8}=37845$

[Ẩn HD]

Câu 27: Xác định hệ số của ${{x}^{8}}$ trong các khai triển sau:$f(x)=8{{(1+8x)}^{8}}-9{{(1+9x)}^{9}}+10{{(1+10x)}^{10}}$

[A]. $8.C_{8}^{0}{{.8}^{8}}-C_{9}^{1}{{.9}^{8}}+10.C_{10}^{8}{{.10}^{8}}$

[B]. $C_{8}^{0}{{.8}^{8}}-C_{9}^{1}{{.9}^{8}}+C_{10}^{8}{{.10}^{8}}$

[C]. $C_{8}^{0}{{.8}^{8}}-9.C_{9}^{1}{{.9}^{8}}+10.C_{10}^{8}{{.10}^{8}}$

[D]. $8.C_{8}^{0}{{.8}^{8}}-9.C_{9}^{1}{{.9}^{8}}+10.C_{10}^{8}{{.10}^{8}}$

Hướng dẫn

Chọn D

Ta có: ${{(1+8x)}^{8}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{8}^{8-k}}{{x}^{8-k}}}$

${{(1+9x)}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{9}^{9-k}}{{x}^{9-k}}}$

${{(1+10x)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{10}^{10-k}}{{x}^{10-k}}}$

Nên hệ số chứa ${{x}^{8}}$ là: $8.C_{8}^{0}{{.8}^{8}}-9.C_{9}^{1}{{.9}^{8}}+10.C_{10}^{8}{{.10}^{8}}$

[Ẩn HD]

Câu 28: Tìm hệ số của ${{x}^{8}}$ trong khai triển biểu thức sau: $g(x)=8{{(1+x)}^{8}}+9{{(1+2x)}^{9}}+10{{(1+3x)}^{10}}$

[A]. 22094

[B]. 139131

[C]. 130282

[D]. 21031

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có: ${{\left( 1+ax \right)}^{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}{{x}^{k}}}$ nên ta suy ra hệ số của ${{x}^{k}}$ trong khai triển ${{(1+ax)}^{n}}$ là $C_{n}^{k}{{a}^{k}}$. Do đó:

Hệ số của ${{x}^{8}}$ trong khai triển ${{(1+x)}^{8}}$ là : $C_{8}^{8}$

Hệ số của ${{x}^{8}}$trong khai triển ${{(1+2x)}^{9}}$ là : $C_{9}^{8}{{.2}^{8}}$

Hệ số của ${{x}^{8}}$ trong khai triển ${{(1+3x)}^{10}}$ là :$C_{10}^{8}{{.3}^{8}}$.

Vậy hệ số chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển $g(x)$ thành đa thức là:$8C_{8}^{8}+{{9.2}^{8}}.C_{9}^{8}+{{10.3}^{8}}.C_{10}^{8}=22094$.

[Ẩn HD]

Câu 29: Hệ số đứng trước ${{x}^{25}}.{{y}^{10}}$trong khai triển${{\left( {{x}^{3}}+\text{ }xy \right)}^{15}}$ là:

[A]. 2080.

[B]. 3003.

[C]. 2800.

[D]. 3200.

Hướng dẫn

Chọn B

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{15}^{k}x_{{}}^{45-3k}{{x}^{-3k}}{{y}^{k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 10

Vậy hệ số đứng trước x25y10 trong khai triển (x3 + xy)15 là:$C_{15}^{10}=3003$

[Ẩn HD]

Câu 30:  Số hạng không chứa  trong khai triển ${{\left( {{x}^{3}}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{18}}$là:

[A]. $C_{18}^{9}$

[B]. $C_{18}^{10}$

[C]. $C_{18}^{8}$

[D]. $C_{18}^{3}$

Hướng dẫn

Chọn A

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{18}^{k}x_{{}}^{54-3k}{{x}^{-3k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi 54 – 3k – 3k = 0 → k = 9

Khi đó số hạng không chứa là:$C_{18}^{9}$

[Ẩn HD]

Câu 31:  Khai triển (1-x)12, hệ số đứng trước x7 là:

[A]. 330.

[B]. -33.

[C]. -72.

[D]. -792.

Hướng dẫn

Chọn D

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{12}^{k}{{(-1)}^{k}}{{x}^{k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 7.

