Đại số giải tích 11: Tổ hợp, chỉnh hợp: bài tập sắp xếp vị trí và phân công công việc

Đại số giải tích 11: Tổ hợp, chỉnh hợp: bài tập sắp xếp vị trí và phân công công việc

Câu 2: Một liên đoàn bóng rổ có 10 đội, mỗi đội đấu với mỗi đội khác hai lần, một lần ở sân nhà và một lần ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:

A. 45.

B. 90.

C. 100.

D. 180.

Hướng dẫn

Chọn B

Mỗi đội sẽ gặp 9 đội còn lại. Do đó có 10.9=90 trận đấu.

[Ẩn HD]

Câu 3: Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:

A. 180.

B. 160.

C. 90.

D. 45.

Hướng dẫn

Chọn A

Mỗi đội sẽ gặp 9 đội khác trong hai lượt trận sân nhà và sân khách. Có 10.9=90 trận.

Mỗi đội đá 2 trận sân nhà, 2 trận sân khách. Nên số trận đấu là 2.90=180 trận.

[Ẩn HD]

Câu 4: Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là:

A. $\dfrac{5!}{2!}$.

B. $8$.

C. $\dfrac{5!}{3!2!}$.

D. ${{5}^{3}}$.

Hướng dẫn

Chọn A

Chọn 3 trong 5 màu để tô vào 3 nước khác nhau nên có $A_{5}^{3}=\dfrac{5!}{2!}$ cách.

[Ẩn HD]

Câu 5: Sau bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Có tất cả 66 người lần lượt bắt tay. Hỏi trong phòng có bao nhiêu người:

A. 11.

B. 12.

C. 33.

D. 66.

Hướng dẫn

Chọn B

Cứ hai người sẽ có 1 lần bắt tay.
Khi đó $C_{n}^{2}=66\Leftrightarrow \dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!.2!}=66\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)=132\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
n=12 \\
n=-11 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow n=12$ $\left( n\in \mathbb{N} \right)$

[Ẩn HD]

Câu 6: Tên 15 học sinh được ghi vào 15 tờ giấy để vào trong hộp. Chọn tên 4 học sinh để cho đi du lịch. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các học sinh:

A. 4!.

B. 15!.

C. 1365.

D. 32760.

Hướng dẫn

Chọn C

Chọn 4 trong 15 học sinh (không phân biệt thứ tự) là tổ hợp chập 4 của 15.

Vậy có $C_{15}^{4}=1365$ cách chọn.

[Ẩn HD]

Câu 7: Một hội đồng gồm 2 giáo viên và 3 học sinh được chọn từ một nhóm 5 giáo viên và 6 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

A. 200.

B. 150.

C. 160.

D. 180.

Hướng dẫn

Chọn A

Chọn $2$ trong $5$ giáo viên có: $C_{5}^{2}=10$ cách chọn.

Chọn $3$ trong $6$ học sinh có $C_{6}^{3}=20$ cách chọn.

Vậy có 10.20=200 cách chọn.

[Ẩn HD]

Câu 8: Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực trong đó phải có An:

A. 990.

B. 495.

C. 220.

D. 165.

Hướng dẫn

Chọn D

Chọn An có 1 cách chọn.

Chọn $3$ bạn trong $11$ bạn còn lại có $C_{11}^{3}=165$ cách chọn.

Vậy có 165 cách chọn.

[Ẩn HD]

Câu 9: Từ một nhóm 5 người, chọn ra các nhóm ít nhất 2 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

A. 25.

B. 26.

C. 31.

D. 32.

Hướng dẫn

Chọn B

Chọn lần lượt nhóm có $2,\,3,\,4,\,5$ người, ta có $C_{5}^{2},\,C_{5}^{3},\,C_{5}^{4},\,C_{5}^{5}$ cách chọn.

Vậy tổng cộng có: $C_{5}^{2}+C_{5}^{3}+C_{5}^{4}+C_{5}^{5}=26$ cách chọn.

[Ẩn HD]

Câu 10: Một tổ gồm 7 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực sao cho có ít nhất 2 nữ?

