Đại số, Giải tích 11: Bài tập xác suất vận dụng quy tắc đếm

Đại số, Giải tích 11: Bài tập xác suất vận dụng quy tắc đếm

Phương pháp: Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp.

1) Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:

Tất cả n phần tử đều phải có mặt

Mỗi phần tử xuất hiện một lần.

Có thứ tự giữa các phần tử.

2) Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi

Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần

k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự.

3) Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi

Cần chọn   phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần

Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn.

Câu 1: Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?

A. 192

B. 202

C. 211

D. 180

Hướng dẫn

Chọn A

Đặt $y=23$, xét các số $x=\overline{abcde}$ trong đó $a,b,c,d,e$ đôi một khác nhau và thuộc tập $\left\{ 0,1,y,4,5 \right\}$. Có ${{P}_{5}}-{{P}_{4}}=96$ số như vậy

Khi ta hoán vị $2,3$ trong $y$ ta được hai số khác nhau

Nên có 96.2=192 số thỏa yêu cầu bài toán.

[Ẩn HD]

Câu 2: Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam.Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 3 học sinh nữ ngồi kề nhau

A. 34

B. 46

C. 36

D. 26

Hướng dẫn

Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 3!.3!=36

Chọn C

[Ẩn HD]

Câu 3: Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam.Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 2 học sinh nam ngồi kề nhau.

A. 48

B. 42

C. 58

D. 28

Hướng dẫn

Chọn A

Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: $2!.4!=48$

[Ẩn HD]

Câu 4: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho A và F ngồi ở hai đầu ghế

A. 48

B. 42

C. 46

D. 50

Hướng dẫn

Chọn A

Số cách xếp A, F: $2!=2$

Số cách xếp $B,C,D,E$: $4!=24$

Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: $2.24=48$

[Ẩn HD]

Câu 5: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

A và F ngồi cạnh nhau

A. 242

B. 240

C. 244

D. 248

Hướng dẫn

Chọn B

Xem AF là một phần tử X, ta có: 5!=120 số cách xếp

X,B,C,D,E. Khi hoán vị A,F ta có thêm được một cách xếp

Vậy có 240 cách xếp thỏa yêu cầu bài toán.

[Ẩn HD]

Câu 6: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

A và F không ngồi cạnh nhau

A. 480

B. 460

C. 246

D. 260

Hướng dẫn

Chọn A

Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 6!-240=480 cách

[Ẩn HD]

Câu 7: Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai:

A. 10!.

B. 725760.

C. 9!.

D. 9!-2!.

Hướng dẫn

Chọn B

Chọn 2 vị trí liên tiếp trong 10 vị trí, có 9 cách.

Hoán vị hai quyển sách có 2 cách.

Sắp 8 quyển sách còn lại vào 8 vị trí, có 8! cách.

Vậy có 9.2.8!=725760 cách.

[Ẩn HD]

Câu 8: Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

A. 5!.7!.

B. 2.5!.7!.

B. 5!.8!.

D. 12!.

Hướng dẫn

Chọn C

Sắp 5 quyển văn có 5! cách sắp xếp.

Sắp 7 quyển toán và bộ 5 quyển văn có 8! cách sắp xếp.

Vậy có 5!.8! cách sắp xếp.

[Ẩn HD]

Câu 9: Từ các số {1; 2; 3; 4; 5; 6} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa điều kiện :sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị.

A. 104

B. 106

C. 108

D. 112

Hướng dẫn

Chọn C

Cách 1: Gọi $x=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{6}}},\text{ }{{a}_{i}}\in \left\{ \text{1},\text{2},\text{3},\text{4},\text{5},\text{6} \right\}$ là số cần lập

Theo bài ra ta có: ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+1={{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}$ (1)

Mà ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}},{{a}_{5}},{{a}_{6}}\in \left\{ \text{1},\text{2},\text{3},\text{4},\text{5},\text{6} \right\}$ và đôi một khác nhau nên

${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}=1+2+3+4+5+6=21$ (2)

Từ (1), (2) suy ra: ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}=10$

Phương trình này có các bộ nghiệm là: $({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}})=(1,3,6);\text{ }(1,4,5);\text{ }(2,3,5)$

Với mỗi bộ ta có $3!.3!=36$ số.