Khi đó hệ số của số hạng chứa  là:$-C_{12}^{7}=-792$

[Ẩn HD]

Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:$f(x)={{(x-\dfrac{2}{x})}^{12}}\text{    (}x\ne 0)$

[A]. 59136

[B]. 213012

[C]. 12373

[D]. 139412

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có: $f(x)={{(x-2.{{x}^{-1}})}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{x}^{12-k}}.{{(-2{{x}^{-1}})}^{k}}}$

$\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{(-2)}^{k}}{{x}^{12-2k}}}$

Số hạng không chứa $x$ ứng với giá trị $k$ thỏa mãn: $12-2k=0$

$\Leftrightarrow k=6\Rightarrow $ số hạng không chứa $x$ là: $C_{12}^{6}{{.2}^{6}}=59136$.

[Ẩn HD]

Câu 33:  Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: $g(x)={{(\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}+\sqrt[4]{{{x}^{3}}})}^{17}}\text{     }(x>0)$

[A]. 24310

[B]. 213012

[C]. 12373

[D]. 139412

Hướng dẫn

Chọn A

Vì $\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}={{x}^{-\dfrac{2}{3}}};\text{ }\sqrt[4]{{{x}^{3}}}={{x}^{\dfrac{3}{4}}}$ nên ta có

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{17}{C_{17}^{k}{{\left( {{x}^{-\dfrac{2}{3}}} \right)}^{17-k}}.{{\left( {{x}^{\dfrac{3}{4}}} \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{17}{C_{17}^{k}.{{x}^{\dfrac{17k-136}{12}}}}$

Hệ số không chứa $x$ ứng với giá trị $k$ thỏa: $17k-136=0\Leftrightarrow k=8$

Vậy hệ số không chứa $x$ là: $C_{17}^{8}=24310$.

[Ẩn HD]

Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển nhị thức Niutơn của ${{\left( \dfrac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{n}}$ biết $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)$.

[A]. 495

[B]. 313

[C]. 1303

[D]. 13129

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có:

$C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)\Leftrightarrow \left( C_{n+3}^{n}+C_{n+3}^{n+1} \right)-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)$
$\Leftrightarrow C_{n+3}^{n+1}=7\left( n+3 \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}{2!}=7\left( n+3 \right)$
$\Leftrightarrow n+2=7.2!=14\Leftrightarrow n=12$.

Khi đó: ${{\left( \dfrac{1}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( {{x}^{-3}} \right)}^{k}}.{{\left( {{x}^{\dfrac{5}{2}}} \right)}^{12-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{x}^{\dfrac{60-11k}{2}}}}$.

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $k$ thỏa: $\dfrac{60-11k}{2}=8\Leftrightarrow k=4$.

Do đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ là: $C_{12}^{4}=\dfrac{12!}{4!\left( 12-4 \right)!}=495$.

[Ẩn HD]

Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào $x$ khi khai triển biểu thức ${{\left[ \dfrac{1}{x}-\left( x+{{x}^{2}} \right) \right]}^{n}}$ với n là số nguyên dương thoả mãn

$C_{n}^{3}+2n=A_{n+1}^{2}$.( $C_{n}^{k},\,\,A_{n}^{k}$ tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử).

[A]. -98

[B]. 98

[C]. -96

[D]. 96

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có:$C_{n}^{3}+2n=A_{n+1}^{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
n\ge 3 \\
\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}+2n=\left( n+1 \right)n \\
\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
n\ge 3 \\
{{n}^{2}}-9n+8=0 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow n=8$.

Theo nhị thức Newton ta có:

${{\left[ \dfrac{1}{x}-\left( x+{{x}^{2}} \right) \right]}^{8}}={{\left[ \dfrac{1}{x}-x\left( 1+x \right) \right]}^{8}}=C_{8}^{0}\dfrac{1}{{{x}^{8}}}-C_{8}^{1}\dfrac{1}{{{x}^{6}}}\left( 1+x \right)+$

$+C_{8}^{2}\dfrac{1}{{{x}^{4}}}{{\left( 1+x \right)}^{2}}-C_{8}^{3}\dfrac{1}{{{x}^{2}}}{{\left( 1+x \right)}^{3}}+C_{8}^{4}{{\left( 1+x \right)}^{4}}-…+C_{8}^{8}{{x}^{8}}{{\left( 1+x \right)}^{8}}$

Số hạng không phụ thuộc vào $x$ chỉ có trong hai biểu thức

$-C_{8}^{3}\dfrac{1}{{{x}^{2}}}{{\left( 1+x \right)}^{3}}\,$ và $C_{8}^{4}{{\left( 1+x \right)}^{4}}$.

Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào $x$ là: $-C_{8}^{3}.C_{3}^{2}$ và $C_{8}^{4}.C_{4}^{0}$

Do đó số hạng không phụ thuộc vào x là: $-C_{8}^{3}.C_{3}^{2}+C_{8}^{4}.C_{4}^{0}=-98$.

[Ẩn HD]

Câu 36: Trong khai triển $f\left( x \right)={{\left( x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{40}}$, hãy tìm hệ số của ${{x}^{31}}$

[A]. 9880

[B]. 1313

[C]. 14940

[D]. 1147

Hướng dẫn

Chọn A

[Ẩn HD]

Câu 37: Hãy tìm trong khai triển nhị thức ${{\left( {{x}^{3}}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{18}}$số hạng độc lập đối với $x$

[A]. 9880

[B]. 1313

[C]. 14940

[D]. 48620

Hướng dẫn

Chọn D

$C_{18}^{9}=48620$

[Ẩn HD]

Câu 38: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{4}}$ trong khai triển ${{\left( \dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x} \right)}^{12}}$

[A]. $\dfrac{55}{9}$

[B]. $\dfrac{13}{2}$

[C]. $\dfrac{621}{113}$

[D]. $\dfrac{1412}{3123}$

Hướng dẫn

Chọn A

$\dfrac{1}{{{3}^{8}}}{{(-3)}^{4}}C_{12}^{4}=\dfrac{55}{9}$

[Ẩn HD]

Câu 39: Tính hệ số của ${{x}^{25}}{{y}^{10}}$ trong khai triển ${{\left( {{x}^{3}}+xy \right)}^{15}}$

[A]. 300123

[B]. 121148

[C]. 3003

[D]. 1303

Hướng dẫn

Chọn C

$C_{15}^{10}=3003$

[Ẩn HD]

Câu 40: Cho đa thức $P\left( x \right)=\left( 1+x \right)+2{{\left( 1+x \right)}^{2}}+…+20{{\left( 1+x \right)}^{20}}$ có dạng khai triển là $P\left( x \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{20}}{{x}^{20}}$.

Hãy tính hệ số ${{a}_{15}}$.

[A]. 400995

[B]. 130414

[C]. 511313

[D]. 412674

Hướng dẫn

Chọn A

${{a}_{15}}=\sum\limits_{k=15}^{20}{kC_{k}^{15}}=400995$

[Ẩn HD]

Câu 41: Tìm số hạng của khai triển ${{\left( \sqrt{3}+\sqrt[3]{2} \right)}^{9}}$ là một số nguyên

[A]. 8 và 4536

[B]. 1 và 4184

[C]. 414 và 12

[D]. 1313

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có ${{\left( \sqrt{3}+\sqrt[3]{2} \right)}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{\left( \sqrt{3} \right)}^{k}}{{\left( \sqrt[3]{2} \right)}^{9-k}}}$

Số hạng là số nguyên ứng với các giá trị của k thỏa mãn:

$\left\{ \begin{align}
k=2m \\
9-k=3n \\
k=0,…,9 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow k=0,k=6$

Các số hạng là số nguyên: $C_{9}^{0}{{\left( \sqrt[3]{2} \right)}^{9}}=8$ và $C_{9}^{6}{{\left( \sqrt{3} \right)}^{6}}{{\left( \sqrt[3]{2} \right)}^{3}}$

[Ẩn HD]