A. \[\left( C_{7}^{2}+C_{6}^{5})+(C_{7}^{1}+C_{6}^{3} \right)+C_{6}^{4}\].

B. \[\left( C_{7}^{2}.C_{6}^{2} \right)+\left( C_{7}^{1}.C_{6}^{3} \right)+C_{6}^{4}\].

C. $C_{11}^{2}.C_{12}^{2}$.

D. $C_{7}^{2}.C_{6}^{2}+C_{7}^{3}.C_{6}^{1}+C_{7}^{4}$.

Hướng dẫn

Chọn B

Chọn nhóm gồm $2$ nam, $2$ nữ, có $C_{7}^{2}.C_{6}^{2}$ cách.

Chọn nhóm gồm $1$ nam, $3$ nữ, có $C_{7}^{1}.C_{6}^{3}$ cách.

Chọn nhóm gồm $4$ nữ, có $C_{6}^{4}$ cách

Vậy có: $\left( C_{7}^{2}.C_{6}^{2} \right)+\left( C_{7}^{1}.C_{6}^{3} \right)+C_{6}^{4}$ cách.

[Ẩn HD]

Câu 11: Số cách chia $10$ học sinh thành $3$ nhóm lần lượt gồm $2$, $3$, $5$ học sinh là:

A. $C_{10}^{2}+C_{10}^{3}+C_{10}^{5}$.

B. $C_{10}^{2}.C_{8}^{3}.C_{5}^{5}$.

C. $C_{10}^{2}+C_{8}^{3}+C_{5}^{5}$.

D. $C_{10}^{5}+C_{5}^{3}+C_{2}^{2}$.

Hướng dẫn

Chọn B

Chọn $2$ trong $10$ học sinh chia thành nhóm $2$ có: $C_{10}^{2}$ cách.

Chọn $3$ trong $8$ học sinh còn lại chia thành nhóm $3$ có: $C_{8}^{3}$ cách.

Chọn $5$ trong $5$ học sinh còn lại chia thành nhóm $5$ có $C_{5}^{5}$ cách.

Vậy có $C_{10}^{2}.C_{8}^{3}.C_{5}^{5}$ cách.

[Ẩn HD]

Câu 12: Một thí sinh phải chọn 10 trong số 20 Câu hỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 Câu hỏi này nếu 3. Câu đầu phải được chọn:

A. $C_{20}^{10}$.

B. $c_{7}^{10}+C_{10}^{3}$.

C. $C_{10}^{7}.C_{10}^{3}$.

D. $C_{17}^{7}$.

Hướng dẫn

Chọn D

Thí sinh chỉ phải chọn $7$ Câu trong $17$ Câu còn lại. Vậy có $C_{17}^{7}$ cách chọn.

[Ẩn HD]

Câu 13: Trong các Câu sau Câu nào sai?

A. $C_{14}^{3}=C_{14}^{11}$.

B. $C_{10}^{3}+C_{10}^{4}=C_{11}^{4}$.

C. $C_{4}^{0}+C_{4}^{1}+C_{4}^{2}+C_{4}^{3}+C_{4}^{4}=16$.

D. $C_{10}^{4}+C_{11}^{4}=C_{11}^{5}$.

Hướng dẫn

Chọn D

Ta có công thức: $C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$ nên đáp án sai là $C_{10}^{4}+C_{11}^{4}=C_{11}^{5}$.

[Ẩn HD]

Câu 14: Có tất cả 120 cách chọn 3 học sinh từ nhóm n (chưa biết) học sinh. Số n là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. $n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)=120$.

B. $n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)=720$.

C. $n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)=120$.

D. $n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)=720$.

Hướng dẫn

Chọn D

Chọn $3$ trong $n$ học sinh có $C_{n}^{3}=\dfrac{n!}{\left( n-3 \right)!.3!}=\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}$.

Khi đó $C_{n}^{3}=120\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)=720$.

[Ẩn HD]

Câu 15: Số cách chọn một ban chấp hành gồm một trưởng ban, một phó ban, một thư kí và một thủ quỹ được chọn từ 16 thành viên là:

A. 4.

B. $\dfrac{16!}{4}$.

C. $\dfrac{16!}{12!.4!}$.

D. $\dfrac{16!}{12!}$.

Hướng dẫn

Chọn D

Chọn 4 trong 16 thành viên để bầu ban chấp hành (có phân biệt thứ tự) có $A_{16}^{4}=\dfrac{16!}{12!}$

[Ẩn HD]

Câu 16: Trong một buổi hoà nhạc, có các ban nhạc của các trường đại học từ Huế, Đà Nằng, Quy Nhơn, Nha Trang, Đà Lạt tham dự. Tìm số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên.

