Đại số, Giải tích 11: Bài tập xác suất vận dụng quy tắc đếm

Chọn A

Đặt $y=23$, xét các số $x=\overline{abcde}$ trong đó $a,b,c,d,e$ đôi một khác nhau và thuộc tập $\left\{ 0,1,y,4,5 \right\}$. Có ${{P}_{5}}-{{P}_{4}}=96$ số như vậy

Khi ta hoán vị $2,3$ trong $y$ ta được hai số khác nhau

Nên có 96.2=192 số thỏa yêu cầu bài toán.

Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 3!.3!=36

Chọn C

Chọn A

Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: $2!.4!=48$

Chọn A

Số cách xếp A, F: $2!=2$

Số cách xếp $B,C,D,E$: $4!=24$

Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: $2.24=48$

Chọn B

Xem AF là một phần tử X, ta có: 5!=120 số cách xếp

X,B,C,D,E. Khi hoán vị A,F ta có thêm được một cách xếp

Vậy có 240 cách xếp thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 6!-240=480 cách

Chọn B

Chọn 2 vị trí liên tiếp trong 10 vị trí, có 9 cách.

Hoán vị hai quyển sách có 2 cách.

Sắp 8 quyển sách còn lại vào 8 vị trí, có 8! cách.

Vậy có 9.2.8!=725760 cách.

Chọn C

Sắp 5 quyển văn có 5! cách sắp xếp.

Sắp 7 quyển toán và bộ 5 quyển văn có 8! cách sắp xếp.

Vậy có 5!.8! cách sắp xếp.

Chọn C

Cách 1: Gọi $x=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{6}}},\text{ }{{a}_{i}}\in \left\{ \text{1},\text{2},\text{3},\text{4},\text{5},\text{6} \right\}$ là số cần lập

Theo bài ra ta có: ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+1={{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}$ (1)

Mà ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}},{{a}_{5}},{{a}_{6}}\in \left\{ \text{1},\text{2},\text{3},\text{4},\text{5},\text{6} \right\}$ và đôi một khác nhau nên

${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}=1+2+3+4+5+6=21$ (2)

Từ (1), (2) suy ra: ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}=10$

Phương trình này có các bộ nghiệm là: $({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}})=(1,3,6);\text{ }(1,4,5);\text{ }(2,3,5)$

Với mỗi bộ ta có $3!.3!=36$ số.

Vậy có cả thảy $3.36=108$ số cần lập.

Cách 2: Gọi $x=\overline{abcdef}$ là số cần lập

Ta có: $\left\{ \begin{align}

& a+b+c+d+e+f=1+2+3+4+5+6=21 \\

& a+b+c=d+e+f+1 \\

\end{align} \right.$

$\Rightarrow a+b+c=11$. Do $a,b,c\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$

Suy ra ta có các cặp sau: $(a,b,c)=(1,4,6);\text{ }(2,3,6);\text{ }(2,4,5)$

Với mỗi bộ như vậy ta có $3!$ cách chọn $a,b,c$ và $3!$ cách chọn $d,e,f$

Do đó có: $3.3!.3!=108$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

Đặt $A=\{1,2,3\}$. Gọi $S$ là tập các số thỏa yêu cầu thứ nhất của bài toán

Ta có số các số thỏa điều kiện thứ nhất của bài toán là $\dfrac{6!}{{{2}^{3}}}=90$ (vì các số có dạng $\overline{aabbcc}$ và khi hoán vị hai số $a,a$ ta được số không đổi)

Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}}$ là tập các số thuộc $S$ mà có $1,2,3$ cặp chữ số giống nhau đứng cạnh nhau.

$\bullet $ Số phần tử của ${{S}_{3}}$ chính bằng số hoán vị của 3 cặp $11,22,33$ nên $\left| {{S}_{3}} \right|=6$

$\bullet $ Số phần tử của ${{S}_{2}}$ chính bằng số hoán vị của 4 phần tử là có dạng \[a,a,bb,cc\] nhưng $a,a$ không đứng cạnh nhau. Nên $\left| {{S}_{2}} \right|=\dfrac{4!}{2}-6=6$ phần tử.