Vậy có cả thảy $3.36=108$ số cần lập.

Cách 2: Gọi $x=\overline{abcdef}$ là số cần lập

Ta có: $\left\{ \begin{align}

& a+b+c+d+e+f=1+2+3+4+5+6=21 \\

& a+b+c=d+e+f+1 \\

\end{align} \right.$

$\Rightarrow a+b+c=11$. Do $a,b,c\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$

Suy ra ta có các cặp sau: $(a,b,c)=(1,4,6);\text{ }(2,3,6);\text{ }(2,4,5)$

Với mỗi bộ như vậy ta có $3!$ cách chọn $a,b,c$ và $3!$ cách chọn $d,e,f$

Do đó có: $3.3!.3!=108$ số thỏa yêu cầu bài toán.

[Ẩn HD]

Câu 10: Từ các số 1,2,3 lập được bao nhiều số tự nhiên gôm 6 chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.

A. 76

B. 42

C. 80

D. 68

Hướng dẫn

Chọn A

Đặt $A=\{1,2,3\}$. Gọi $S$ là tập các số thỏa yêu cầu thứ nhất của bài toán

Ta có số các số thỏa điều kiện thứ nhất của bài toán là $\dfrac{6!}{{{2}^{3}}}=90$ (vì các số có dạng $\overline{aabbcc}$ và khi hoán vị hai số $a,a$ ta được số không đổi)

Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}}$ là tập các số thuộc $S$ mà có $1,2,3$ cặp chữ số giống nhau đứng cạnh nhau.

$\bullet $ Số phần tử của ${{S}_{3}}$ chính bằng số hoán vị của 3 cặp $11,22,33$ nên $\left| {{S}_{3}} \right|=6$

$\bullet $ Số phần tử của ${{S}_{2}}$ chính bằng số hoán vị của 4 phần tử là có dạng \[a,a,bb,cc\] nhưng $a,a$ không đứng cạnh nhau. Nên $\left| {{S}_{2}} \right|=\dfrac{4!}{2}-6=6$ phần tử.

$\bullet $ Số phần tử của ${{S}_{1}}$ chính bằng số hoán vị của các phần tử có dạng $a,a,b,b,cc$ nhưng $a,a$ và $b,b$ không đứng cạnh nhau nên $\left| {{S}_{1}} \right|=\dfrac{5!}{4}-6-12=12$

Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán là: $90-(6+6+12)=76$.

[Ẩn HD]

Câu 11: Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 8 cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau.

A. 7.5!.6!.8!

B. 6.5!.6!.8!

C. 6.4!.6!.8!

D. 6.5!.6!.7!

Hướng dẫn

Chọn B

Ta xếp các cuốn sách cùng một bộ môn thành một nhóm

Trước hết ta xếp 3 nhóm lên kệ sách chúng ta có: 3!=6 cách xếp

Với mỗi cách xếp 3 nhóm đó lên kệ ta có 5! cách hoán vị các cuốn sách Toán, 6! cách hoán vị các cuốn sách Lý và 8! cách hoán vị các cuốn sách Hóa

Vậy theo quy tắc nhân có tất cả: 6.5!.6!.8! cách xếp

[Ẩn HD]

Câu 12: Có bao nhiêu cách xếp n người ngồi vào một bàn tròn.

A. n!

B. (n-1)!

C. 2(n-1)!

D. (n-2)!

Hướng dẫn

Chọn B

Nếu xếp một người ngồi vào một vị trí nào đó thì ta có 1 cách xếp và

$n-1$ người còn lại được xếp vào $n-1$ vị trí còn lại nên có $(n-1)!$ cách xếp.

Vậy có tất cả $(n-1)!$ cách xếp.