A. 4.

B. 20.

C. 24.

D. 120.

Hướng dẫn

Chọn C

Sắp xếp thứ tự biểu diễn của 4 ban nhạc còn lại có $A_{4}^{4}=4!=20$ cách.

[Ẩn HD]

Câu 17: Ông và bà An cùng có 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọcCó bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng:

A. 720.

B. 1440.

C. 18720.

D. 40320.

Hướng dẫn

Chọn C

Ta dùng phần bù.

Sắp 8 người vào 8 vị trí theo hàng dọc có 8! cách sắp xếp.

Sắp ông và bà An vào 2 trong 6 vị trí (trừ vị trí đầu và cuối hàng) có $A_{6}^{2}$ cách.

Sắp 6 người con vào 6 vị trí còn lại có 6! cách.

[Ẩn HD]

Câu 18: Trong một hộp bánh có 6 loại bánh nhân thịt và 4 loại bánh nhân đậu xanh. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 bánh để phát cho các em thiếu nhi.

A. 240.

B. 151200.

C. 14200.

D. 210.

Hướng dẫn

Chọn D

Chọn 6 trong 10 bánh có $C_{10}^{6}=210$ cách.

[Ẩn HD]

Câu 19:  Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lô đất chia thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa yêu cầu trên

A. 144

B. 125

C. 140

D. 132

Hướng dẫn

Xem lô đất có 4 vị trí gồm 2 vị trí 1 nền, 1 vị trí 2 nền và 1 vị trí 3 nền.

Bước 1: nhóm thứ nhất chọn 1 vị trí cho 2 nền có 4 cách và mỗi cách có

$2!=2$ cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có $4.2=8$ cách chọn nền.

Bước 2: nhóm thứ hai chọn 1 trong 3 vị trí còn lại cho 3 nền có 3 cách và mỗi cách có $3!=6$ cách chọn nền cho mỗi người.

Suy ra có $3.6=18$ cách chọn nền.

Vậy có $8.18=144$ cách chọn nền cho mỗi người

[Ẩn HD]

Câu 20: Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:

A. 180

B. 160.

C. 90.

D. 45.

Hướng dẫn

Chọn A

Mỗi đội sẽ gặp 9 đội khác trong hai lượt trận sân nhà và sân khách. Có 10.9=90 trận.

Mỗi đội đá 2 trận sân nhà, 2 trận sân khách. Nên số trận đấu là 2.90=180 trận.

[Ẩn HD]

Câu 21: Một Thầy giáo có 10 cuốn sách Toán đôi một khác nhau, trong đó có 3 cuốn Đại số, 4 cuốn Giải tích và 3 cuốn Hình họcÔng muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh sao cho sau khi tặng mỗi loại sách còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng.

A. 23314

B. 32512

C. 24480

D. 24412

Hướng dẫn

Số cách lấy 5 cuốn sách và đem tặng cho 5 học sinh:$S=A_{10}^{5}=30240$ cách.

Số cách chọn sao cho không còn sách Đại số:${{S}_{1}}=C_{7}^{2}.5!=2520$ cách

Số cách chọn sao cho không còn sách Giải tích:${{S}_{2}}=C_{6}^{1}.5!=720$ cách

Số cách chọn sao cho không còn sách Hình học:${{S}_{3}}=C_{7}^{2}.5!=2520$ cách.

Vậy số cách tặng thỏa yêu cầu bài toán::$S-{{S}_{1}}-{{S}_{2}}-{{S}_{3}}=24480$ cách tặng.

[Ẩn HD]

Câu 22:  Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người,gồm 12 nam và 3 nữ.Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ ?

A. 12141421

B. 5234234

C. 4989600

D. 4144880

Hướng dẫn

Có $C_{12}^{4}$ cách phân công 4 nam về tỉnh thứ nhất

Với mỗi cách phân công trên thì có $C_{8}^{4}$ cách phân công 4 nam về tỉnh thứ hai và có $C_{4}^{4}$ cách phân công 4 nam còn lại về tỉnh thứ ba.

Khi phân công nam xong thì có $3!$ cách phân công ba nữ về ba tỉnh đó.

Vậy có tất cả $C_{12}^{4}.C_{8}^{4}.C_{4}^{4}.3!=4989600$ cách phân công.