$\bullet $ Số phần tử của ${{S}_{1}}$ chính bằng số hoán vị của các phần tử có dạng $a,a,b,b,cc$ nhưng $a,a$ và $b,b$ không đứng cạnh nhau nên $\left| {{S}_{1}} \right|=\dfrac{5!}{4}-6-12=12$

Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán là: $90-(6+6+12)=76$.

Chọn B

Ta xếp các cuốn sách cùng một bộ môn thành một nhóm

Trước hết ta xếp 3 nhóm lên kệ sách chúng ta có: 3!=6 cách xếp

Với mỗi cách xếp 3 nhóm đó lên kệ ta có 5! cách hoán vị các cuốn sách Toán, 6! cách hoán vị các cuốn sách Lý và 8! cách hoán vị các cuốn sách Hóa

Vậy theo quy tắc nhân có tất cả: 6.5!.6!.8! cách xếp

Chọn B

Nếu xếp một người ngồi vào một vị trí nào đó thì ta có 1 cách xếp và

$n-1$ người còn lại được xếp vào $n-1$ vị trí còn lại nên có $(n-1)!$ cách xếp.

Vậy có tất cả $(n-1)!$ cách xếp.

Chọn A

Đây là tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Vậy có $C_{7}^{3}$ tập hợp con.

Chọn C

Gọi số cần tìm có dạng : $\overline{abc}\text{ }$

Chọn C  : có 2 cách $\left( c\in \left\{ 2;4 \right\} \right)$

Chọn $\overline{ab}$ : có $A_{4}^{2}$ cách

Theo quy tắc nhân, có $2.A_{4}^{2}=24$(số)

Chọn D

Gọi số cần tìm có dạng : $\overline{abcde}\text{       }\left( a\ne 0 \right)$.

Chọn A  : có 5 cách $\left( a\ne 0 \right)$

Chọn $\overline{bcde}$ : có $A_{5}^{4}$ cách

Theo quy tắc nhân, có $5.A_{5}^{4}=600$(số)

1/ Gọi số cần lập là: $x=\overline{abcd}$. Ta chọn $a,b,c,d$ theo thứ tự sau

a: có 6 cách chọn

b: có 6 cách chọn

c: có 6 cách chọn

d: có 6 cách chọn

Vậy có ${{6}^{4}}=1296$ số

Chọn A

2/ Mỗi số cần lập ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử

Nên số cần lập là: $A_{6}^{3}=120$ số.

Chọn C

3/  Gọi số cần lập là : $x=\overline{abcd}$

Vì $x$ chẵn nên có $3$ cách chọn $d$. Ứng với mỗi cách chọn $d$ sẽ có

$A_{5}^{3}$ cách chọn $a,b,c$. Vậy có $3.A_{5}^{3}=180$ số.

Chọn B

4/ Gọi số cần lập là : $x=\overline{abcd}$

Vì $a\ne 1$ nên $a$ có $5$ cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn $a$ ta có: $A_{5}^{3}$ cách chọn $b,c,d$. Vậy có $5.A_{5}^{3}=300$ số.

Chọn A

5/ Gọi $x$ là số có 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 luôn đứng cạnh nhau.

Đặt $y=12$ khi đó $x$ có dạng $\overline{abcde}$ với $a,b,c,d,e$ đôi một khác nhau và thuộc tập $\left\{ y,3,4,5,6 \right\}$ nên có ${{P}_{5}}=5!=120$ số.

Khi hoán vị hai số $1,2$ ta được một số khác nên có $120.2=240$ số $x$

Vậy số thỏa yêu cầu bài toán là: ${{P}_{6}}-240=480$ số.

Chọn B

Chọn B

Gọi số cần tìm có dạng : $\overline{abc}$.

Chọn $c$: có 3 cách $\left( c\in \left\{ 4;6;8 \right\} \right)$

Chọn $\overline{ab}$ : có $A_{5}^{2}$ cách

Theo quy tắc nhân, có $3.A_{5}^{2}=60$(số).

Chọn B

Gọi số cần tìm có dạng : $\overline{abcd}\text{       }\left( a\ne 0 \right)$.