[Ẩn HD]

Câu 13: Số tập hợp con có $3$ phần tử của một tập hợp có $7$ phần tử là:

A. $C_{7}^{3}$.

B. $A_{7}^{3}$.

C. $\dfrac{7!}{3!}$.

D. $7$.

Hướng dẫn

Chọn A

Đây là tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Vậy có $C_{7}^{3}$ tập hợp con.

[Ẩn HD]

Câu 14: Cho các số 1,2,4,5,7 có bao nhiêu cách tạo ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho:

A. 120.

B. 256.

C. 24.

D. 36.

Hướng dẫn

Chọn C

Gọi số cần tìm có dạng : $\overline{abc}\text{ }$

Chọn C  : có 2 cách $\left( c\in \left\{ 2;4 \right\} \right)$

Chọn $\overline{ab}$ : có $A_{4}^{2}$ cách

Theo quy tắc nhân, có $2.A_{4}^{2}=24$(số)

[Ẩn HD]

Câu 15: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ các số0,1,2,3,4,5.

A. 60.

B. 80.

C. 240.

D. 600.

Hướng dẫn

Chọn D

Gọi số cần tìm có dạng : $\overline{abcde}\text{       }\left( a\ne 0 \right)$.

Chọn A  : có 5 cách $\left( a\ne 0 \right)$

Chọn $\overline{bcde}$ : có $A_{5}^{4}$ cách

Theo quy tắc nhân, có $5.A_{5}^{4}=600$(số)

[Ẩn HD]

Câu 16: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên

1/ Gồm 4 chữ số

A. 1296

B. 2019

C. 2110

D. 1297

2/ Gồm 3 chữ số đôi một khác nhau

A. 110

B. 121

C. 120

D. 125

3/ Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là chữ số tự nhiên chẵn

A. 182

B. 180

C. 190

D. 192

4/ Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng chữ số 1

A. 300

B. 320

C. 310

D. 330

5/ Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.

A. 410

B. 480

C. 500

D. 512

Hướng dẫn

1/ Gọi số cần lập là: $x=\overline{abcd}$. Ta chọn $a,b,c,d$ theo thứ tự sau

a: có 6 cách chọn

b: có 6 cách chọn

c: có 6 cách chọn

d: có 6 cách chọn

Vậy có ${{6}^{4}}=1296$ số

Chọn A

2/ Mỗi số cần lập ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử

Nên số cần lập là: $A_{6}^{3}=120$ số.

Chọn C

3/  Gọi số cần lập là : $x=\overline{abcd}$

Vì $x$ chẵn nên có $3$ cách chọn $d$. Ứng với mỗi cách chọn $d$ sẽ có

$A_{5}^{3}$ cách chọn $a,b,c$. Vậy có $3.A_{5}^{3}=180$ số.

Chọn B

4/ Gọi số cần lập là : $x=\overline{abcd}$

Vì $a\ne 1$ nên $a$ có $5$ cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn $a$ ta có: $A_{5}^{3}$ cách chọn $b,c,d$. Vậy có $5.A_{5}^{3}=300$ số.

Chọn A

5/ Gọi $x$ là số có 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 luôn đứng cạnh nhau.

Đặt $y=12$ khi đó $x$ có dạng $\overline{abcde}$ với $a,b,c,d,e$ đôi một khác nhau và thuộc tập $\left\{ y,3,4,5,6 \right\}$ nên có ${{P}_{5}}=5!=120$ số.

Khi hoán vị hai số $1,2$ ta được một số khác nên có $120.2=240$ số $x$

Vậy số thỏa yêu cầu bài toán là: ${{P}_{6}}-240=480$ số.

Chọn B

[Ẩn HD]

Câu 17: Cho 6 chữ số4,5,6,7,8,9. số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau lập thành từ 6 chữ số đó:

A. 120.

B. 60.

C. 256.

D. 216.

Hướng dẫn

Chọn B

Gọi số cần tìm có dạng : $\overline{abc}$.

Chọn $c$: có 3 cách $\left( c\in \left\{ 4;6;8 \right\} \right)$

Chọn $\overline{ab}$ : có $A_{5}^{2}$ cách

Theo quy tắc nhân, có $3.A_{5}^{2}=60$(số).