[Ẩn HD]

Câu 23: Đội thanh niên xung kích có của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp

C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

A. 4123

B. 3452

C. 372

D. 446

Hướng dẫn

TH 1: 4 học sinh được chọn thuộc một lớp:

$\bullet $ A: có $C_{5}^{4}=5$ cách chọn

$\bullet $ B: có $C_{4}^{4}=1$ cách chọn

Trường hợp này có: $6$ cách chọn.

TH 2: 4 học sinh được chọn thuộc hai lớp:

$\bullet $ A và B: có $C_{9}^{4}-(C_{5}^{4}+C_{4}^{4})=120$

$\bullet $ B và C: có $C_{9}^{4}-C_{4}^{4}=125$

$\bullet $ C và A: có $C_{9}^{4}-C_{5}^{4}=121$

Trường hợp này có 366 cách chọn.

Vậy có 372 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.

[Ẩn HD]

Câu 24: Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội cờ đỏ.

A. 131444

B. 141666

C. 241561

D. 111300

Hướng dẫn

Vì trong 5 người được chọn phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất phải có 2 nam nên số học sinh nữ gồm 1 hoặc 2 hoặc 3 nên ta có các trường hợp sau:

$\bullet $ chọn 1 nữ và 4 nam.

+) Số cách chọn 1 nữa: 5 cách

+) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: $A_{15}^{2}$

+) Số cách chọn 2 nam còn lại: $C_{13}^{2}$

Suy ra có $5A_{15}^{2}.C_{13}^{2}$ cách chọn cho trường hợp này.

$\bullet $ chọn 2 nữ và 3 nam.

+) Số cách chọn 2 nữ: $C_{5}^{2}$ cách.

+) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: $A_{15}^{2}$cách.

+) Số cách chọn 1 còn lại: 13 cách.

Suy ra có \[13A_{15}^{2}.C_{5}^{2}\] cách chọn cho trường hợp này.

$\bullet $ Chọn 3 nữ và 2 nam.

+) Số cách chọn 3 nữ : $C_{5}^{3}$ cách.

+) Số cách chọn 2 làm đội trưởng và đội phó: $A_{15}^{2}$ cách.

Suy ra có $A_{15}^{2}.C_{5}^{3}$ cách chọn cho trường hợp 3.

Vậy có $5A_{15}^{2}.C_{13}^{2}+13A_{15}^{2}.C_{5}^{2}+A_{15}^{2}.C_{5}^{3}=111300$ cách.

[Ẩn HD]

Câu 25: Một Thầy giáo có 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Văn và 7 cuốn sách anh văn và các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy giáo muốn tặng 6 cuốn sách cho 6 học sinh. Hỏi Thầy giáo có bao nhiêu cách tặng nếu:

1/ Thầy giáo chỉ muốn tặng hai thể loại

A. 2233440

B. 2573422

C. 2536374

D. 2631570

2/ Thầy giáo muốn sau khi tặng xong mỗi thể loại còn lại ít nhất một cuốn.

A. 13363800

B. 2585373

C. 57435543

D. 4556463

Hướng dẫn

1/ Tặng hai thể loại Toán, Văn có :$A_{11}^{6}$ cách

Tặng hai thể loại Toán, Anh Văn có :$A_{12}^{6}$ cách

Tặng hai thể loại Văn, Anh Văn có :$A_{13}^{6}$ cách

Số cách tặng: $A_{11}^{6}+A_{12}^{6}+A_{13}^{6}=2233440$

2/ Số cách tặng hết sách Toán : $5!.13=1560$

Số cách tặng hết sách Văn: $6!=720$

Số cách tặng thỏa yêu cầu bài toán: $A_{18}^{6}-1560-720=13363800$.

[Ẩn HD]

Câu 26: Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 HS khối 12, 6 HS khối 11 và 5 HS khối10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 HS được chọn

A. 41811

B. 42802

C. 41822

D. 32023

Hướng dẫn

Số cách chọn 8 học sinh gồm hai khối là:

$C_{13}^{8}+C_{11}^{8}+C_{12}^{8}=1947$.

Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: $C_{18}^{8}-1947=41811$.

[Ẩn HD]

Câu 27: Một cuộc họp có 13 người, lúc ra về mỗi người đều bắt tay người khác một lần, riêng chủ tọa chỉ bắt tay ba người. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?