Câu 42: Xét khai triển $f(x)={{(2x+\dfrac{1}{x})}^{20}}$

  1. Viết số hạng thứ $k+1$ trong khai triển

[A]. ${{T}_{k+1}}=C_{20}^{k}{{.2}^{20-k}}.{{x}^{20-k}}$

[B]. ${{T}_{k+1}}=C_{10}^{k}{{.2}^{20-k}}.{{x}^{20-2k}}$

[C]. ${{T}_{k+1}}=C_{20}^{k}{{.2}^{20-4k}}.{{x}^{20-2k}}$

[D]. ${{T}_{k+1}}=C_{20}^{k}{{.2}^{20-k}}.{{x}^{20-2k}}$

  1. Số hạng nào trong khai triển không chứa $x$

[A]. $C_{20}^{1}{{.2}^{10}}$

[B]. $A_{20}^{10}{{.2}^{10}}$

[C]. $C_{20}^{10}{{.2}^{4}}$

[D]. $C_{20}^{10}{{.2}^{10}}$

Hướng dẫn

  1. Ta có:${{T}_{k+1}}=C_{20}^{k}{{(2x)}^{20-k}}\dfrac{1}{{{x}^{k}}}=C_{20}^{k}{{.2}^{20-k}}.{{x}^{20-2k}}$
  2. Số hạng không chứa x ứng với k: $20-2k=0\Leftrightarrow k=10$

Số hạng không chứa x: $C_{20}^{10}{{.2}^{10}}$

[Ẩn HD]

Câu 43: Xác định hệ số của ${{x}^{4}}$ trong khai triển sau: $f(x)={{(3{{x}^{2}}+2x+1)}^{10}}$.

[A]. 8089

[B]. 8085

[C]. 1303

[D]. 11312

Hướng dẫn

Chọn B

$f\left( x \right)={{\left( 1+2x+3{{x}^{2}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{\left( 2x+3{{x}^{2}} \right)}^{k}}$

$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}}{{(2x)}^{k-i}}.{{(3{{x}^{2}})}^{i}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}}{{2}^{k-i}}{{.3}^{i}}{{x}^{k+i}}$

với$0\le i\le k\le 10$.

Do đó $k+i=4$ với các trường hợp $i=0,k=4$ hoặc $i=1,k=3$ hoặc $i=k=2$.

Vậy hệ số chứa ${{x}^{4}}$: ${{2}^{4}}C_{10}^{4}.C_{4}^{0}+{{2}^{2}}{{3}^{1}}C_{10}^{3}.C_{3}^{1}+{{3}^{2}}C_{10}^{2}.C_{2}^{2}=8085$.

[Ẩn HD]

Câu 44: Tìm hệ số của ${{x}^{7}}$trong khai triển thành đa thức của ${{(2-3x)}^{2n}}$, biết n là số nguyên dương thỏa mãn : $C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{3}+C_{2n+1}^{5}+…+C_{2n+1}^{2n+1}=1024$.

[A]. 2099529

[B]. -2099520

[C]. -2099529

[D]. 2099520

Hướng dẫn

Chọn B

Ta có: $\left\{ \begin{align}
\sum\limits_{k=0}^{2n+1}{C_{2n+1}^{k}}={{2}^{2n+1}} \\
\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{2n+1}^{2i+1}}=\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{2n+1}^{2i}} \\
\end{align} \right.\Rightarrow \sum\limits_{i=0}^{n}{C_{2n+1}^{2i+1}}={{2}^{2n}}=1024\Rightarrow n=5$

Suy ra ${{(2-3x)}^{2n}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{2}^{10-k}}.{{(-3)}^{k}}{{x}^{k}}}$

Hệ số của ${{x}^{7}}$ là $C_{10}^{7}{{.2}^{3}}.{{(-3)}^{7}}=-2099520$.

[Ẩn HD]

Câu 45: Tìm hệ số của ${{x}^{9}}$ trong khai triển $f(x)={{(1+x)}^{9}}+{{(1+x)}^{10}}+…+{{(1+x)}^{14}}$

[A]. 8089

[B]. 8085

[C]. 3003

[D]. 11312

Hướng dẫn

Chọn C

Hệ số của ${{x}^{9}}$: $C_{9}^{9}+C_{10}^{9}+C_{11}^{9}+C_{12}^{9}+C_{13}^{9}+C_{14}^{9}=3003$.