[Ẩn HD]

Câu 18: Cho các chữ số0,1,2,3,4,5. Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và các chữ số đó phải khác nhau:

A. 160.

B. 156.

C. 752.

D. 240.

Hướng dẫn

Chọn B

Gọi số cần tìm có dạng : $\overline{abcd}\text{       }\left( a\ne 0 \right)$.

TH1. $d=0$

Chọn $d$ : có 1 cách

Chọn $\overline{abc}$ : có $A_{5}^{3}$ cách

Theo quy tắc nhân, có $1.A_{5}^{3}=60$ (số)

TH2. $d\ne 0$

Chọn $d$ : có 2 cách $\left( d\in \left\{ 2;4 \right\} \right)$

Chọn $a$ : có 4 cách $\left( a\ne 0,a\ne d \right)$

Chọn $\overline{bc}$ : có $A_{4}^{2}$ cách

Theo quy tắc nhân, có $2.4.A_{4}^{2}=96$ (số)

Theo quy tắc cộng, vậy có $60+96=156$ (số).

[Ẩn HD]

Câu 19: Từ các số của tập $A=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6 \right\}$ có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau.

A. 360

B. 362

C. 345

D. 368

Hướng dẫn

Chọn A

Vì có 3 số lẻ là 1,3,5, nên ta tạo được 6 cặp số kép: $13,31,15,51,35,53$

Gọi A là tập các số gồm 4 chữ số được lập từ $X=\left\{ 0,13,2,4,6 \right\}$.

Gọi ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}}$ tương ứng là số các số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số của tập $X=\left\{ 0,13,2,4,6 \right\}$ và 13 đứng ở vị trí thứ nhất, thứ hai và thứ ba.

Ta có: $\left| {{A}_{1}} \right|=A_{4}^{3}=24;\left| {{A}_{2}} \right|=\left| {{A}_{3}} \right|=3.3.2=18$ nên $\left| A \right|=24+2.18=60$

Vậy số các số cần lập là: $6.60=360$ số.

[Ẩn HD]

Câu 20: Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần).

A. 3991680.

B. 12!.

C. 35831808.

D. 7!.

Hướng dẫn

Chọn A

Vì 1 tuần có 7 ngày nên có $A_{12}^{7}=3991680$ (kế hoạch).

[Ẩn HD]

Câu 21: Cho tập $A=\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right\}$

1/ Có bao nhiêu tập con của A chứa số 2 mà không chứa số 3

A. 64

B. 83

C. 13

D. 41

2/ Tức các chữ số thuộc tập A, lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số không bắt đầu bởi 123.

A. 3340

B. 3219

C. 4942

D. 2220

Hướng dẫn

1/ Xét tập $B=\left\{ 1,4,5,6,7,8 \right\}$, ta có B không chứa số 3.

$X$ là một tập con của A thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉ khi $X\backslash \left\{ 2 \right\}$ là một tập con của $B$. Do đo, số tập con của A thỏa yêu cầu bài toán bằng số tập con của B và bằng ${{2}^{6}}=64$.

Chọn A

2/ Xét số $x=\overline{abcde}$ được lập từ các chữ số thuộc tập [A].

Vì $x$ lẻ nên $e\in \left\{ 1,3,5,7 \right\}$, suy ra có 4 cách chọn e. Bốn chữ số còn lại được chọn từ 7 chữ số của tập $A\backslash \left\{ e \right\}$ nên có $A_{7}^{4}=840$ cách

Suy ra, có $4.840=3360$ số lẻ gồm năm chữ số khác nhau.

Mà số $x$ bắt đầu bằng 123 có $A_{5}^{2}=20$ số.

Vậy số $x$ thỏa yêu cầu bài toán là : $3360-20-3340$ số.

Chọn A

[Ẩn HD]

Câu 22: Từ 7 chữ số {1,2,3,4,5,6,7} có thể lập được bao nhiêu số từ 4 chữ số khác nhau?