A. 69

B. 80

C. 82

D. 70

Hướng dẫn

Số bắt tay 12 người (trừ chủ tọa) $C_{12}^{2}$

Vậy có : $C_{12}^{2}+3=69$ bắt tay.

[Ẩn HD]

Câu 28: Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 em khối 12, 6 em khối 11 và 5 em khối 10. Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn

A. 41811

B. 42802

C. 41822

D. 32023

Hướng dẫn

Số cách chọn 8 học sinh gồm hai khối là:

$C_{13}^{8}+C_{11}^{8}+C_{12}^{8}=1947$.

Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: $C_{18}^{8}-1947=41811$.

[Ẩn HD]

Câu 29: Trong một môn học, Thầy giáo có 30 Câu hỏi khác nhau gồm 5 Câu khó, 10 Câu trung bình và 15 Câu dễ.Từ 30 Câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,mỗi đề gồm 5 Câu hỏi khác nhau,sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 Câu ( khó, dễ, Trung bình) và số Câu dễ không ít hơn 2?

A. 41811

B. 42802

C. 56875

D. 32023

Hướng dẫn

Ta có các trường hợp sau

TH 1: Đề thi gồm 2 D, 2 TB, 1 K: $C_{15}^{2}.C_{10}^{2}.C_{5}^{1}$

TH 1: Đề thi gồm 2 D, 1 TB, 2 K: $C_{15}^{2}.C_{10}^{1}.C_{5}^{2}$

TH 1: Đề thi gồm 3 D, 1 TB, 1 K: $C_{15}^{3}.C_{10}^{1}.C_{5}^{1}$

Vậy có: $56875$ đề kiểm tra.

[Ẩn HD]

Câu 30: Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác

A. 111300

B. 233355

C. 125777

D. 112342

Hướng dẫn

$\bullet $ Chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có $A_{15}^{2}$ cách.

$\bullet $ Chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ.

+) chọn 1 nữ và 2 nam có $5.C_{13}^{2}$ cách.

+) chọn 2 nữ và 1 nam có $13.C_{5}^{2}$ cách.

+) chọn 3 nữ có $C_{5}^{3}$ cách.

Vậy có $A_{15}^{2}\left( 5.C_{13}^{2}+13.C_{5}^{2}+C_{5}^{3} \right)=111300$ cách.

[Ẩn HD]

Câu 31: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.

A. 46

B. 69

C. 48

D. 40

Hướng dẫn

Cách 1: Ta có các trường hợp sau

$\bullet $ 3 người được chọn gồm 1 nữ và 2 nam.

chọn ra 1 trong 3 nữ ta có 3 cách.

chọn ra 2 trong 5 nam ta có $C_{5}^{2}$ cách

Suy ra có $3C_{5}^{2}$ cách chọn

$\bullet $ 3 người được chọn gồm 2 nữ và 1 nam.

chọn ra 2 trong 3 nữ có $C_{3}^{2}$ cách.

chọn ra 1 trong 5 nam có 5 cách.

Suy ra có $5C_{3}^{2}$ cách chọn.

$\bullet $ 3 người chọn ra gồm 3 nữ có 1 cách.

Vậy có $3C_{5}^{2}+5C_{3}^{2}+1=46$ cách chọn.

Cách 2: Số cách chọn 3 người bất kì là: $C_{8}^{3}$

Số cách chọn 3 người nam cả là: $C_{5}^{3}$

Vậy số cách chọn 3 người thỏa yêu cầu bài toán là:

$C_{8}^{3}-C_{5}^{3}=46$ cách.

[Ẩn HD]

Câu 32: Một hội nghị bàn tròn có các phái đoàn 3 người Anh, 5 người Pháp và 7 người Mỹ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho các thành viên sao cho những người có cùng quốc tịch thì ngồi gần nhau.

A. 72757600

B. 7293732

C. 3174012

D. 1418746

Hướng dẫn

Có $2!$ cách xếp 3 phái đoàn vào bàn tròn. Với mỗi cách xếp thì có:

$3!$ cách xếp các thành viên phái đoàn Anh

$5!$ cách xếp các thành viên phái đoàn Pháp

$7!$ cách xếp các thành viên phái đoàn Mỹ

Vậy có tất cả: $2!3!5!7!=7257600$ cách xếp.