[Ẩn HD]

Câu 46: Tìm hệ số của ${{x}^{5}}$ trong khai triển đa thức của: $x{{\left( 1-2x \right)}^{5}}+{{x}^{2}}{{\left( 1+3x \right)}^{10}}$

[A]. 3320

[B]. 2130

[C]. 3210

[D]. 1313

Hướng dẫn

Chọn A

Đặt $f(x)=x{{\left( 1-2x \right)}^{5}}+{{x}^{2}}{{\left( 1+3x \right)}^{10}}$

Ta có : $f(x)=x\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{x}^{k}}}+{{x}^{2}}\sum\limits_{i=0}^{10}{C_{10}^{i}}{{\left( 3x \right)}^{i}}$

$=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{x}^{k+1}}}+\sum\limits_{i=0}^{10}{C_{10}^{i}}{{3}^{i}}.{{x}^{i+2}}$

Vậy hệ số của ${{x}^{5}}$ trong khai triển đa thức của $f(x)$ ứng với $k=4$ và $i=3$ là: $C_{5}^{4}{{\left( -2 \right)}^{4}}+C_{10}^{3}{{.3}^{3}}=3320$.

[Ẩn HD]

Câu 47: Tìm hệ số cuả ${{x}^{8}}$ trong khai triển đa thức $f(x)={{\left[ 1+{{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{8}}$

[A]. 213

[B]. 230

[C]. 238

[D]. 214

Hướng dẫn

Chọn C

Cách 1

${{\left[ 1+{{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{8}}=C_{8}^{0}+C_{8}^{1}{{x}^{2}}\left( 1-x \right)+C_{8}^{2}{{x}^{4}}{{\left( 1-x \right)}^{2}}+C_{8}^{3}{{x}^{6}}{{\left( 1-x \right)}^{3}}$

$+C_{8}^{4}{{x}^{8}}{{\left( 1-x \right)}^{4}}+C_{8}^{5}{{x}^{10}}{{\left( 1-x \right)}^{5}}…+C_{8}^{8}{{x}^{16}}{{\left( 1-x \right)}^{8}}$

Trong khai triển trên ta thấy bậc của $x$ trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của $x$ trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. Do đó ${{x}^{8}}$ chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: $C_{8}^{3}.C_{3}^{2},\,\,C_{8}^{4}.C_{4}^{0}$.

Vậy hệ số cuả ${{x}^{8}}$ trong khai triển đa thức ${{\left[ 1+{{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{8}}$ là:

${{a}_{8}}=C_{8}^{3}.C_{3}^{2}+\,\,C_{8}^{4}.C_{4}^{0}=238$.

Cách 2: Ta có:
${{\left[ 1+{{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{8}}=\sum\limits_{n=0}^{8}{C_{8}^{n}}{{x}^{2n}}{{\left( 1-x \right)}^{n}}=\sum\limits_{n=0}^{8}{C_{8}^{n}}\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{2n+}}^{k}}$

với $0\le k\le n\le 8$.

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $2n+k=8\Rightarrow k=8-2n$ là một số chẵn.

Thử trực tiếp ta được $k=0;n=4$ và $k=2,\,n=3$.

Vậy hệ số của ${{x}^{8}}$ là $C_{8}^{3}.C_{3}^{2}+\,\,C_{8}^{4}.C_{4}^{0}=238$.

[Ẩn HD]

Câu 48: Đa thức $P\left( x \right)={{\left( 1+3x+2{{x}^{2}} \right)}^{10}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+…+{{a}_{20}}{{x}^{20}}$. Tìm ${{a}_{15}}$

[A]. ${{a}_{15}}=C_{10}^{10}.C_{10}^{5}{{.3}^{5}}+C_{10}^{9}.C_{9}^{6}{{.3}^{3}}+C_{10}^{8}.C_{8}^{7}.3.$

[B]. ${{a}_{15}}=C_{10}^{10}.C_{10}^{5}{{.2}^{5}}+C_{10}^{9}.C_{9}^{6}{{.2}^{6}}+C_{10}^{8}.C_{8}^{7}{{.2}^{7}}$

[C]. ${{a}_{15}}=C_{10}^{10}.C_{10}^{5}{{.3}^{5}}{{.2}^{5}}+C_{10}^{9}.C_{9}^{6}{{.3}^{3}}{{.2}^{6}}+C_{10}^{8}.C_{8}^{7}{{.2}^{7}}$