A. 7!.

B. ${{7}^{4}}$.

C. 7.6.5.4.

D. 7!.6!.5!.4!.

Hướng dẫn

Chọn C

Chọn $4$ trong $7$ chữ số để sắp vào $4$ vị trí (phân biệt thứ tự) có $A_{7}^{4}=\dfrac{7!}{3!}=7.6.5.4$.

Vậy có $8!-A_{6}^{2}.6!=18720$ cách sắp xếp.

[Ẩn HD]

Câu 23: Từ các số 0, 1, 2, 7, 8, 9 tạo được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?

A. 120.

B. 216.

C. 312.

D. 360.

Hướng dẫn

Chọn C

Gọi $\overline{abcde}$ là số cần tìm.

Nếu $e=0$, chọn $4$ trong $5$ số còn lại sắp vào các vị trí \[a,\,b,\,c,\,d\] có $A_{5}^{4}=120$ cách.

Nếu $e\ne 0$, chọn $e$ có $2$ cách.

Chọn $a\ne 0$ và $a\ne e$ có $4$ cách.

Chọn $3$ trong $4$ số còn lại sắp vào các vị trí $b,\,c,\,d$ có $A_{4}^{3}$ cách.

Như vậy có: $A_{5}^{4}+2.4.A_{4}^{3}=312$ số.

[Ẩn HD]

Câu 24: Từ các số 0,\,1,\,2,\,7,\,8,\,9 tạo được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau?

A. 288.

B. 360.

C. 312.

D. 600.

Hướng dẫn

Chọn A

Gọi $\overline{abcde}$ là số cần tìm.

Chọn $e$ có $3$ cách.

Chọn $a\ne 0$ và $a\ne e$ có $4$ cách.

Chọn $3$ trong $4$ số còn lại sắp vào $b,\,c,\,d$ có $A_{4}^{3}$ cách.

Vậy có $3.4.A_{4}^{3}=288$ số.

[Ẩn HD]

Câu 25: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau?

A. 360

B. 280

C. 310

D. 290

Hướng dẫn

Chọn A

Gọi$A$ là số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau lấy từ các số $0,1,2,3,4,5,6$ số cách chọn được $A$là $A_{3}^{2}=6$. Số chẵn có 5 chữ số mà hai số lẻ đứng kề nhau phải chứa $A$ và ba trong 4 chữ số 0;2;4;6. Gọi $\overline{abcd};a,b,c,d\in \{A,0,2,4,6\}$ là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

*TH1: Nếu $a=A$có 1 cách chọn $a$và $A_{4}^{3}$chọn $b,c,d$.

* TH 2: $a\ne A$có 3 cách chọn $a$

+ Nếu $b=A$có 1 cách chọn $b$và$A_{3}^{2}$cách chọn $c,d$.

+ Nếu $c=A$có 1 cách chọn $c$và$A_{3}^{2}$cách chọn $b,d$.

Vậy có $A_{3}^{2}\left( A_{4}^{3}+3\left( 1.A_{3}^{2}+1.A_{3}^{2} \right) \right)=360$ số thỏa mãm yêu cầu bài toán.

[Ẩn HD]

Câu 26: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt hai lần, chữ số ba có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt nhiều nhất một lần?

A. 26460

B. 27901

C. 27912

D. 26802

Hướng dẫn

Chọn A

$\bullet $ Ta đếm các số có 7 chữ số được chọn từ các số $\left\{ 2,2,3,3,3,a,b \right\}$ với $a,b\in \left\{ 0,1,4,5,6,7,8,9 \right\}$, kể cả số 0 đứng đầu.

Ta có được: $7!$ số như vậy. Tuy nhiên khi hoán vị hai số 2 cho nhau hoặc các số 3 cho nhau thì ta được số không đổi do đó có tất cả

$\dfrac{7!}{2!.3!}=420$ số.

Vì có $A_{8}^{2}$ cách chọn $a,b$ nên ta có: $480.A_{8}^{2}=26880$ số.