TH1. $d=0$

Chọn $d$ : có 1 cách

Chọn $\overline{abc}$ : có $A_{5}^{3}$ cách

Theo quy tắc nhân, có $1.A_{5}^{3}=60$ (số)

TH2. $d\ne 0$

Chọn $d$ : có 2 cách $\left( d\in \left\{ 2;4 \right\} \right)$

Chọn $a$ : có 4 cách $\left( a\ne 0,a\ne d \right)$

Chọn $\overline{bc}$ : có $A_{4}^{2}$ cách

Theo quy tắc nhân, có $2.4.A_{4}^{2}=96$ (số)

Theo quy tắc cộng, vậy có $60+96=156$ (số).

Chọn A

Vì có 3 số lẻ là 1,3,5, nên ta tạo được 6 cặp số kép: $13,31,15,51,35,53$

Gọi A là tập các số gồm 4 chữ số được lập từ $X=\left\{ 0,13,2,4,6 \right\}$.

Gọi ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}}$ tương ứng là số các số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số của tập $X=\left\{ 0,13,2,4,6 \right\}$ và 13 đứng ở vị trí thứ nhất, thứ hai và thứ ba.

Ta có: $\left| {{A}_{1}} \right|=A_{4}^{3}=24;\left| {{A}_{2}} \right|=\left| {{A}_{3}} \right|=3.3.2=18$ nên $\left| A \right|=24+2.18=60$

Vậy số các số cần lập là: $6.60=360$ số.

Chọn A

Vì 1 tuần có 7 ngày nên có $A_{12}^{7}=3991680$ (kế hoạch).

1/ Xét tập $B=\left\{ 1,4,5,6,7,8 \right\}$, ta có B không chứa số 3.

$X$ là một tập con của A thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉ khi $X\backslash \left\{ 2 \right\}$ là một tập con của $B$. Do đo, số tập con của A thỏa yêu cầu bài toán bằng số tập con của B và bằng ${{2}^{6}}=64$.

Chọn A

2/ Xét số $x=\overline{abcde}$ được lập từ các chữ số thuộc tập [A].

Vì $x$ lẻ nên $e\in \left\{ 1,3,5,7 \right\}$, suy ra có 4 cách chọn e. Bốn chữ số còn lại được chọn từ 7 chữ số của tập $A\backslash \left\{ e \right\}$ nên có $A_{7}^{4}=840$ cách

Suy ra, có $4.840=3360$ số lẻ gồm năm chữ số khác nhau.

Mà số $x$ bắt đầu bằng 123 có $A_{5}^{2}=20$ số.

Vậy số $x$ thỏa yêu cầu bài toán là : $3360-20-3340$ số.

Chọn A

Chọn C

Chọn $4$ trong $7$ chữ số để sắp vào $4$ vị trí (phân biệt thứ tự) có $A_{7}^{4}=\dfrac{7!}{3!}=7.6.5.4$.

Vậy có $8!-A_{6}^{2}.6!=18720$ cách sắp xếp.

Chọn C

Gọi $\overline{abcde}$ là số cần tìm.

Nếu $e=0$, chọn $4$ trong $5$ số còn lại sắp vào các vị trí \[a,\,b,\,c,\,d\] có $A_{5}^{4}=120$ cách.

Nếu $e\ne 0$, chọn $e$ có $2$ cách.

Chọn $a\ne 0$ và $a\ne e$ có $4$ cách.

Chọn $3$ trong $4$ số còn lại sắp vào các vị trí $b,\,c,\,d$ có $A_{4}^{3}$ cách.

Như vậy có: $A_{5}^{4}+2.4.A_{4}^{3}=312$ số.

Chọn A

Gọi $\overline{abcde}$ là số cần tìm.

Chọn $e$ có $3$ cách.

Chọn $a\ne 0$ và $a\ne e$ có $4$ cách.

Chọn $3$ trong $4$ số còn lại sắp vào $b,\,c,\,d$ có $A_{4}^{3}$ cách.

Vậy có $3.4.A_{4}^{3}=288$ số.

