Đại số, Giải tích 11: Lý thuyết qui tắc đếm và phương pháp giải cơ bản

I/ Qui tắc cộng:

a) Định nghĩa: Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

b) Công thức quy tắc cộng

Nếu các tập ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{n}}$ đôi một rời nhau.

Khi đó: $\left| {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup …\cup {{A}_{n}} \right|=\left| {{A}_{1}} \right|+\left| {{A}_{2}} \right|+…+\left| {{A}_{n}} \right|$

II/ Qui tắc nhân:

a) Định nghĩa:

Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.

b) Công thức quy tắc nhân

Nếu các tập ${{A}_{1}},{{A}_{2}},…,{{A}_{n}}$ đôi một rời nhau.

Khi đó: $\left| {{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}\cap …\cap {{A}_{n}} \right|=\left| {{A}_{1}} \right|.\left| {{A}_{2}} \right|…..\left| {{A}_{n}} \right|$.

III/ Các bài toán đếm cơ bản

Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên

Khi lập một số tự nhiên $x=\overline{{{a}_{1}}…{{a}_{n}}}$ ta cần lưu ý:

* ${{a}_{i}}\in \left\{ 0,1,2,…,9 \right\}$ và ${{a}_{1}}\ne 0$.

* $x$ là số chẵn $\Leftrightarrow {{a}_{n}}$ là số chẵn

* $x$ là số lẻ $\Leftrightarrow {{a}_{n}}$ là số lẻ

* $x$ chia hết cho $3\Leftrightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}$ chia hết cho $3$

* $x$ chia hết cho $4$ $\Leftrightarrow \overline{{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}}$ chia hết cho $4$

* $x$ chia hết cho $5\Leftrightarrow {{a}_{n}}\in \left\{ 0,5 \right\}$

* $x$ chia hết cho 6 $\Leftrightarrow x$ là số chẵn và chia hết cho $3$

* $x$ chia hết cho $8\Leftrightarrow \overline{{{a}_{n-2}}{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}}$ chia hết cho $8$

* $x$ chia hết cho $9\Leftrightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}$ chia hết cho $9$.

* $x$ chia hết cho $11\Leftrightarrow $tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho $11$.

* $x$ chia hết cho $25\Leftrightarrow $ hai chữ số tận cùng là $00,25,50,75$.

Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế

Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học

Chú ý: 1. Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động $H$ thỏa mãn tính chất $T$. Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau

Cách 1: Đếm trực tiếp

Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.

Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó

Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên

Cách 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)

Trong trường hợp hành động $H$ chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:

Đếm số phương án thực hiện hành động $H$ (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất $T$ hay không) ta được $a$phương án.

Đếm số phương án thực hiện hành động $H$ không thỏa tính chất $T$ ta được $b$ phương án.

Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: $a-b$.