$\bullet $ Ta đếm các số có 6 chữ số được chọn từ các số $\left\{ 2,2,3,3,3,x \right\}$ với $x\in \left\{ 1,4,5,6,7,8,9 \right\}$.

Tương tự như trên ta tìm được $\dfrac{6!}{2!.3!}A_{7}^{1}=420$ số

Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán: $26460$.

[Ẩn HD]

Câu 27: Từ các số của tập $A=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1,2,3,4,5,6,7\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm

1/ Năm chữ số đôi một khác nhau

A. 2520

B. 2510

C. 2398

D. 2096

2/ Sáu chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

A. 720

B. 710

C. 820

D. 280

3/ Năm chữ số đôi một khác nhau, đồng thời hai chữ số 2 và 3 luôn đứng cạnh nhau

A. 720

B. 710

C. 820

D. 280

4/ Bảy chữ số, trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng ba lần.

A. 31203

B. 30240

C. 31220

D. 32220

Hướng dẫn

1/ Mỗi số cần lập thỏa yêu cầu bài toán sẽ ứng với mỗi chỉnh hợp chập $5$ của 7 phần tử. Do đó, có $A_{7}^{5}=2520$.

Chọn A

2/ Gọi số cần lập là $x=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{6}}}$

Vì $x$ chia hết cho 5 nên ${{a}_{6}}=5\Rightarrow {{a}_{6}}$ có một cách chọn

Số cách chọn các chữ số ${{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{5}}$ chính bằng số chỉnh hợp chập $5$ của 6 phân tử và bằng $A_{6}^{5}$.

Vậy số các số cần lập là $1.A_{6}^{5}=720$

Chọn A

3/ Đặt $x=23$. Số các số cần lập có dạng $\overline{abcd}$ với $a,b,c,d\in \left\{ 1,x,4,5,6,7 \right\}$. Có $A_{6}^{4}=360$ số như vậy

Mặt khác khi hoán vị hai số $2$ và 3 ta được thêm một số thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy có $360.2=720$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

4/ Xét các số tự nhiên có bảy chữ số được lập từ $\left\{ 1,2,2,2,3,4,5,6,7 \right\}$

Ta thấy có $A_{9}^{7}$ số như vậy.

Tuy nhiên khi hoán vị vị trí của ba số 2 cho nhau thì số thu được không thay đổi. Vậy có $\dfrac{A_{9}^{7}}{3!}=30240$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

[Ẩn HD]

Câu 28: Từ các chữ số của tập hợp $A=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6 \right\}$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm

1/ 5 chữ số

A. 14406

B. 13353

C. 15223

D. 14422

2/ 4 chữ số đôi một khác nhau

A. 418

B. 720

C. 723

D. 731

3/ 4 chữ số đôi một khác nhau và là số lẻ

A. 300

B. 324

C. 354

D. 341

4/ 5 chữ số đôi một khác nhau và là số chẵn.

A. 1260

B. 1234

C. 1250

D. 1235

Hướng dẫn

1/ Gọi $x=\overline{abcde}$ với $a,b,c,e\in A;a\ne 0$

Để lập $x$ ta chọn các số $a,b,c,d,e$ theo tứ thự sau

Chọn $a$: Vì $a\in A,a\ne 0$ nên ta có $6$ cách chọn $a$

Vì $b\in A$ và $b$ có thể trùng với $a$ nên với mỗi cách chọn $a$ta có $7$ cách chọn $b$

Tương tự : với mỗi cách chọn $a,b$ có $7$ cách chọn $c$

với mỗi cách chọn $a,b,c$ có $7$ cách chọn $d$

với mỗi cách chọn $a,b,c,d$ có $7$ cách chọn $e$

Vậy theo quy tắc nhân ta có: $6.7.7.7.7=14406$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

2/ Gọi $x=\overline{abcd}$ là số cần lập với $a,b,d,c\in A$ đôi một khác nhau và $a\ne 0$. Ta chọn $a,b,c,d$ theo thứ tự sau