Chọn A

Gọi$A$ là số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau lấy từ các số $0,1,2,3,4,5,6$ số cách chọn được $A$là $A_{3}^{2}=6$. Số chẵn có 5 chữ số mà hai số lẻ đứng kề nhau phải chứa $A$ và ba trong 4 chữ số 0;2;4;6. Gọi $\overline{abcd};a,b,c,d\in \{A,0,2,4,6\}$ là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

*TH1: Nếu $a=A$có 1 cách chọn $a$và $A_{4}^{3}$chọn $b,c,d$.

* TH 2: $a\ne A$có 3 cách chọn $a$

+ Nếu $b=A$có 1 cách chọn $b$và$A_{3}^{2}$cách chọn $c,d$.

+ Nếu $c=A$có 1 cách chọn $c$và$A_{3}^{2}$cách chọn $b,d$.

Vậy có $A_{3}^{2}\left( A_{4}^{3}+3\left( 1.A_{3}^{2}+1.A_{3}^{2} \right) \right)=360$ số thỏa mãm yêu cầu bài toán.

Chọn A

$\bullet $ Ta đếm các số có 7 chữ số được chọn từ các số $\left\{ 2,2,3,3,3,a,b \right\}$ với $a,b\in \left\{ 0,1,4,5,6,7,8,9 \right\}$, kể cả số 0 đứng đầu.

Ta có được: $7!$ số như vậy. Tuy nhiên khi hoán vị hai số 2 cho nhau hoặc các số 3 cho nhau thì ta được số không đổi do đó có tất cả

$\dfrac{7!}{2!.3!}=420$ số.

Vì có $A_{8}^{2}$ cách chọn $a,b$ nên ta có: $480.A_{8}^{2}=26880$ số.

$\bullet $ Ta đếm các số có 6 chữ số được chọn từ các số $\left\{ 2,2,3,3,3,x \right\}$ với $x\in \left\{ 1,4,5,6,7,8,9 \right\}$.

Tương tự như trên ta tìm được $\dfrac{6!}{2!.3!}A_{7}^{1}=420$ số

Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán: $26460$.

1/ Mỗi số cần lập thỏa yêu cầu bài toán sẽ ứng với mỗi chỉnh hợp chập $5$ của 7 phần tử. Do đó, có $A_{7}^{5}=2520$.

Chọn A

2/ Gọi số cần lập là $x=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{6}}}$

Vì $x$ chia hết cho 5 nên ${{a}_{6}}=5\Rightarrow {{a}_{6}}$ có một cách chọn

Số cách chọn các chữ số ${{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{5}}$ chính bằng số chỉnh hợp chập $5$ của 6 phân tử và bằng $A_{6}^{5}$.

Vậy số các số cần lập là $1.A_{6}^{5}=720$

Chọn A

3/ Đặt $x=23$. Số các số cần lập có dạng $\overline{abcd}$ với $a,b,c,d\in \left\{ 1,x,4,5,6,7 \right\}$. Có $A_{6}^{4}=360$ số như vậy

Mặt khác khi hoán vị hai số $2$ và 3 ta được thêm một số thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy có $360.2=720$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

4/ Xét các số tự nhiên có bảy chữ số được lập từ $\left\{ 1,2,2,2,3,4,5,6,7 \right\}$

Ta thấy có $A_{9}^{7}$ số như vậy.

Tuy nhiên khi hoán vị vị trí của ba số 2 cho nhau thì số thu được không thay đổi. Vậy có $\dfrac{A_{9}^{7}}{3!}=30240$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

1/ Gọi $x=\overline{abcde}$ với $a,b,c,e\in A;a\ne 0$

Để lập $x$ ta chọn các số $a,b,c,d,e$ theo tứ thự sau

Chọn $a$: Vì $a\in A,a\ne 0$ nên ta có $6$ cách chọn $a$

Vì $b\in A$ và $b$ có thể trùng với $a$ nên với mỗi cách chọn $a$ta có $7$ cách chọn $b$