[Ẩn HD]

Câu 33: Một lớp học có 20 nam và 26 nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một ban cán sự gồm 3 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu

1/ Trong ban cán sự có ít nhất một nam

A. 12580

B. 12364

C. 12462

D. 12561

2/ Trong ban cán sự có cả nam và nữ.

A. 11440

B. 11242

C. 24141

D. 53342

Hướng dẫn

Có $C_{46}^{3}$ cách chọn ba học sinh trong lớp

1/ Có $C_{26}^{3}$ cách chọn ban cán sự không có nam (ta chọn nữ cả)

Do đó, có $C_{46}^{3}-C_{26}^{3}=12580$ cách chọn ban cán sự trong đó có ít nhất một nam được chọn.

2/ Có $C_{26}^{3}$ cách chọn ban cán sự không có nam

Có $C_{20}^{3}$ cách chọn ban cán sự không có nữ.

Vậy có $C_{46}^{3}-(C_{26}^{3}+C_{20}^{3})=11440$ cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.

[Ẩn HD]

Câu 34: Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy?

A. $C_{7}^{3}C_{26}^{7}$

B. $C_{4}^{2}C_{19}^{9}$

C. $C_{7}^{2}C_{26}^{8}C_{5}^{3}C_{18}^{8}$

D. $C_{7}^{3}C_{26}^{7}$$C_{4}^{2}C_{19}^{9}$+$C_{7}^{2}C_{26}^{8}C_{5}^{3}C_{18}^{8}$+$C_{7}^{2}C_{26}^{8}C_{5}^{2}C_{18}^{9}$

Hướng dẫn

Số cách chia lớp thành 3 tổ thỏa yêu cầu có 3 trường hợp

* TH1: Tổ 1 có 3 nữ, 7 nam có $C_{7}^{3}C_{26}^{7}$ cách chọn

Tổ 2 có 2 nữ, 9 nam có $C_{4}^{2}C_{19}^{9}$ cách chọn

Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam có $C_{2}^{2}C_{10}^{10}=1$ cách chọn

Vậy có $C_{7}^{3}C_{26}^{7}$$C_{4}^{2}C_{19}^{9}$ cách chia thành 3 tổ trong TH này

* TH2: Tổ 2 có 3 nữ và hai tổ còn lại có 2 nữ, tương tự tính được $C_{7}^{2}C_{26}^{8}C_{5}^{3}C_{18}^{8}$ cách chia.

* TH3: Tổ 3 có 3 nữ và hai tổ còn lại có 2 nữ, tương tự tính được $C_{7}^{2}C_{26}^{8}C_{5}^{2}C_{18}^{9}$ cách chia.

Vậy có tất cả $C_{7}^{3}C_{26}^{7}$$C_{4}^{2}C_{19}^{9}$+$C_{7}^{2}C_{26}^{8}C_{5}^{3}C_{18}^{8}$+$C_{7}^{2}C_{26}^{8}C_{5}^{2}C_{18}^{9}$ cách chia

[Ẩn HD]

Câu 35: Từ 20 Câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 Câu dễ, 7 Câu trung bình và 4 Câu khó người ta chọn ra 10 Câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra

A. 176451

B. 176435

C. 268963

D. 168637

Hướng dẫn

* Loại 1: chọn 10 Câu tùy ý trong 20 câu có $C_{20}^{10}$ cách.

* Loại 2: chọn 10 Câu có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó.

+) Chọn 10 Câu dễ và trung bình trong 16 Câu có $C_{16}^{10}$ cách.

+) Chọn 10 Câu dễ và khó trong 13 Câu có $C_{13}^{10}$ cách.

+) Chọn 10 Câu trung bình và khó trong 11 Câu có $C_{11}^{10}$ cách.

Vậy có $C_{20}^{10}-\left( C_{16}^{10}+C_{13}^{10}+C_{11}^{10} \right)=176451$ đề kiểm tra.

[Ẩn HD]

Câu 36: Trong một lớp học có 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn:

1/ Ba học sinh làm ban các sự lớp

A. 6545

B. 6830

C. 2475

D. 6554

2/ Ba học sinh làm ba nhiệm vụ lớp trưởng, lớp phó và bí thư

A. 39270

B. 47599

C. 14684

D. 38690

3/ Ba học sinh làm ban cán sự trong đó có ít nhất một học sinh nữ

A. 6090

B. 6042

C. 5494

D. 7614

4/ Bốn học sinh làm tổ trưởng của 4 tổ sao cho trong 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.