[D]. ${{a}_{15}}=C_{10}^{10}.C_{10}^{5}{{.3}^{5}}{{.2}^{5}}+C_{10}^{9}.C_{9}^{6}{{.3}^{3}}{{.2}^{6}}+C_{10}^{8}.C_{8}^{7}{{.3.2}^{7}}$

Hướng dẫn

Chọn D

Ta có: $P\left( x \right)={{\left( 1+3x+2{{x}^{2}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{\left( 3x+2{{x}^{2}} \right)}^{k}}$

$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}}{{(3x)}^{k-i}}.{{(2{{x}^{2}})}^{i}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}}{{.3}^{k-i}}{{.2}^{i}}{{x}^{k+i}}$

với $0\le i\le k\le 10\,\,$. Do đó $k+i=15$ với các trường hợp

$k=10,i=5$ hoặc $k=9,i=6$ hoặc $k=8,i=7$

Vậy ${{a}_{15}}=C_{10}^{10}.C_{10}^{5}{{.3}^{5}}{{.2}^{5}}+C_{10}^{9}.C_{9}^{6}{{.3}^{3}}{{.2}^{6}}+C_{10}^{8}.C_{8}^{7}{{.3.2}^{7}}$.

[Ẩn HD]

Câu 49:  Tìm hệ số không chứa $x$ trong các khai triển sau ${{({{x}^{3}}-\dfrac{2}{x})}^{n}}$, biết rằng $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78$ với $x>0$

[A]. -112640

[B]. 112640

[C]. -112643

[D]. 112643

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có: $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78\Leftrightarrow \dfrac{n!}{(n-1)!1!}+\dfrac{n!}{(n-2)!2!}=78$

$\Leftrightarrow n+\dfrac{n(n-1)}{2}=78\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-156=0\Leftrightarrow n=12$.

Khi đó: $f(x)={{\left( {{x}^{3}}-\dfrac{2}{x} \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{(-2)}^{k}}{{x}^{36-4k}}}$

Số hạng không chứa $x$ ứng với $k:36-4k=0\Rightarrow k=9$

Số hạng không chứa $x$ là: ${{(-2)}^{9}}C_{12}^{9}=-112640$

[Ẩn HD]

Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi ${{a}_{3n-3}}$ là hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${{({{x}^{2}}+1)}^{n}}{{(x+2)}^{n}}$. Tìm $n$ để ${{a}_{3n-3}}=26n$

[A]. n=5

[B]. n=4

[C]. n=3

[D]. n=2

Hướng dẫn

Chọn A

Cách 1:Ta có :

$\begin{align}
{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{2n}}+C_{n}^{1}{{x}^{2n-2}}+C_{n}^{2}{{x}^{2n-4}}+…+C_{n}^{n} \\
{{\left( x+2 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}+2C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+{{2}^{2}}C_{n}^{2}{{x}^{n-2}}+…+{{2}^{n}}C_{n}^{n} \\
\end{align}$

Dễ dàng kiểm tra $n=1$, $n=2$ không thoả mãn điều kiện bài toán.

Với $n\ge 3$ thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích

${{x}^{3n-3}}={{x}^{2n}}.{{x}^{n-3}}={{x}^{2n-2}}.{{x}^{n-1}}$

Do đó hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ trong khai triển thành đa thức của

${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}$ là : ${{a}_{3n-3}}={{2}^{3}}.C_{n}^{0}.C_{n}^{3}+2.C_{n}^{1}.C_{n}^{1}$.

Suy ra ${{a}_{3n-3}}=26n\Leftrightarrow \dfrac{2n\left( 2{{n}^{2}}-3n+4 \right)}{3}=26n\Leftrightarrow n=-\dfrac{7}{2}$ hoặc$n=5$

Vậy $n=5$ là giá trị cần tìm.

 Cách 2:

Ta có: ${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}={{x}^{3n}}{{\left( 1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{n}}{{\left( 1+\dfrac{2}{x} \right)}^{n}}$

$={{x}^{3n}}\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}{{\left( \dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{i}}\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( \dfrac{2}{x} \right)}^{k}}}=}{{x}^{3n}}\left[ \sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}{{x}^{-2i}}\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{-k}}}} \right]$

Trong khai triển trên, luỹ thừa của $x$ là $3n-3$ khi

$-2i-k=-3\Leftrightarrow 2i+k=3$.

Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là $i=0,k=3$ hoặc

$i=1,k=1$(vì $i,k$ nguyên).

Hệ số của ${{x}^{3n-3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{n}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}$

Là :${{a}_{3n-3}}=C_{n}^{0}.C_{n}^{3}{{.2}^{3}}+C_{n}^{1}.C_{n}^{1}.2$.

Do đó ${{a}_{3n-3}}=26n\Leftrightarrow \dfrac{2n\left( 2{{n}^{2}}-3n+4 \right)}{3}=26n\Leftrightarrow n=-\dfrac{7}{2}$hoặc$n=5$

Vậy $n=5$ là giá trị cần tìm.

[Ẩn HD]

Câu 51:  Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{26}}$trong khai triển nhị thức Newton của ${{\left( \dfrac{1}{{{x}^{4}}}+{{x}^{7}} \right)}^{n}}$, biết $C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+…+C_{2n+1}^{n}={{2}^{20}}-1$.

[A]. 210

[B]. 213

[C]. 414

[D]. 213

Hướng dẫn

Chọn A

Do $C_{2n+1}^{k}=C_{2n+1}^{2n+1-k}\text{  }\forall k=0,1,2,…,2n+1$

$\Rightarrow C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+…+C_{2n+1}^{n}=C_{2n+1}^{n+1}+C_{2n+1}^{n+2}+…+C_{2n+1}^{2n+1}$

Mặt khác: $C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+…+C_{2n+1}^{2n+1}={{2}^{2n+1}}$

$\Rightarrow 2(C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+…+C_{2n+1}^{n})={{2}^{2n+1}}$

$\Rightarrow C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+…+C_{2n+1}^{n}={{2}^{2n}}-C_{2n+1}^{0}={{2}^{2n}}-1$

$\Rightarrow {{2}^{2n}}-1={{2}^{20}}-1\Rightarrow n=10$.

Khi đó: ${{\left( \dfrac{1}{{{x}^{4}}}+{{x}^{7}} \right)}^{10}}={{\left( {{x}^{-4}}+{{x}^{7}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{({{x}^{-4}})}^{10-k}}.{{x}^{7k}}}$$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{x}^{11k-40}}}$

Hệ số chứa ${{x}^{26}}$ ứng với giá trị $k:$ $11k-40=26\Rightarrow k=6$.

Vậy hệ số chứa ${{x}^{26}}$ là: .

[Ẩn HD]

Câu 52: Cho $n\in \mathbb{N}*$ và ${{(1+x)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$. Biết rằng tồn tại số nguyên $k$ ($1\le k\le n-1$) sao cho $\dfrac{{{a}_{k-1}}}{2}=\dfrac{{{a}_{k}}}{9}=\dfrac{{{a}_{k+1}}}{24}$. Tính $n=?$.

[A]. 10

[B]. 11

[C]. 20

[D]. 22

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có: ${{a}_{k}}=C_{n}^{k}$, suy ra hệ $\left\{ \begin{align}
\dfrac{1}{2}\dfrac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\dfrac{1}{9}\dfrac{n!}{(n-k)!k!} \\
\dfrac{1}{9}\dfrac{n!}{(n-k)!k!}=\dfrac{1}{24}\dfrac{n!}{(n-k-1)!(k+1)!} \\
\end{align} \right.$\

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
9k=2(n-k+1) \\
24(k+1)=9(n-k) \\
\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
2n-11k=-2 \\
9n-33k=24 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow n=10,k=2$.

[Ẩn HD]

Câu 53: Trong khai triển của ${{(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}x)}^{10}}$ thành đa thức

${{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{9}}{{x}^{9}}+{{a}_{10}}{{x}^{10}}$, hãy tìm hệ số ${{a}_{k}}$ lớn nhất ($0\le k\le 10$).