Tương tự : với mỗi cách chọn $a,b$ có $7$ cách chọn $c$

với mỗi cách chọn $a,b,c$ có $7$ cách chọn $d$

với mỗi cách chọn $a,b,c,d$ có $7$ cách chọn $e$

Vậy theo quy tắc nhân ta có: $6.7.7.7.7=14406$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

2/ Gọi $x=\overline{abcd}$ là số cần lập với $a,b,d,c\in A$ đôi một khác nhau và $a\ne 0$. Ta chọn $a,b,c,d$ theo thứ tự sau

Chọn $a$: Vì $a\in A,a\ne 0$ nên có 6 cách chọn $a$

Với mỗi cách chọn $a$ ta thấy mỗi cách chọn $b,c,d$ chính là một cách lấy ba phần tử của tập $A\backslash \left\{ a \right\}$ và xếp chúng theo thứ tự, nên mỗi cách chọn $b,c,d$ ứng với một chỉnh hợp chập $3$ của 6 phần tử

Suy ra số cách chọn $b,c,d$ là: $A_{6}^{3}$

Theo quy tắc nhân ta có: $6.A_{6}^{3}=720$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn B

3/ Gọi $x=\overline{abcd}$ là số cần lập với $a,b,c,d\in A$ đôi một khác nhau, $a\ne 0$.

Vì $x$ là số lẻ nên $d\in \left\{ 1,3,5 \right\}\Rightarrow d$ có 3 cách chọn.

Với mỗi cách chọn $d$ ta có $a\in A\backslash \left\{ 0,d \right\}\Rightarrow a$ có $5$ cách chọn

Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có $A_{5}^{2}$ cách chọn $bc$

Theo quy tắc nhân ta có: $3.5.A_{5}^{2}=300$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

4/ Gọi $x=\overline{abcde}$ là số cần lập với $a,b,c,d,e\in A$ đôi một khác nhau và $a\ne 0$.

Vì $x$ là số lẻ nên $e\in \left\{ 0,2,4,6 \right\}$. Ta xét các trường hợp sau

$\bullet $$e=0\Rightarrow e$ có 1 cách chọn

Vì $a\ne 0\Rightarrow a$ có 6 cách chọn

Số cách chọn các chữ số còn lại: $A_{5}^{3}$

Do đó trường hợp này có tất cả $1.6.A_{5}^{3}=360$ số

$\bullet $$e\ne 0\Rightarrow e$ có 3 cách chọn

Với mỗi cách chọn $e$ ta có $a\in A\backslash \left\{ 0,e \right\}\Rightarrow a$ có 5 cách chọn

Số cách chọn các số còn lại là: $A_{5}^{3}$

Do đó trường hợp này có tất cả $3.5.A_{5}^{3}=900$ số

Vậy có cả thảy $360+900=1260$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

Chọn B

Gọi $n=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}}$ là một số thỏa yêu cầu bài toán thì

${{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}=8$.

Có hai bộ 3 số có tổng bằng 8 trong các số 1,2,…,8,9 là :

$\left\{ 1;2;5 \right\}$và $\left\{ 1;3;4 \right\}$

Nếu ${{a}_{3}};{{a}_{4}};{{a}_{5}}\in \left\{ 1;2;5 \right\}$thì ${{a}_{3}},{{a}_{4}},{{a}_{5}}$có $3!$ cách chọn và ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{6}}$ có $A_{6}^{3}$ cách chọn suy ra có $3!A_{6}^{3}=720$ số thỏa yêu cầu.

Nếu ${{a}_{3}};{{a}_{4}};{{a}_{5}}\in \left\{ 1;2;5 \right\}$thì cũng có $720$ số thỏa yêu cầu.

Vậy có $720+720=1400$ số thỏa yêu cầu

Chọn C

Gọi $x=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}$ với $9\ge {{a}_{1}}>{{a}_{2}}>{{a}_{3}}>{{a}_{4}}\ge 0$ là số cần lập.

$X=\left\{ 0;\text{ }1;\text{ }2;\text{ }…;\text{ }8;\text{ }9 \right\}$.

Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số A.Nghĩa là không có hoán vị hay là một tổ hợp chập 4 của 10.

Vậy có $C_{10}^{4}=210$ số.