Chọn $a$: Vì $a\in A,a\ne 0$ nên có 6 cách chọn $a$

Với mỗi cách chọn $a$ ta thấy mỗi cách chọn $b,c,d$ chính là một cách lấy ba phần tử của tập $A\backslash \left\{ a \right\}$ và xếp chúng theo thứ tự, nên mỗi cách chọn $b,c,d$ ứng với một chỉnh hợp chập $3$ của 6 phần tử

Suy ra số cách chọn $b,c,d$ là: $A_{6}^{3}$

Theo quy tắc nhân ta có: $6.A_{6}^{3}=720$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn B

3/ Gọi $x=\overline{abcd}$ là số cần lập với $a,b,c,d\in A$ đôi một khác nhau, $a\ne 0$.

Vì $x$ là số lẻ nên $d\in \left\{ 1,3,5 \right\}\Rightarrow d$ có 3 cách chọn.

Với mỗi cách chọn $d$ ta có $a\in A\backslash \left\{ 0,d \right\}\Rightarrow a$ có $5$ cách chọn

Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có $A_{5}^{2}$ cách chọn $bc$

Theo quy tắc nhân ta có: $3.5.A_{5}^{2}=300$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

4/ Gọi $x=\overline{abcde}$ là số cần lập với $a,b,c,d,e\in A$ đôi một khác nhau và $a\ne 0$.

Vì $x$ là số lẻ nên $e\in \left\{ 0,2,4,6 \right\}$. Ta xét các trường hợp sau

$\bullet $$e=0\Rightarrow e$ có 1 cách chọn

Vì $a\ne 0\Rightarrow a$ có 6 cách chọn

Số cách chọn các chữ số còn lại: $A_{5}^{3}$

Do đó trường hợp này có tất cả $1.6.A_{5}^{3}=360$ số

$\bullet $$e\ne 0\Rightarrow e$ có 3 cách chọn

Với mỗi cách chọn $e$ ta có $a\in A\backslash \left\{ 0,e \right\}\Rightarrow a$ có 5 cách chọn

Số cách chọn các số còn lại là: $A_{5}^{3}$

Do đó trường hợp này có tất cả $3.5.A_{5}^{3}=900$ số

Vậy có cả thảy $360+900=1260$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A

[Ẩn HD]

Câu 29: Từ các số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có, mỗi số có $6$ chữ số khác nhau và tổng các chữ số ở hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.

A. 1300

B. 1400

C. 1500

D. 1600

Hướng dẫn

Chọn B

Gọi $n=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}}$ là một số thỏa yêu cầu bài toán thì

${{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}=8$.

Có hai bộ 3 số có tổng bằng 8 trong các số 1,2,…,8,9 là :

$\left\{ 1;2;5 \right\}$và $\left\{ 1;3;4 \right\}$

Nếu ${{a}_{3}};{{a}_{4}};{{a}_{5}}\in \left\{ 1;2;5 \right\}$thì ${{a}_{3}},{{a}_{4}},{{a}_{5}}$có $3!$ cách chọn và ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{6}}$ có $A_{6}^{3}$ cách chọn suy ra có $3!A_{6}^{3}=720$ số thỏa yêu cầu.

Nếu ${{a}_{3}};{{a}_{4}};{{a}_{5}}\in \left\{ 1;2;5 \right\}$thì cũng có $720$ số thỏa yêu cầu.

Vậy có $720+720=1400$ số thỏa yêu cầu

[Ẩn HD]

Câu 30: Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị.

A. 221

B. 209

C. 210

D. 215

Hướng dẫn

Chọn C

Gọi $x=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}$ với $9\ge {{a}_{1}}>{{a}_{2}}>{{a}_{3}}>{{a}_{4}}\ge 0$ là số cần lập.

$X=\left\{ 0;\text{ }1;\text{ }2;\text{ }…;\text{ }8;\text{ }9 \right\}$.

Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số A.Nghĩa là không có hoán vị hay là một tổ hợp chập 4 của 10.

Vậy có $C_{10}^{4}=210$ số.

[Ẩn HD]