[A]. ${{a}_{10}}=3003\dfrac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}$

[B]. ${{a}_{5}}=3003\dfrac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}$

[C]. ${{a}_{4}}=3003\dfrac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}$

[D]. ${{a}_{9}}=3003\dfrac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}$

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có: ${{\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}x \right)}^{15}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{15-k}}{{\left( \dfrac{2}{3}x \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}\dfrac{{{2}^{k}}}{{{3}^{15}}}{{x}^{k}}}}$

Hệ số của ${{x}^{k}}$ trong khai triển ${{a}_{k}}=\dfrac{1}{{{3}^{^{15}}}}C_{15}^{k}{{2}^{k}}$

Ta có: ${{a}_{k-1}}<{{a}_{k}}\Leftrightarrow C_{15}^{k-1}{{2}^{k-1}}<C_{15}^{k}{{2}^{k}}\Leftrightarrow C_{15}^{k-1}<2C_{15}^{k}$

$\Leftrightarrow k<\dfrac{32}{3}\Rightarrow k\le 10.$ Từ đó: ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<…<{{a}_{10}}$

Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được:

${{a}_{k-1}}<{{a}_{k}}\Leftrightarrow k>\dfrac{32}{3}\Rightarrow {{a}_{10}}>{{a}_{11}}>…>{{a}_{15}}$

Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: ${{a}_{10}}=\dfrac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}C_{15}^{10}=3003\dfrac{{{2}^{10}}}{{{3}^{15}}}$.

[Ẩn HD]

Câu 54: Giả sử ${{(1+2x)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$, biết rằng ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}+…+{{a}_{n}}=729$. Tìm $n$ và số lớn nhất trong các số ${{a}_{0}},{{a}_{1}},…,{{a}_{n}}$­.

[A]. n=6, $\max \left\{ {{a}_{k}} \right\}={{a}_{4}}=240$

[B]. n=6, $\max \left\{ {{a}_{k}} \right\}={{a}_{6}}=240$

[C]. n=4, $\max \left\{ {{a}_{k}} \right\}={{a}_{4}}=240$

[D]. n=4, $\max \left\{ {{a}_{k}} \right\}={{a}_{6}}=240$

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có: ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}+…+{{a}_{n}}={{(1+2.1)}^{n}}={{3}^{n}}=729\Rightarrow n=6$

${{a}_{k}}=C_{6}^{k}{{2}^{k}}$ suy ra $\max \left\{ {{a}_{k}} \right\}={{a}_{4}}=240$.

[Ẩn HD]

Câu 55:  Cho khai triển ${{(1+2x)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$, trong đó $n\in \mathbb{N}*$. Tìm số lớn nhất trong các số ${{a}_{0}},{{a}_{1}},…,{{a}_{n}}$, biết các hệ số ${{a}_{0}},{{a}_{1}},…,{{a}_{n}}$ thỏa mãn hệ thức: ${{a}_{0}}+\dfrac{{{a}_{1}}}{2}+…+\dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n}}}=4096$.

[A]. 126720

[B]. 213013

[C]. 130272

[D]. 130127

Hướng dẫn

Chọn A

Đặt $f(x)={{(1+2x)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+…+{{a}_{n}}{{x}^{n}}$

$\Rightarrow {{a}_{0}}+\dfrac{{{a}_{1}}}{2}+…+\dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n}}}=f\left( \dfrac{1}{2} \right)={{2}^{n}}$$\Rightarrow {{2}^{n}}=4096\Leftrightarrow n=12$

Với mọi $k\in \left\{ 0,1,2,…,11 \right\}$ ta có: ${{a}_{k}}={{2}^{k}}C_{12}^{k},\text{ }{{a}_{k+1}}={{2}^{k+1}}C_{12}^{k+1}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{{a}_{k}}}{{{a}_{k+1}}}<1\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{k}}C_{12}^{k}}{{{2}^{k+1}}C_{12}^{k+1}}<1\Leftrightarrow \dfrac{k+1}{2(12-k)}<1\Leftrightarrow k<\dfrac{23}{3}$

Mà $k\in Z\Rightarrow k\le 7$. Do đó ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<…<{{a}_{8}}$

Tương tự: $\dfrac{{{a}_{k}}}{{{a}_{k+1}}}>1\Leftrightarrow k>7\Rightarrow {{a}_{8}}>{{a}_{9}}>…>{{a}_{12}}$

Số lớn nhất trong các số ${{a}_{0}},{{a}_{1}},…,{{a}_{12}}$ là ${{a}_{8}}={{2}^{8}}C_{12}^{8}=126720$.

[Ẩn HD]