A. 1107600

B. 246352

C. 1267463

D. 1164776

Hướng dẫn

1/ Số cách chọn ban cán sự: $C_{35}^{3}=6545$

2/ Số cách chọn 3 học sinh làm lớp trưởng, lớp phó và bí thư là $A_{35}^{3}=39270$

3/ Số cách chọn ba học sinh làm ban cán sự mà không có nữ được chọn là : $C_{15}^{3}=455$

Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: $C_{35}^{3}-C_{15}^{3}=6090$

4/ Số cách chọn 4 học sinh làm 4 tổ trưởng là: $A_{35}^{4}$

Số cách chọn 4 học sinh làm tổ trưởng trong đó không có học sinh nam được chọn là: $A_{20}^{4}$

Số cách chọn 4 học sinh làm tổ trưởng trong đó không có học sinh nữ được chọn là: $A_{15}^{4}$

Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: $A_{35}^{4}-\left( A_{20}^{4}+A_{15}^{4} \right)=1107600$

[Ẩn HD]

Câu 37: Có 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đôi 1 khác nhau) người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông.

1/ Có bao nhiêu cách chọn các bông hoa được chọn tuỳ ý.

A. 120

B. 136

C. 268

D. 170

2/ Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 1 bông màu đỏ.

A. 4

B. 7

C. 9

D. 8

3/ Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.

A. 13

B. 36

C. 23

D. 36

Hướng dẫn

1/ Mỗi cách chọn thỏa yêu cầu bài toán có nghĩa là ta lấy bất kì 7 bông từ 10 bông đã cho mà không tính đến thứ tự lấy. Do đó mỗi cách lấy là một tổ hợp chập $7$ của $10$ phần tử

Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là: $C_{10}^{7}=120$.

2/ Có 4 cách chọn 1 bông hồng màu đỏ

Với mỗi cách chọn bông hồng màu đỏ, có 1 cách chọn 6 bông còn lại

Vậy có tất cả 4 cách chọn bông thỏa yêu cầu bài toán.

3/ Vì có tất cả 4 bông hồng đỏ nên ta có các trường hợp sau

$\bullet $ 7 bông được chọn gồm 3 bông vàng và 4 bông đỏ

Số cách chọn trong trường hợp này là 1 cách

$\bullet $ 7 bông được chọn gồm 3 bông vàng, 3 bông đỏ và 1 bông trắng

Số cách chọn trong trường hợp này là $3.C_{4}^{3}=12$ cách

Vậy có tất cả 13 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.

[Ẩn HD]

Câu 38:  Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng nhóm đó có ít nhất 3 nữ.

A. 3690

B. 3120

C. 3400

D. 3143

Hướng dẫn

Mỗi cách chọn có ít nhất 3 nữ có 3 khả năng xảy ra

KN1: 3 Nữ + 5 Nam có $C_{5}^{3}C_{10}^{5}$ cách chọn

KN2: 4 Nữ + 4 Nam có $C_{5}^{4}C_{10}^{4}$ cách chọn

KN3: 5 Nữ + 3Nam có $C_{5}^{5}C_{10}^{3}$ cách chọn

Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu là $C_{5}^{3}C_{10}^{5}+C_{5}^{4}C_{10}^{4}+C_{5}^{5}C_{10}^{3}=3690$.

[Ẩn HD]

Câu 39: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.

A. 2037131

B. 3912363

C. 207900

D. 213930

Hướng dẫn

Có $C_{12}^{4}.C_{3}^{1}$ cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất.

Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất thì có

$C_{8}^{4}.C_{2}^{1}$ cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai.

Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và tỉnh thứ hai thì có $C_{4}^{4}.C_{1}^{1}$ cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ baVậy số cách phân công thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \[C_{12}^{4}C_{3}^{1}.C_{8}^{4}C_{2}^{1}.C_{4}^{4}C_{1}^{1}=207900\].

[Ẩn HD]

Câu 40: Có 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 7 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 7 và 8 quả cầu vàng được đánh số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu và khác số.

A. 392

B. 1023

C. 3014

D. 391

Hướng dẫn

Ta chọn các quả cầu theo trình tự sau

Chọn quả xanh: 7 cách chọn

Chọn quả cầu vàng: có 7 cách chọn

Chọn quả cầu đỏ: có 8 cách chọn

Vậy có tất cả $7.7.8=392$ cách chọn.

[Ẩn HD]

Câu 41: Có 7 bông hồng đỏ, 8 bông hồng vàng và 10 bông hồng trắng, mỗi bông hồng khác nhau từng đôi một. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 bông hồng có đủ ba màu.

A. 560

B. 310

C. 3014

D. 319

Hướng dẫn

Số cách lấy 3 bông hồng bất kì: $C_{25}^{3}=2300$

Số cách lấy 3 bông hồng chỉ có một màu: $C_{7}^{3}+C_{8}^{3}+C_{10}^{3}=211$

Số cách lấy 3 bông hồng có đúng hai màu:$C_{15}^{3}+C_{17}^{3}+C_{18}^{3}-2\left( C_{7}^{3}+C_{8}^{3}+C_{10}^{3} \right)=1529$.

Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là:$2300-211-1529=560$.

[Ẩn HD]

Câu 42: Có 7 nhà toán học nam, 4 nhà toán học nữ và 5 nhà vật lí nam.Có bao nhiêu cách lập đoàn công tác gồm 3 người có cả nam và nữ đồng thời có cả toán học và vật lí.

A. 210

B. 314

C. 420

D. 213

Hướng dẫn

Ta có các khả năng sau

$\bullet $ Đoàn công tác gồm: 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí và 1 nhà toán học nam

Số cách chọn: $C_{7}^{1}.C_{4}^{1}.C_{5}^{1}=140$ cách

$\bullet $ Đoàn công tác gồm: 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí

Số cách chọn: $C_{4}^{1}.C_{5}^{2}=40$ cách

$\bullet $ Đoàn công tác gồm: 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí

Số cách chọn: $C_{4}^{2}.C_{5}^{1}=30$ cách

Vậy số cách lập là: $210$ cách.

[Ẩn HD]

Câu 43: Có 15 học sinh lớp A, trong đó có Khánh và 10 học sinh lớp B, trong đó có Oanh. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội tình nguyện gồm 7 học sinh trong đó có 4 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và trong đó chỉ có một trong hai em Hùng và Oanh.

A. $C_{14}^{3}.C_{9}^{3}$

B. $C_{14}^{4}.C_{9}^{2}$

C. $C_{14}^{3}.C_{9}^{3}+C_{14}^{4}.C_{9}^{2}$

D. $C_{9}^{3}+C_{14}^{4}$

Hướng dẫn

Ta có các khả năng sau

$\bullet $ Đội tình nguyện chỉ có Khánh mà không có Oanh

Số cách chọn chính bằng số cách chọn 3 học sinh từ 14 học sinh lớp A (vì đã chọn Khánh) và 3 học sinh từ 9 (vì đã loại Oanh) học sinh lớp B nên số cách chọn bằng: $C_{14}^{3}.C_{9}^{3}$

$\bullet $ Đội tình nguyện chỉ có Oanh mà không có Khánh

Số cách chọn bằng: $C_{14}^{4}.C_{9}^{2}$

Vậy số cách chọn là: $C_{14}^{3}.C_{9}^{3}+C_{14}^{4}.C_{9}^{2}$

[Ẩn HD]

Câu 44: Có $m$ nam và $n$ nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra $k$ người trong đó có ít nhất $a$ nam và ít nhất $b$ nữ ($k\le m,n;a+b<k;a,b\ge 1$)

A. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: $C_{m+n}^{k}-2({{S}_{1}}+{{S}_{2}})$.

B. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: $2C_{m+n}^{k}-({{S}_{1}}+{{S}_{2}})$.

C. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: $3C_{m+n}^{k}-2({{S}_{1}}+{{S}_{2}})$.

D. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: $C_{m+n}^{k}-({{S}_{1}}+{{S}_{2}})$.

Hướng dẫn

Số cách chọn $k$ người trong $m+n$ người là $C_{m+n}^{k}$

*Số cách chọn có ít hơn $a$ nam là: ${{S}_{1}}=\sum\limits_{i=0}^{a-1}{C_{m}^{a-i-1}.C_{n}^{k-a+i+1}}$

*Số cách chọn có ít hơn $b$ nữ là: ${{S}_{2}}=\sum\limits_{i=0}^{b-1}{C_{n}^{b-i-1}.C_{m}^{k-b+i+1}}$

Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: $C_{m+n}^{k}-({{S}_{1}}+{{S}_{2}})$.

[Ẩn HD]